книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций
..pdfkhGn |
О, (2.25) |
где Ехи G|з - продольный и сдвиговый модули упругости, к - коэффициент сдвига.
Как уже отмечалось, устойчивость явной схемы типа “крест” определяется высшей частотой собственных колебаний дискретной системы, поэтому в дальнейшем ограничимся анализом устойчи вости для последних двух уравнений (2.25). Исключая из (2.25) ср,
и переходя к безразмерным переменным w=u3/X, Т| = АД, х= осД ,
т= tc/X, с = TJE J р , получим уравнение свободных колебаний композитной балки:
дам> |
12 d2w |
d4w |
(2.26) |
дх4 |
V |
= 0, |
|
дх2дт2 |
|
где а - k G u!Ey
Будем предполагать, что края пластины (балки) шарнирнооперты. Тогда в качестве решения (2.26), ввиду его линейности, можно рассматривать один член ряда Фурье:
w(x, т) = Asin сот sin ях, со = Q X/с, |
(2.27) |
где X - длина полуволны, Q - частота изгибных колебаний. Разностные аппроксимации (2.3), (2.7), (2.8) в случае одномер
ной задачи запишутся в виде:
101
а4/) >4, /,2-4/4,+6/ -4/м +//-;
=(Д х)4
|
a V |
« 4 7 , |
= |
/ - |
2 / |
+ |
/ |
(2.28) |
|
а /2 |
|
(АО2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
где / = /(/Д х ,т )= /(х ,.,т ), i = 1,2,..., |
- |
неизвестные |
функции |
|||||
/ (х,0 в узлах разностной сетки. |
|
|
|
|
|
|
||
Разностный аналог уравнения (2.26) имеет вид: |
|
|||||||
,4 |
12 |
d 2w,. |
. |
, 2 д |
wt |
д w, |
|
|
dxWi+— - r f - Q + < * ) d> — r- + OL----т^ = 0. |
(2.29) |
|||||||
|
Г| |
ох |
|
аг2 |
ат4 |
|
||
Решение конечно-разностного уравнения (2.29), согласно (2.27), примем в виде
|
w(x,, т) = Asin сотsin(7t/Ах). |
(2.30) |
||
Подставляя решение (2.30) |
в (2.29), получим соответствующее |
|||
характеристическое уравнение |
|
|
|
|
12 |
2/ а м \ |
/1 |
4 4 sin 2(7iAx/2) |
|
— |
cos2(яД х/2) + (l + а ) ---------‘ |
} |
||
Л“ |
|
|
Ах |
|
| l6sin4(7iAx/2) Q
(2.31)
Ддс4
Из (2.31) следует, что большая по модулю частота, которая оп
ределяет устойчивость разностной схемы, имеет вид:
ат| а Ах2
102
|
2 (а +1) |
р |
-11/2 ) '/2 |
+ A ( l - p |
16 |
||
) + |
Ах2 |
(2.32) |
|
ar| |
а |
аД х4 |
где р = sin 2(7iAx/2).
Требование устойчивости явной схемы накладывает следую щее ограничение на шаг по времени [192]:
2
|
-------, |
(2.33) |
|
©max |
|
которое с учетом (2.32) приводит к условию |
|
|
Ах, |
Дх/г) < ((а -1 )/3 )1/2, |
|
Ат = |
Ах/ц>((а+ ф У \ |
(2.34) |
- 4 - г . ( ( а + 1)/3)1/2 <Ах/ц<((а- 1)/3)'/г, 1©(Ро)
где
_ 12/а(Ах/т|)2[3/а(Ах/т|)2 -1/а-1] [3/а(Ах/г|)2 —1/а —I]2 - 4 /а
Следует заметить, что оценка (2.34) применима в задачах динамики изотропных балок. В этом случае в (2.34) а =2(1 +v)/ky
где v - коэффициент Пуассона.
Далее рассмотрим двумерную линейную задачу о поперечных колебаниях изотропных пластин. В декартовых координатах xi
(i ■= 1,2) система уравнений движения (1.68), записанная в переме щениях в безразмерном виде, может быть представлена в следую щей форме:
103
w + — — f ^ - ^ ] |
- T $ r = 0 > O ^ 2 )’ |
||||||||
1 2 |
дх,{дх, |
|
дхг ) |
|
c 2 |
a t |
|
|
|
[ |
|
dxl |
|
dx2) |
c2 |
dx |
(2.35) |
||
+ U |
^ ± ( ^ |
_ 8 b ) j M |
^ l . + <Pi |
|
|||||
1 |
2 |
cbc, l cbc, |
dx, |
j |
I]2 |
l dx, |
|
||
|
|
л2 V |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
± ^ |
■ |
0 , |
|
|
|
|
|
где V 2 = д2/дх2 + д2/дх] |
-двумерный оператор Лапласа, м;° = |
||||||||
= ujL, с = [Е/(р (1 - v 2))],/2, т = tc!L, Ti = hlL, a = k2(l - |
v)/2, |
||||||||
Z - некоторый линейный размер. В дальнейшем индекс “0” будем опускать.
