книги / Статистические методы в строительной механике

полагает изучение статистических свойств внешних воздействий, изучение статистических свойств материалов и конструкций и исследование поведения конструкций при случайных воздейст­ виях. На основе полученных результатов исследований может быть найдена количественная оценка надежности и долговеч­ ности конструкции. Для решения инженерных вопросов требует­ ся задание нормативных значений надежности и долговечности. Отыскание этих значений требует решения задач, родственных задачам теории оптимальных конструкций. На основе общей теории могут быть далее развиты отдельные приложения: тео­ рия методов сокращенных испытаний конструкций на надеж­ ность и.долговечность, теория проектирования конструкций по­ вышенной живучести, а также могут быть разработаны норма­ тивные инженерные методы расчета конструкций, не содержа­ щие в явной форме теоретико-вероятностных элементов.

Следует отметить, что задачи, которые возникают в связи с исследованием механической надежности конструкций, гораздо сложнее, чем задачи, обсуждаемые ныне в общей теории надеж­ ности [14, 128]. В этой теории, развитой главным образом в свя­ зи с потребностями радиоэлектроники, рассматриваются систе­ мы, составленные из конечного числа дискретных элементов. С точки же зрения механического расчета конструкции представ­ ляют собой распределенные системы. Далее, в теории надеж­ ности вероятность отказов отдельных элементов обычно предпо­ лагается заданной. Это вытекает из предположения о том, что внешние условия в течение всего срока службы мало изменяют­ ся. Например, широко применяемый [14, 128] экспоненциальный закон распределения длительности службы элементов соответ­ ствует постоянной во времени интенсивности отказов. В задачах механической надежности изменение внешних условий — сило­ вых и температурных воздействий — играет первостепенную роль.

Если внешние воздействия и параметры конструкции.детерминированы, то условия наступления отказа могут быть в прин­ ципе определены методами строительной механики. В действи­ тельности как внешние воздействия, так и параметры самой кон­ струкции носят случайный характер. Определение полей напря­ жений и деформаций, возникающих при случайных внешних воз­ действиях в конструкциях со случайными свойствами, тоже, по существу, является задачей строительной механики — той ее части, которая может быть названа статистической динамикой деформируемого твердого тела. Но как только мы переходим к отысканию вероятности отказа, мы вступаем в область теории надежности. Одна из границ между строительной механикой и теорией надежности проходит, таким образом, через статистиче­ скую динамику деформируемого твердого тела.

Методы решения задач статистической динамики и последу­ ющего решения задач надежности существенно зависят от ви-

да нагружения. Будем различать дискретное и непрерывное на­ гружения. Дискретные нагружения могут быть как однократны­ ми, так и многократными. Поведение системы при таких нагру­ жениях может быть описано в рамках классической теории ве­ роятностей и теории марковских цепей. Но, как правило, внеш­ ние воздействия представляют собой стационарные или неста­ ционарные непрерывные случайные процессы. Поведение систе­ мы при этих воздействиях, включая накопление повреждений в “гистеме, также представляет собой случайный процесс. Совре­ менные расчеты надежности радиоэлектронных устройств бази­ руются, как правило, на методах классической теории вероят­ ностей и математической статистики. Аппарат теории случайных процессов привлекается преимущественно лишь при обсуждении вопросов, примыкающих к теории массового обслуживания. На­ дежность и долговечность механических систем при непрерыв­ ной эксплуатации может быть правильно понята, описана и рас­ считана лишь на уровне теории случайных процессов.

Выше, в пп. 17—23, мы описали подходы к решению пробле­ мы надежности строительных конструкций, в которых нагруже­ ние трактуется как случайное событие. Однако фактор времени нельзя игнорировать даже при квазистатических нагрузках. По­ нятие надежности нельзя рассматривать вне времени, в отрыве от понятия долговечности. Только опираясь на аппарат теории случайных процессов, можно получить решение задач о небла­ гоприятном сочетании нагрузок, о законе распределения долго­ вечности конструкций и т. д.

25. Определение нормативной надежности

Заключительным этапом статистического расчета на проч­ ность является сопоставление расчетной надежности (или рас­ четной долговечности) с их нормативными значениями. Обычно полагают, что нормативная надежность Р н — это некоторое чис­ ло. В некоторых работах можно найти, например, «нормы» для гауссовского уровня надежности у (см. также п. 22). Но факти­ ческая надежность конструкции Р при нагрузках непрерывного типа есть некоторая функция времени t. Рассуждения, в кото­ рых нормативная надежность трактуется как число, нельзя оп­ равдать указанием на то, что это число — значение нормативной надежности для некоторого заранее выбираемого срока службы Т. В самом деле, одним и тем же значениям начальной надеж­ ности Р(0) и конечной надежности Р(Т) могут соответствовать совершенно различные распределения долговечности. Так, в слу­ чае 1 (рис. 20) конструкция «в общем» гораздо более надежна,

чем в случае 2.

