книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

Рассмотрим осесимметричное деформирование круглой плас­ тины толщиной h радиусом R в системе координат а, (/= 1,3, - Л /2 < а 3 < hj2 , 0 < а , < R^коэффициенты ЛамеЛу-и кривиз­ ны kj (J= 1 ,2 ) которой равны:

В данном случае разложения (1.16) с учетом того, что вкачестве заданных функций (рм а3) используются полиномы ЛежандраР„(х),

запишутся в виде:

”-2 (3.30)

2 2 N

U3(al,a 3,t) = ul(al,t) + ju l(a l,t)3x +-'£ u l(a .l,t)P;(x),

где - 1 < х = 2 a з !h < \.

Мембранные, изгибные итрансверсальные составляющие де­ формации оболочки (1Л8 ) с учетом (3.29), (3.30) и осесимметрич­ ного характера деформирования пластины имеют вид:

151

(3.31)

Компоненты тензора конечных деформаций еи (i = 1,3)» е\з

определяются через введенные величины с помощью соотноше­ ний (1.7) или их упрощенных вариантов (1.20), (1.21), причем е,2=

= ^23= ^‘ Физические соотношения реализуются на основе теории тече­

ния с линейным упрочнением [153].

Вариационное уравнение динамики (1.51) для круглой плас­ тины с учетом аппроксимаций (3.30) и построенных на их основе геометрических соотношений (3.31) запишем в виде

Ft8u? + F}8u'3 +M ,8ul + М 3Ъи\ + £ ^ я««," +

152

N°bu° +N°5u\+M°bul +

где усилия, моменты, инерционные характеристики и нагрузки оп­ ределяются выражениями:

= ^ и О + е п )+ ^ 1 1 ® .. + е . ® 1 з + к .1 + К з . з »

К г = N 22(\ + E 22) + M 22X 22 + М 2222,

Qn ~ а О + * зз) + ^ . 1«.з + М \т + Л*ШЗ>

М ,, = ■W,1(l + el ,) + ^i1® i, +^13®,3 +Л^11м +^1313»

М22 = м 22 (1 + е 22) + ^22*22 + ^2222»

031 = 6 lO + e il) + 033®!3 + A f„ * „ +A f31,, + М 3313,

бзз = бззО + ®зз) + б|е13 + ^ззэз + -^зпз »

153

h +*

(М",„Л/"',,Кмз) = т /«Гм(»и.*®Г|.®Гз)'0 +* 2),

^ -I

'Гззз.Л Сэ> К з зз) = h |стп (ае13,.хае,3 ,ае33) ^ ,

^ -1

h +\

К = ' • ( ? , - ? ,) . М3 = - ^ ( р 3 + д3),

154

155

2 8{гм;г)

(n = 3,N); (3.34)

hda,

-естественные граничныеусловия при a , = О, R

Разрешающая система уравнений круглой пластины в рамках модели Тимошенко может быть построена как на основе вышерас­ смотренных соотношений при линейной аппроксимации танген­

156

циального перемещения и при постоянном нормальном переме­ щении в зависимостях (3.30), так и с использованием уравнений пятимодальной теории оболочек (1.68)—1.70), которые в данном случае запишутся в виде:

-уравнений движения пластины

В работе [271] представлены экспериментальные результаты для жестко защемленных круглых пластин радиуса/?, нагруженных импульсом по кругу радиуса R/3. С помощью высокоскоростной камеры регистрировались динамические прогибы в различных точках пластины. Основной источник погрешности эксперимента, по мнению авторов, заключался в проскальзывании пластин на защемленном контуре. Сравнение численных результатов с экспе­ риментальными проведено для пластины, имеющей следующие геометрические параметры: А= 1 6 10"4 м; Л = 762-10”4 м. Меха­

157

нические характеристики материала пластины были равны: Е = = 70 ГПа; v= 0 ,3 ; р = 0,274104 кг/м3; g = 0 ,5 1 ГПа; сг, = 0,3 ГПа. Пластина нагружается начальной скоростью = 189 м/с.

На рис. 3.31 представлено сравнение экспериментальных дан­ ных (обозначены точками) и результатов расчета, полученных по вышеизложенной методике (сплошные линии), по перемещениям (прогибам) во времени tx=tcJR для двух точек срединной поверх­ ности а , = 0 и а, =R/2 (точке а , = 0 соответствуют верхние кривые).

На рис. 3.32 показано изменение прогиба вдоль радиуса пластины в различные моменты времени /, = 3 ,8 6 ; 7 ,7 ; 15,4; 2 2 ,1

(кривые 1, 2 ,3,4 соответственно).

Рис. 3.32

158

Анализ результатов показывает, что: а) эксперимент дает боль­ шую величину первого максимума прогиба; б) частота колебаний при численном расчете несколько выше, чем в эксперименте; в) остаточный прогиб в расчетах больше по сравнению с эксперимен­ тальными данными. Отмеченные расхождения, по-видимому, свя­ заны, с одной стороны, с некоторой идеализацией расчетной схемы, а с другой, - с погрешностями эксперимента, отмеченными авто­ рами [271].

Таким образом, проведенное сопоставление показывает удов­ летворительное совпадение (по максимуму прогиба с точностью до ~5%) результатов расчетов с экспериментальными данными, хотя прогибы достигали —0 ,2 /? (~ 1 0 Л), то есть были большими.

Ниже приведены результаты сравнения упругопластического деформирования круглых жестко защемленных по внешнему кон­ туру пластин при импульсном нагружении, полученные на основе вышеизложенной методики (в рамках модели типа Тимошенко) и методики шаговой линеаризации [41]. Материал пластинок - сплав Д16Т, имеющий следующие характеристики: Е=73 ГПа; v=0,3; р = 0,27 1 0 4 кг/м3; g = 0,6 ГПа; а , = 0,37 ГПа. Нагружение осуществлялось начальной скоростью по всей поверхности плас­ тины.

На рис. 3.33,а,б приведены графики перемещений и3(прогиба) во времени tx=tcx/R в “полюсной” точке (а, =0), рассчитанные при h/R=0,0125; 0,00625 соответственно. Кривые 1,3,5,7 полу­ чены при расчете по вышеизложенной методике (в рамках квадра­ тичного варианта геометрически нелинейной теории) для началь­ ных скоростей м3° =50,100,200,300 м/с. Кривые 2,4,6 ,8 получены для тех же начальных скоростей, но расчет производился по методу шаговой линеаризации [41] (то есть на каждом временном шаге решалась геометрически линейная задача с последующим пере­ счетом геометрических параметров пластины).

Из приведенных результатов видно, что решения по обеим методикам совпадают, когда величины максимального прогиба

и3 £ 0,25R. Для больших величин максимальных прогибов наблю-

159

даются существенные расхождения в результатах решения, причем они увеличиваются с увеличением толщины пластины. Величина максимума прогиба при учете геометрической нелинейности в рам­ ках квадратичного варианта нелинейной теории упругости меньше, и достигается этот максимум раньше, чем при учете больших про­ гибов путем пошаговой перестройки геометрии пластинки (метод шаговой линеаризации).

а)

б)

Рис. 3.33

160