С целью получения оценки допустимого шага интегрирования по времени в явной схеме типа “крест” рассмотрим задачу об опре делении высшей частоты собственных колебаний дискретной сис
темы, моделирующей пластину.
Известно, что при наложении кинематических связей на прогиб
(щ = 0) высшая частота собственных колебаний практически не изменяется. Поэтому вместо (2.35) будем рассматривать усеченную
систему уравнений: |
|
|
|
|
||
Г72 |
1 + V |
d 2<p2 |
s2 <p. |
Па |
- L ^ L |
= 0 |
У 2Ф, + — |
дх,дх. |
d x \ j - - Г Ф г |
||||
|
|
- 2 дт2 |
’ |
|||
|
|
|
(Ю2), |
|
|
(2.36) |
которая путем введения функций |
|
|
|
|||
|
frpi |
дЧ>2 |
&Р2 |
дф, |
т. = ст, |
|
|
Р = дх, |
д х , |
д х , |
дх ,’ |
(2.37) |
|
104
распадается на два независимых уравнения:
(2.38)
В дальнейшем будем анализировать первое уравнение, по скольку оно описывает распространение волн с большими ско ростями, чем второе.
Для построения разностного аналога (2.38) введем равномер ную прямоугольную сетку Ах, (i = 1,2) с числом узлов (/ = 1,2) вдоль осей х, (/ = 1,2) соответственно. Рассмотренные выше аппро ксимации (2.3), (2.7) в данном случае эквивалентны центрально разностным девятиточечным шаблонам [57] как для функций, так и для первых и вторых производных от них.
Эти разностные операторы имеют следующий вид:
(
+ |
- 2 / ы , |
4(Л *,)2, |
(■
С учетом (2.39) дискретный аналог первого уравнения (2.38) можно представить в виде
105
d 11 |
d f |
- |
^ Г к , = 0 ' |
(2.40) |
*1 |
X2 |
|||
|
|
|
|
|
[4(Дх,)2 |
4(Лх2)! 16л2 |
|
^ |
|
Возьмем в качестве решения (2.40) один член ряда
Ру = PQ.sin со. т. sin а / sin Рj,
(2.41)
а = — , р = — , i j = 1,2,3,...,
и с учетом (2.39) получим для со. = со/с выражение
2 |
4 |
. 7 ^ |
2 Р |
4 |
2 ^ • |
• a |
со. = |
--------(Ax,)" ' 2- |
s in — c o s —+ |
--------- c o s |
— sin |
— + |
|
|
2 |
2 |
(Ax,)2 |
2 |
2 |
|
|
|
12a |
2 a |
2P |
|
(2.42) |
|
|
+ — г-c o s — cos —. |
|
|||
n2 2 2
Из (2.42) следует, что допустимый шаг по времени определяется по формуле
At < |
2 |
2 |
. ( Ах. |
Ах, |
(2.43) |
|
---------= |
------------- |
= Ш1П| — |
L, — |
|||
|
|
|
V |
с |
С |
с*л/За |
В заключение рассмотрим оценки устойчивости конечно разностной схемы интегрирования уравнений неклассической те ории пластин, полученных на основе модели с разложением в ряд. Линейный вариант системы уравнений (1.52), описывающей по перечные колебания пластины, в случае разложений по ортонормированным полиномам Лежандра, можно представить в виде:
1 |
ди2 |
ди" |
2п + 1 2 |
у |
ди?*"*' |
2 0 - V) & 2 |
дх] |
дх2 |
h 1 - |
v |
& , |
106
|
ju-2k-l |
4л |
|
|
|
|
|
|
2 а . |
,ч5мГ'" |
л+2*+2 , |
„-2JK |
|||||
|
cbc, |
- т » * I |
|
+ V2Jt«l ) |
|
|||
1 |
д 2и г |
|
|
(1 <-> 2), |
|
|||
d |
dt2 |
{n = 0,N), |
(2.44) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
v 2< + £ . 2(2H+ 1)[ 9M, |
|
dw,2i |
|
|
2v |
|
||
|
|
ЙС. |
|
d x , |
гзг.Л 1 —v) |
|
||
|
cbc. |
л 2 |
---- тт(Ьу]*2Ш + |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
----------- |
( 1Я — ( \ |
XT' |
|
|||
|
|
1 |
5 |
«? |
, |
S-77- |
|
|
+A.-2* «;■” ) |
a . c t d t 2 |
(и = 0, N ), |
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
a* = Ц/(Я. + 2ц) = (U 2v)/[2(l- v)], |
c. = V ^ + а д 7p, |
|||||||
^n-2k = ^ ( 2 « - 4 & - 4 w i - l ) 2, 2 л - 4 £ - 4 т - 1 > 0 , |
|
|||||||
|
|
1(2« -4 т -1)2. |
|
|
|
|||
|
|
/И=0 |
|
|
|
|
|
|
Введем новые обозначенияЯ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ам2л |
п |
д и ? |
д и \ |
|
|
|
|
|
cbc2 ’ |
^ |
йс2 |
д х х |
|
|
|
и учтем, что первые производные функций дают малый вклад в высшую частоту колебаний. При этом система уравнений (2.44) распадается на три независимых системы уравнений:
п 2 _ * 4 л * V / 7 i |
„ w+2*+2 4-А |
п"~2к) - 1 д 2^ П |
V Р —f U K p |
+ W |
) - с2 й 2 • |
107
|
к, |
1 |
д2д* |
(2.45) |
|
1+Ьп-2кЯп } |
с2 |
dt2 ’ |
|
л *=0 |
|
|||
|
п-2кч |
1 d2Un, |
|
|
а У 2и ; - ± % ( Ь пи?2к+2+Ьг |
) " c 2~dir |
|
||
|
™ |
|
||
В силу симметрии уравнений (2.45) достаточно провести ана лиз первой и третьей группы уравнений. Согласно теореме Гершгорина [192], верхняя грань спектра частот этих уравнений может быть оценена сверху путем заменыf N~2k (к = О, (N - 1 ) / 2) наf N.