Отсюда видно, что нормативная надежность Ри также долж­ на быть задана в виде функции времени Рн (*)• Надежность в

начальный момент времени обычно бывает задана, поскольку она определяется условиями приемочного контроля. При нагруз­ ке непрерывного типа можно принять, что -Рк(0) = 1. В таких случаях достаточно задать нормативное распределение долго­ вечностей. Указанные способы, как следует из формулы (2.30), эквивалентны между собой. Для правильно запроектированной конструкции должно быть

ческую проблему. Технико-экономические проблемы, в общем, не чужды строительной механике. Напомним, что теория конст­ рукций минимального веса, принадлежащая целиком строитель­ ной механике, представляет собой по существу технико-экономи­ ческую проблему. Минимальный вес не является единственным признаком оптимальности конструкции. Понятие оптимальности содержит в себе также высокую надежность и долговечность, технологичность и, разумеется, высокие эксплуатационные ка­ чества. Здесь же мы затронем проблему оптимальности лишь с точки зрения ее надежности и долговечности.

Нетрудно видеть, что существуют некоторые оптимальные за­ коны для надежности конструкций. С одной стороны, конструк­

ция низкой надежности имеет малый срок службы, быстро вы­ ходит из строя и требует больших расхолов на ремонт. С другой

стороны, увеличение надежности влечет за собой повышение на­ чальной стоимости конструкции. Уже не раз ставилась задача об отыскании оптимальной надежности. Первая попытка тако­ го рода принадлежит Н. Ф. Ходиалову {121]. А. Джонсон посвя­ тил вопросу об экономических размерах конструкций значитель­ ную часть своей книги {162]. А. Р. Ржаницын {95], исходя из предложенного им способа учета изменчивости нагрузок и проч­ ностных свойств материала, вычислил некоторые оптимальные значения гауссовского уровня надежности.

Существенным недостатком работ {95, 121, 162] является ш- норирование фактора времени. Надежность Р трактуется в них

X (1- Р ) / Р .

Наметим теперь при некоторых предположениях идею поста­ новки задачи об отыскании оптимальной надежности. Пусть на­ дежность конструкции Р есть непрерывная и дифференцируе­ мая функция t. Тогда начальная стоимость Со будет функцио­ налом надежности P(t), а стоимость возмещения отказа С|(Г) будет функционалом нормативной надежности P(t) и функцией долговечности Т Стоимость Ci (Г) учитывает расходы по заме не конструкции или ее ремонту, а также материальный и мс ральный ущерб, приносимый отказом (при этом мы не разли чаем отказы по размерам ущерба). С увеличением долговечно

рассмотрения повторные отказы.

При сделанных предположениях полная стоимость конструк­ ции, выходящей из строя к моменту времени t=T, очевидно, оп­ ределяется как С—Со+С\ (Т). Отсюда с использованием форму­ лы (2.30) найдем математическое ожидание стоимости

(2.33)

о

Здесь Т* — предельный срок службы, после которого конструк­ ция снимается с эксплуатации. Функция Р(Т) должна выбирать­

ся из условия, чтобы математическое ожидание стоимости С бы­ ло минимально. Мы приходим, таким образом, к задаче об оты­ скании экстремума некоторого функционала. Лишь для некото­ рых простейших экономических моделей это будут функциона­ лы, принадлежащие к типам, которые изучены в вариационном исчислении.

Напомним, что С0 и С\{Т)} в свою очередь, являются функ­ ционалами надежности P{t). Вид этих функционалов зависит от выбора экономической модели, от типа конструкции, типа на­ грузок, свойств материала, типа отказа и, наконец, от выбора нормативного условия надежности.

Пусть, например, условие (2.31) удовлетворяется для момен­ тов времени tu h ,.. -h- Соответствующие нормативные значения

надежности обозначим через Л , Pit • • Рп- Производя в форму­ ле (2.33) переход к конечным разностям и суммам, получим

С~ ^ 0 (^*1» Pit РIt)

где /0=0, Ра—1 Таким образом, задача приближенно сводится к определению экстремума функции от п независимых перемен­ ных Pu Рг,-. Pu- Чем больше свободных параметров имеется в распоряжении, тем больше число п и тем точнее может быть ре­ шена задача оптимизации.

