книги / Современные методы анализа электрических систем

Метод поясняется на рис. 5-1. Его можно обобщить и на другие аналогичные случаи. Расчетные формулы для такого преобразования можно вывести из условия неизменности режима непреобразованной части сети. Ясно, что результирующее полное сопротивление пред­ ставляет собой сумму последовательных полных сопро­ тивлений. На рис. 5-1,а между узлами а и Ъ подключены три нагрузки. На рис. 5-1,6 показано упрощение — на­ грузки перенесены в узлы а и Ъ. Токи этих нагрузок определяются по формулам:

в отдельных узлах и токи в ветвях между узлами. Рассмотрим предварительно действия с матрицей,

расщепленной на блоки. Приведем метод, с помощью

курсивный метод. Кроме того, будет рассмотрен способ об­ ращения дополненной матрицы (соотношение Вудбери), который может быть применен для учета в обратной матрице изменений в сети, для расчета режимов слабо связанных сетей (метод расчленения сети). В главе рас­

с еще одним методом обращения при помощи расщепле-

71

пия матрицы па произведение двух треугольных. Обра­ щение здесь состоит в расщеплении матрицы на блоки, для которых затем очень просто вычисляются обратные. К этой последней группе можно отнести также метод исключения Гаусса. Для иллюстрации рассмотренных в данной главе методов приводятся примеры.

5-2. РАСЩЕПЛЕНИЕ ГИПЕРМАТРИЦЫ НА БЛОКИ

5-2,а. Смешанная (гибридная) матрица. Задача со­ стоит в решении матричного уравнения

Сх=у.

С этой целью разделим уравнение на блоки (с индекса­ ми 1 и 2) таким образом, чтобы матрица Си не была особенной:

Переставим блоки векторов с индексом 1: вектор Xi пе­

ной знаков. Получим систему уравнений со смешанной матрицей:

СГГ

Название «смешанная (гибридная) матрица» происхо­ дит от того, что перестановка двух векторов приводит

кизменению характера блоков квадратной матрицы.

Вывод уравнения (5-2) :

Запишем матричное уравнение (5-1) в алгебраиче­

ской форме с разделением на блоки:

Cux,-|-C llx2 = y1; С21х1 + Сааха = у2.

Первое уравнение системы умножим слева на С^1. В результате получим:

— С21С-' у, + (С „ - С..С-1 С,.) ха = у,.

Последние два уравнения составляют матричное урав нение (5-2).

72

5-2,6. Метод замены базиса (алгоритм Гаусса—Жор­ дана).

Если отдельные элементы вектора х в соответствии с зависимостью (5-2) последовательно заменить соот­ ветствующими элементами вектора у, то уравнение Сх= == у окончательно примет вид: С_1у = х.

Рассмотрим первоначально перестановку i-x элемен­

где Си — /-й диагональный элемент матрицы С; С** — матрица, полученная из С исключением i-й строки и i-ro столбца; с*г-, сг- — соответственно i-я строка и i-й столбец матрицы С без i-го элемента, например:

С i — \р \ч • • • >Ci _ 1, Ci+ 1, . •.) £ ц ],

xt, у{ и х*, уi — соответственно i-e элементы векторов х, у и векторы без i-x элементов.

После перестановки i-x элементов векторов х и у по­ лучим:

Далее осуществляем перестановку следующих эле­

димостей электрической сети является неполной: многие недиагональные элементы этой

матрицы равны нулю (отличным от нуля элементам ма­ трицы соответствуют связи между узлами сети). Сети, приведенной на рис. 5-2, например, соответствует сле-

73

дующая 'матрица узловых проводимостей, если в качестве базисного выбран узел 0:

В этой матрице звездочкой * обозначены элементы, отличные от нуля, остальные элементы матрицы равны нулю.

Выбрав i-й узел в качестве управляющей точки \ получим после преобразования согласно (5-4), что от­ личными от нуля станут те элементы матрицы (вслед­ ствие наличия диады2 c*c**), которые соответствуют узлам, соединенным через управляющую точку. Напри­ мер, если в качестве управляющей точки выбрать узел 2, то между узлами 1—4 и 3—4 в результате преобразова­ ния появятся связи, и матрица примет вид:

где новые элементы, не равные нулю, обведены круж­ ком. Таким образом, матрица становится более запол­ ненной, и число расчетных операций увеличивается. Из этого следует, что с точки зрения объема вычислений небезразлично, в каком порядке выбираются управляю­ щие точки. Целесообразно управляющую точку выбирать так, чтобы преобразование (5-4) приводило к появлению наименьшего числа новых ненулевых элементов, т. е.