Преобразованные уравнения представим в виде:
4 a.cN |
1 d2p N |
V2p* -
dt2
1 d \ N
(2.46)
a.c2 dt2
c* = £ Z ( 2Ar“ 4* - 4'” - 1) 2’ 2W - 1 > 4(k + m).
*=0 m=0
Уравнения (2.46) с точностью до коэффициентов совпадают с вышерассмотренным уравнением (2.38). Поэтому на прямоуголь ной конечно-разностной сетке оценки устойчивости схемы “крест” для уравнений неклассической теории могут быть получены ана логично и представлены в виде:
| тт[дх, / с . , Ддс2 / с., h/(с. -Ja,cN)],
|тт[дж , 1(с.^а~.)Мг /(с,Л/вГ),А/(с,>/с7)]. ('2АГ)
Оценки (2.47) можно записать в более удобном виде;
min(Ax, / с ., Дх2 / с ,), если m in Ах, < Л Д /с ^ 9
Л /(с* 7^7)» если min Д*/ > V (/ = 1,2). ^
108
Из (2.48) следует, что на квадратной сетке при Ax, =Ax<h/^[c^
допустимо вести счет с числом Куранта, равным единице. Мажорирующая (2.48) оценка записывается в виде
л |
• |
А*# |
(2.49) |
At < m m — - |
|||
|
'=1.2 |
С* |
|
где cN= 1 для случая шестимодального варианта, а при N= 3, cN=
=27; приN = U , C n = 1981.
2.4.Алгоритм решения
Укрупненный алгоритм решения сформулированных выше на чально-краевых задач нелинейного деформирования композитных оболочечных элементов конструкций при импульсном нагружении состоит в следующем.
Процесс вычислений разделяется на два этапа: вспомогатель ный и основной. Вспомогательный этап заключается в задании, вычислении и записи на внешний носитель информации, остаю щейся неизменной в процессе решения системы сеточных уравне ний (2.12), (2.17), (2.22). Основной этап состоит в непосредствен ном интегрировании систем сеточных уравнений и вычислении необходимой информации, изменяющейся на каждом временном шаге и формировании на ее основе базы данных решения задачи. Остановимся более подробно на основных моментах реализации алгоритма.
Вспомогательныйэтапвычислений
1. Вводится информация о кинематической модели элемента конструкции, количестве материалов, используемых в конструкции,
иряд других.
2.Вводится управляющая информация по записи результатов решения задачи в файлы одномерной и трехмерной графики и файл результатов.
3.Вводится информация, характеризующая геометрию элемен
109
та конструкции, число слоев для многослойных элементов кон струкций, физико-механические характеристики материалов, гра ничные и начальные условия, вид нагружения, разностную сетку
иряд других параметров.
4.Вычисляются координаты узлов основной сетки, коэффи циенты Ламе, кривизны; производится кодировка ячеек основной сетки.
5.Задаются списки граничных узлов расчетной области; коди
руется тип граничного условия для каждого узла; в случае контакт ного взаимодействия с жестким телом или недеформируемой пре градой задаются номера узлов области возможного контакта и ха рактеристики жесткого тела; задаются статические (усилия, момен ты) или кинематические (перемещения, углы поворота и т.д.) харак теристики для граничных узлов.
6.Задаются внешние нагрузки в виде произведения двух функ ций с разделяющимися переменными по пространству и времени.
Взадачах соударения с жесткими преградами задается скорость удара и направление падения конструкции.
7.Для задач устойчивости задается начальная погибь.
8.Вычисляются коэффициенты операторов численного диффе ренцирования, значения производных от параметров Ламе, под считываются площади ячеек основной и промежуточной сеток, оп ределяются массы и моменты инерции ячеек.
9.Из условия устойчивости разностной схемы вычисляется шаг интегрирования по времени.
10.Задаются начальные условия.
11.Осуществляется запись начальной базы данных решения задачи на внешний носитель.
Основнойэтап вычислений
1. Вводится управляющая информация о задаче, считывается информация с внешнего носителя начальной базы данных решения.
2. В цикле по ячейкам основной разностной сетки вычисляются линейные составляющие деформаций. Структура этих соотно шений одинакова как для кинематически однородной, так и для
110