26. Статистические методы и нормативный расчет сооружений

Изложенные выше методы обладают неоспоримыми положи­ тельными качествами. Прежде всего эти методы правильно от­ ражают случайную природу основных расчетных величин и вза­ имоотношение между внешними нагрузками и прочностью кон­ струкции и поэтому безусловно могут служить теоретической ос­ новой для нормативных расчетов механической надежности. Они позволяют надлежащим образом истолковать нормативные на­ грузки и коэффициент запаса и открывают пути для их более глубокого изучения. Дальнейшее развитие статистических мето­ дов позволит, несомненно, делать различные качественные, а иногда и количественные выводы о тех или иных закономер­ ностях, лежащих в основе нормативных расчетов. Наконец, ста­ тистические методы и методы теории надежности дают теорети­ ческую основу для правильной постановки сбиэра и обработки статистических сведений, относящихся к нагрузкам, характери­ стикам материала и другим расчетным параметрам.

Вместе с тем было бы неправильным придавать этим мето­ дам чрезмерно абсолютное, самодовлеющее значение и проти­ вопоставлять статистические методы обычным нормативным ме­ тодам. По своему назначению строительные конструкции долж­ ны обладать высокой степенью надежности. Поэтому наступле­ ние предельного состояния для конструкций, работающих в нор­ мальных условиях, никоим образом не может рассматриваться как массовое событие. Следовательно, для него утрачивают смысл закон больших чисел и статистическое истолкование ве­

роятности. В этом заключается слабое место приложений стати­ стических методов к нормативным расчетам. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Несомненно, что испытания на прочность об­ разцов из материала возводимой конструкции, а также наблю­ дения над величиной нагрузок в данном районе могут повторять­ ся многократно и трактоваться как реализации некоторых мас­ совых случайных событий. Допустим, что по найденным таким путем вероятностям вычислена теоретическая вероятность отка­ за конструкции и что она оказалась равной 0,001. Какой смысл можно приписать утверждению о том,, что вероятность отказа равна 0,001? Если.даже конструкция и не является уникальной, то все же случайное событие, состоящее в наступлении предель­ ного состояния, никоим образом не может считаться массовым явлением. Это положение нельзя исправить утверждениями ти­ па: «если бы конструкция была осуществлена в весьма большом количестве экземпляров и эксплуатировалась в однородных ус­ ловиях, то в среднем для каждой из 1000 конструкций наступа­ ло бы предельное состояние». Такое истолкование, наверное, не удовлетворило бы ни инженера, проектирующего эту конструк­ цию, ни инженера, руководящего ее возведением.

Все же вероятность 0,001, если она вычислена верно, сохра­ няет смысл некоторой объективной характеристики наступления случайного события. Если утверждение «вероятность отказа равна 0,001» само по себе бессодержательно, то утверждение о том, что «вероятность отказа для конструкции А равна 0}001, а вероятность отказа для конструкции В равна 0,0001», уже со­ держит определенную положительную информацию и даже мо­ жет быть использовано для некоторых практических выводов. Таким образом, столь малые вероятности приобретают смысл как относительные характеристики для оценки надежности раз­ личных конструкций или одной и той же конструкции в разных условиях нагружения.

К сказанному необходимо добавить, что мы почти нигде не располагаем настолько обширными статистическими материала­ ми, чтобы с уверенностью судить о столь малых вероятностях. Поэтому при использовании статистических методов приходит­ ся прибегать к недостаточно обоснованной экстраполяции эмпи­ рических распределений в области малых вероятностей. Ввил'' этого условный характер вычисляемых вероятностей предельных состояний усугубляется.

Наконец, имеется еще одно соображение. Статистическое описание условий работы конструкции под нагрузкой является более полным, чем чисто детерминистическое описание, но все же остается теоретической схемой. Ряд эксплуатационных и тех­ нологических (притом случайных) факторов приходится исклю­ чать из рассмотрения. Между тем в обычных расчетах они неяв­ но, ©се же входят в расчетные коэффициенты.

Итак, статистические методы и методы теории надежности,

несомненно, являются мощным и весьма полезным средством теоретического истолкования, исследования и совершенствова­ ния нормативных методов расчета. Подчеркивая их значение как средства исследования, следует в то же время высказать мне­ ние, что нормативные методы расчета по своей форме должны все же оставаться детерминистическими, а соответствующие нормативные коэффициенты должны назначаться и корректиро­ ваться, в первую очередь, на основании опыта проектирования, возведения и эксплуатации конструкций.

о которых в настоящее время приходится догадываться, отправ­ ляясь от более или менее ограниченного числа эксперименталь­ ных фактов. Не будет преувеличением оказать, что статистиче­ ская теория сыграет в будущем для науки о прочности не менее выдающуюся роль, чем статистическая физика — для учения о молекулярных и тепловых явлениях.

