книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

На рис. 5.24 построены графики 1-12, характеризующие выпу­ чивание оболочки при фиксированных давлениях =0; 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 1; —1; —3; —5 МПа взависимости от скорости удара VQ.

Рис. 5.24

Представленные результаты свидетельствуют, что статическое давление оказываетсущественное влияние на несущую способность и формы выпучивания оболочек при ударном нагружении.

Рассмотрено поведение конических упругопластических обо­ лочек при ударном нагружении. Геометрия конуса определяется следующим образом. Фиксируем основной цилиндр длиной L и

радиуса R0, а конические поверхности получаем поворотом обра­ зующей относительно среднего сечения оболочки на угол а.

Геометрические параметры исследуемых оболочек таковы: Л0 =0,1 м; L/RQ=2,4; RJh=60; а =0-^30°. Используется материал Д16Т. Соотношение масс ударяющего груза и оболочки %=5. Удар производится по меньшему торцу. В отличие от цилиндрической, коническая оболочка испытывает продольно-поперечный удар.

Для конических оболочек роль краевых эффектов и влияние изменения метрики по длине возрастает с увеличением угла

271

конусности, поэтому переходный волновой процесс отличается от аналогичного процесса в цилиндрической оболочке. На первом пробеге волны сжатия (0 < т < 1) напряжения на фронте падают по мере его удаления от меньшего торца. На втором пробеге наблю­ дается обратная картина. При т~2 на ударяемом торце появляются пластические деформации и намечается место образования кольце­ вой складки. В дальнейшем, как и для цилиндрических оболочек, роль волнового процесса становится несущественной.

На рис. 5.25 приведены результаты исследования выпучивания оболочек при различных скоростях удара и углах конусности. Кривые 1-5 соответствуют V0/c=0,0014; 0,0018; 0,0023; 0,0027; 0,0037 и представляют безразмерные прогибы, отсчитываемые по нормали к недеформированной срединной поверхности оболочки в момент времени, когдапрогиб на выпучинедостигает максимума. Для оболочек с а > 10° изображена только зона выпучивания, так как на остальной части конуса нормальные перемещения малы.

0,2

Рис. 5.25

272

Вотличие от цилиндрических оболочек, где выпучина образу­ ется чаще всего на закрепленном торце, для конических оболочек характерно образование складки вблизиударяемого (меньшего)тор­ ца. По мере увеличения угла конусности длина полуволны выпу­ чивания уменьшается.

Вслабоконических оболочках (а < 8 °) наблюдается перестрой­ ка характерной формы выпучивания в зависимости от скорости удара, что объясняется влиянием изменения метрики подлине обо­ лочки на степень пластического деформирования при распростра­ нении и отражении продольной волны сжатия от торцов.

При а > 8 ° продольные напряжения наударяемом торце внача­ льной стадии процесса (т < 2 ) не падают, как в цилиндре, а возрас­ тают, что приводит к более быстрому формированию кольцевой складки. Вблизи неподвижно закрепленного торца выпучина не образуется, так как напряжения там в течение всего процесса де­ формирования меньше, чем на ударяемом торце, и не превосходят предела текучести.

Исследования показали, что критические скорости удара для конических оболочек меньше, чем для цилиндрических. При а>

>2 0 °зависимость амплитуды выпучины отскоростиудара не имеет

ярко выраженной точки излома, не наблюдается итрансформации волнообразования, то есть отсутствуют характерные особенности, присущие процессам динамической потери устойчивости.

5.4. Нелинейный анализ неосесимметричного выпучивания тонких оболочек вращения при осевом ударе

Обзор экспериментальных итеоретических исследований по выпу­ чиванию упругих цилиндрических оболочек при осевом динами­ ческом сжатии представлен в работе [72], поэтому отметим только основные достижения в решении этой проблемы.

Экспериментально установлено [162,185,203,245] наличие осесимметричной и неосесимметричной стадий процесса выпучи­

273

вания цилиндрических и конических оболочек. Определено, что

длина неосесимметричной выпучины связана с длиной осесимме­

тричной выпучины и вдвое больше ее [145].