74

сначала надо выбрать в качестве управляющей точки узел, к которому подключено меньше ветвей. Это имеет весьма большое значение для уменьшения числа рас­ четных операций. Алгоритм такого рода называют ме­ тодом выбора управляющей точки.

Аналогично можно действовать при обращении матрицы контурных сопротивлений. Для определения порядка замены базиса в этом случае разработаны ана­ логичные методы, в каждом из которых используется автоматический выбор управляющей точки [Л. 64].

5-2,в Обращение матрицы, расщепленной на блоки.

Для получения обратной матрицы продолжим переста­ новку векторов, приведенную в § 5-2,а. Уравнение (5-2) можно записать так:

Г Н П Н „ 1 Г-у, 1_ г-х.1 L Н2. Н :2 J L Х2 г I у2 J*

На этом основании из матричного уравнения

С х = у

можно определить матричное уравнение

Ку = х.

Обратной для матрицы С является матрица К, что с помо­ щью блоков записывается в виде

На основании изложенного с учетом (5-2)

К22“ (С„ С21 Си С12) ;

К12— С„ С12К22;

(5-5)

К2, — К22С21Сп ;

К . ^ С - 1(I — С12К21).

75

Если С2а — скалярная величина, С21-вектор-строка, С1а — вектор-столбец, а значит, С ^ С '1 С12— также ска­

лярная величина, то необходимо лишь знать матрицу, обратную Сп.

Из выражений (5-5) можно получить так называе­ мое разложение Эйткена (при котором матрицы Сц и С2 2 должны быть неособенными):

узлы следует группировать так, чтобы к блоку Сц не

можно произвести следующим образом. Матрицу по­

ние матрицы с числом элементов kX\k, то с помощью простого алгоритма можно рассчитать обратную матри­ цу порядка k+ l. На основании этого из матрицы по­ рядка п первоначально выбирается один элемент, соот­ ветствующий матрице 1X1, обратное значение которой получается простым делением. Далее обращают матрицу второго порядка. Эти действия проводятся шаг за ша­ гом до тех пор, пока не будет определена обратная матрица порядка п.

После определения обратной матрицы порядка k, т. е. Zfe= Y “ ] , обратную матрицу порядка k-\- 1 определяют

на основании выражения (5-5). Для этого к матрице порядка k добавляются (&+1)-е строка и столбец:

76

После введения обозначений

Решение уравнения (5-7) согласно (5-5) будет иметь еле* дующий вид:

5-2,д. Пример. Для ознакомления с рекурсивным ме­ тодом определим матрицу узловых сопротивлений для

Задачей является определение матрицы Z3 = \ 3l .

1-й шаг\ для узла 1

*1 = 11.45], Zj = [0,69];

77

2-й шаг: матрица Zl 1-го шага дополняется узлом 2:

=0 ,5 8 — 0 , 0 4 3 =

3-й шаг: матрица Z2 2-го шага дополняется узлом 3:

0 ,7 4 6

0 ,3 2

следовательно, обратная матрица третьего порядка

5-3. ОБРАЩЕНИЕ ДОПОЛНЕННОЙ МАТРИЦЫ (СООТНОШЕНИЕ ВУДБЕРИ)

Покажем вначале справедливость следующего об­ щего соотношения [Л. 37]:

78

Доказательство: умножим слева правую часть (5-11) на C+ USV*; по определению обратной матрицы ре­ зультат должен представлять единичную матрицу. Вы­ полнив это умножение, получим:

i + u s v ^ c - 1—(c + u sv * ) c - ^ s ^ + v ^ - 'U j - ^ c - 1^

= I + [US(S-1 + V#C -,U) — (C + USV*) C-4J] (s -l + + v * c -iu )-i v * c -1.

Так как

US (S■-:*+ V*C- :*0) = и + u sv * c - *u

и

(C + USV*) C- >U = U+ USV*C -‘U,

то выражение в квадратных скобах равно нулю и, та­ ким образом, результат умножения есть единичная матрица.

Если S= cr (т. е. скалярная величина), то соотноше­ ние Вудбери принимает вид выражения Шермана—Мор­ рисона {Л. 36] и может быть записано следующим об­ разом:

5-4. НАРАЩИВАНИЕ СЕТИ

5-4,а. Добавление контурной ветви. Известны: матри­ ца узловых проводимостей Yc и матрица узловых сопро­ тивлений Zc. Пусть между узлами i и / сети подсоеди­ няется линия с проводимостью yv= i/zv |(рис. 5-4). В ре-

/7+ /

7?