Трудности построения статистической теории деформирова­ ния и разрушения твердых тел носят двоякий характер. Во-пер­ вых, они обусловлены гораздо более сложным взаимодействием первичных элементов в твердом теле, чем, например, взаимодей­ ствие молекул в газе. Детали этого взаимодействия недостаточ­ но изучены. Во-вторых, трудности вызваны тем, что, за исключе­ нием малоинтересных явлений упругого деформирования и уп­ ругого последействия, подлежащие изучению процессы отно­ сятся к категории необратимых процессов. Задача, следователь­ но, состоит в построении теории, описывающей преимуществен­ но необратимые процессы в твердом теле, а именно, процесс пластических деформаций, кинетику распространения усталост­ ной трещины и т. п.

Полученные до сих пор результаты представляют собой лишь первые шаги по пути построения статистической теории дефор­ мирования и разрушёния твердых тел. Так, были предложены простейшие статистические модели, описывающие пластическую деформацию в условиях одноосного напряженного состояния и позволяющие подойти к статистической теории диаграммы рас­ тяжения [3, б, 103]. Вероятностные методы были использованы для вычисления пределов текучести поликристаллических тел при сложном напряженном состоянии [102—105, 192, 196]. Стати­ стический подход неявно присутствует в «теории скольжения» [131], выдвинутой в качестве одного из вариантов теории пла­ стичности для нагружений, существенно отличающихся от про­ порционального нагружения.

Больший успех достигнут в теории хрупкого разрушения. Построение этой теории облегчается благодаря тому, что в пер­ вом приближении можно отвлечься от взаимодействия первич­ ных элементов в хрупком теле, полагая, что прочность тела целиком определяется прочностью наиболее слабого первичного элемента. Такая теория была предложена В. Вейбуллом [207], а также Я- И. Френкелем и Т. А. Конторовой [61—63].

Простейшей задачей статистической теории усталостного раз­ рушения является теоретическое предсказание предела выносли­ вости. H. Н. Афанасьев [3—6], используя детерминистическую модель Э. Орована [1861, свел ее к задаче, аналогичной опреде­ лению хрупкой прочности. Более сложным вопросом являются теоретическое обоснование кривой усталости, а также описание процесса накопления усталостных повреждений. Полное реше­ ние этих вопросов возможно лишь при условии рассмотрения кинетики разрушения под циклическими нагрузками. Предло­

женные до сих пор подходы носят .более или менее формальный

ляется приложение к сжато-изогнутым бетонным и кирпичным колоннам [98]. Другим практически важным результатом яв­ ляется теоретическое предсказание коэффициентов изменчи­ вости пределов прочности хрупких строительных материалов и установление связи между коэффициентами изменчивости и па­ раметрами, характеризующими масштабный эффект [293. Неко­ торые результаты статистической теории усталостного разруше­ ния используются для обработки и истолкования результатов испытаний на усталость [100, 154, 208]. Количество подобных примеров можно было бы увеличить.

28. Статистическая теория хрупкого разрушения

Как уже указывалось, статистическая теория хрупкого раз­ рушения была предложена впервые В. Вейбуллом 12073, Я. И. Френкелем и Т. А. Конторовой [61, 62] для объяснения влияния объема тела на его хрупкую прочность. Согласно этой теории хрупкое разрушение зависит от местного напряжения в точке, где встречается наиболее опасный дефект структуры. В теле имеется весьма большое количество дефектов различной сте­ пени опасности, которые подчиняются некоторому статистиче­ скому распределению. Чем крупнее тело, тем больше вероят­ ность обнаружить первичный элемент низкой прочности и тем ниже прочность тела в «целом/Если напряжения распределены по объему неравномерно, то существенное значение приобретает объем той части тела, где напряжения относительно велики. При построении статистической теории хрупкого разрушения неваж­ но, какое происхождение имеют дефекты; существенно лишь, что прочность тела целиком зависит от прочности наиболее дефектного элемента и что свойства первичных элементов под­ чиняются некоторому распределению вероятностей.

Имеются различные подходы к обоснованию статистической теории хрупкого разрушения, отличающиеся способом аргумен­ тации и постулируемым видом функций распределения для пре­ делов прочности первичных элементов 161—64, 98, 126, 2073. Ни­ же будет дано обоснование при помощи асимптотического рас­ пределения для минимальных значений достаточно больших совокупностей (п. 12). Этот подход является некоторым обобще­ нием подхода Вейбулла, являясь в то же время более оправ­ данным с теоретической точки зрения.