Втеоретических работах краевые эффекты не учитывались, и докритическое осесимметричное состояние принималось безмоментным. При линейной постановке задачи осесимметричные и неосесимметричные формы потери устойчивости рассматривались как независимые.

Аналитическое решение [145,185] задачи ударного выпучи­ вания полубесконечной цилиндрической оболочки в такой по­ становке показало, что осесимметричные формы имеют наиболь­ шую скорость роста и необходимо учитывать связанность осесим­ метричных и неосесимметричных форм. В работах [145,162] для определения размеров неосесимметричной вмятины (ромба) при­ влеченатеория изометрического изгибания, которая позволила оце­ нить размеры вмятин вне зоны краевого эффекта.

Вгеометрически нелинейной постановке расчеты неосесим­ метричного выпучивания проводились только методом БубноваГалеркина в невысоких приближениях [72]. В [73,74] получено численное решение задачи динамического осевого сжатия в высо­ ких приближениях и сделан вывод о применимости метода Буб- нова-Галеркиналишь втом случае, когда выпучивание происходит

всредней части оболочки, вне зоны краевого эффекта.

Во всех экспериментальных работах выпучивание цилиндри­ ческих и конических оболочек наиболее ярко выражено в зоне крае­ вого эффекта. Выпучивание в средней части наблюдалось лишь у очень тонких оболочек при скоростях нагружения, близких к квазистатическим [108].

Постановка и численное решение задач ударного выпучивания оболочек вращения с учетом краевых, волновых и нелинейных эф­ фектов, связанности осесимметричных и неосесимметричных форм впервые осуществлены в работах [47,48].

Уравнениядвижения тонких оболочек вращения в рамках моде­ ли Кирхгофа-Лява при малых деформациях и больших переме-

274

щениях можно записать в гауссовой системе координата, (/= 1, 2 ) в виде [199]:

Здесь Л2(а,) - параметр Ламе (z - ось вращения); ^ ( а , ^ ) - на­ чальный прогиб; н3( а ,,а 2) - дополнительный прогиб; w.(a,3a 2) - тангенциальные перемещения вдоль образующей и меридиана; QiV N0- перерезывающие и тангенциальные усилия; к.=к.+&..+

- полные кривизны и кручение оболочки; к. - главные кривизны срединной поверхности оболочки.

Изменения кривизн выражаются по формулам:

275

д2иъ ^d(£,,M,)

Перерезывающие усилия определяются из уравнений моментов [199]:

Поскольку при осевом ударе по торцу оболочки неосесиммет­ ричные формы выпучивания имеют периодический характер в ок­ ружном направлении, решение будем искать в виде:

276

в виде

N °=K (el+ V6°),

где

eH ^ 0+^ “i(";+2Si)+ftX-

Пренебрегая тангенциальными силами инерции, определим неосесимметричные составляющие усилий из уравнений теории пологих оболочек через функцию усилий Ф (а ,,а 2,/)-

Функция усилий должна удовлетворять уравнению совмест­ ности деформаций [199]:

- Eh[ae,2 +2ае,2аг,2 -ае,,^ ” * 22(^1+аеп)]* (5-18)

278

Будем искать ее в виде

ф ( а ,, а 2, t) - (р, ( а ,, /) cos па2+ <р2 ( а ,,t)cos 2иа2.

Таким образом, тангенциальные усилия N.. можно записать окончательно:

Подставив в уравнения (5.13)-(5.15), (5.18) соответствующие выражения перемещений, изменений кривизн и внутренних уси­ лий и применив к ним метод Бубнова-Галеркина, получим систему нелинейных дифференциальных уравнений относительно искомых

функций и”, и\, и\, ф|, Ф2:

рА«,° = ( К ) +Л, « - 0 +

279

+“з ^фГ - | л,ф! + |^ > i]+ 2 ii4 , (<Pi - 4 ф,)

++ й3' <p; j .

phii\ =-Щ з(«;) + 14(л,«з)]-Л^|Ф, + *2ф”~

280