книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

щения U, (1.2.4) или (2.1.70) для расчета тензора деформации T L или Те, (1:2.137) для расчета топора скоростей деформаций Т$. Вместе с основ­ ным множеством перечисленные уравнения образуют новое замкнутое множество уравнений, содержащее 28 скалярных уравнений и такое же количество скалярных неизвестных, которое используется в математиче­ ской постановке изотермических задач ТП. Для неизотермических про­ цессов к этим уравнениям следует добавить уравнение теплопроводно­ сти (1.4.61), в котором все теплофизические параметры должны бьпь заданы. В этом случае к 28 неизвестным величинам добавляется темпе­ ратура 6 и замкнутое множество содержит 29 скалярных уравнений.

При решении некоторых задач МСС основное множество уравне­ ний удобно записывать не через вектор скорости V, как это показано в табл. 4, а через вектор перемещения U. В этом случае в основном мно­ жестве остается уравнение (1.3.13), а уравнения (1.2.92) и (1.4.5) (табл. 4) заменяются уравнениями (1.2.4) и (1.2.145) соответственно. При этом последнее уравнение необходимо переписать в эйлеровых координатах. Интегрируя (1.2.145), имеем pJi, =с. Для определения константы с вос­ пользуемся начальными условиями: при t =to величины JL = 1 и р = ро(£*). Теперь (1.2.145) можно переписать в виде

Отсюда, учитывая (1.2.56), получаем

Кроме того, в уравнении движения (1.4.16) вместо вектора скорости нужно записать его значение, рассчитываемое по формуле (1.2.90). Окончательно получаем основную замкнутое множество уравнений в перемещениях (табл. 5).

Так же как и в предыдущем случае, к основнму множеству уравне­ ний, представленных в табл. 5, можно добавлять необходимое количе­ ство других уравнений, не нарушающих замкнутость множества.

Т а б л и ц а 5 . Основноемножествоуравнетйвперемещениях

Дли выполнения второй части математической постановки задачи не­ обходимо оговорить значения параметров, входящих в замкнутое множе­

131

ство уравнений, в начальный момент времени (начальные условия) и на границе области движения сплошной среды (граничныеусловия). Совокуп­ ность начальных и граничных условий называется крош ит условиями.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что при интег­ рировании множества дифференциальных уравнений, содержащих производные искомой функции одного аргумента наивысшего порядка п, их общее решение зависит от л констант интегрирования. При интег­ рировании замкнутого множества уравнений, связанного с постанов­ кой краевой задачи, количество таких констант зависит от наивысшего порядка производных по времени t и наивысших порядков производ­ ных по эйлеровым координатам Е,. Общее количество соотношений в краевых условиях должно быть равно общему количеству констант ин­ тегрирования. Причем эти условия могут быть заданы как для самих параметров, входящих в множество, так и для производных парамет­ ров по аргументам порядка не выше л - 1.

Исходя из изложенного, подсчитаем количество соотношений в крае­ вых условиях, необходимых для определения констант интегрирования основного замкнутого множества уравнений (табл. 4). Проще всего это можно сделать путем последовательных подстановок уравнений (1.5.13), (1.2.92), (1.4.5) основного множества в (1.4.16), приводящих множество четырех тензорных уравнений к одному тензорному уравнению. Тогда относительно лагранжевых координат Lk полученное дифференциаль­ ное уравнение будет содержать производные второго (наивысшего) по­ рядка по времени г и по эйлеровым Е, координатам. Значит в ЛГ-мерном эйлеровом пространстве количество констант интегрирования л = 2(1 +N). Это же число определяет количество необходимых соотно­ шений в краевых условиях. При этом отмечаем, что две константы бы­ ли связаны с интегрированием по времени. Значит начальные условия должны содержать два соотношения. Одно из них определяет значение

времени. Остальные константы интегрирования должны Определяться условиями в каждой точке границы S области О движения сплошной среды. В процессе движения среды пространственные координаты гра­ ничных точек в общем случае изменяются, а лагранжевы координаты, исходя из определения этих точек (см. п. 1.3) с учетом (1.2.10), остаются неизменными. Поэтому обычно границу области связывают с интерва­

лом изменения лагранжевых координат Ьк й Ь к й Ь \ и задают в виде*

* Соотношение (1.5.19) следует рассматривать лишь как удобное математическое, но не физическое, равенство

132

0 L k

На этой границе производные — — должны принимать значения, ко-

SEj

торые задают в соответствии с априорными или апостериорными пред­ ставлениями об изучаемом движении. В связи с тем, что производные

ние начальных и граничных условий для V может быть заменено на­ чальными

и кинематическими граничными (1.2.170) условиями для вектора скоро­ сти — условия С. Если последние условия заданы на всей границе об­ ласти, то, как отмечалось ранее (см. п. 1.2.8), S=Sy.

Вместо кинематических условий (1.5.20) и (1.2.170) для отдельных задач удобнее записывать статические начальные условия

и статические (нормальные и касательные напряжения) граничные усло­ вия (1.3.50) - условия И . В случае, когда последние условия заданы на всей границе области, имеем S = S C (см. п. 3.5). Наряду с кинематиче­ скими или статическими граничными условиями при решении задач часто задают смешанные граничные условия, когда на поверхности задаются нормальное напряжение (1.3.52) и тангенциальная скорость

(1.2.175) -условия Н НТС, или на поверхности Sxy задаются касательное напряжение (1.3.53) и нормальная скорость (2.1.171) - условия КННС.

Совокупность всех величин, характеризующих значения кинемати­ ческих и статических параметров в начальный момент времени и на границе области движения среды, называется механическими краевыми условиями. Различные варианты записи механических краевых условий для параметров основного множества уравнений приведены в табл. 6.

Таблица б. Мехм—ческнскраевыеусловии основногоаяижеетвауравияиЛ

133

В общем случае при решении задач ОМД граница области движе­ ния металла может состоять из участков, на которых заданы С, Н, ННТС и КННС - граничные условия

При расширении основного множества уравнений введенная до­ полнительных уравнений и параметров движения среды для последних также записываются краевые условия, если эти условия не являются следствием механических краевых условий основного множества урав­ нений (табл. 6). Так, при добавлении к основному множеству (табл. 4) уравнений (1.2.4) могут быть использованы краевые условия (табл. 6), либо краевые условия основного множеств в перемещениях (табл. 7), где в отличие от табл. 6 вместо С-, ННТС- и КННС-условий в скоро­ стях используются П-, Н Н ТП - и КННПусловия в перемещениях соот­ ветственно. Условия табл. 7 применяются при решении основного множества уравнений в перемещениях (табл. 5).

Таблица 7 . Механическиекраевыеусловияосновногомножества уравнений в перемещениях

При решении неизотермических задач в их математической поста­ новке наряду с уравнением (1.4.61) рассматриваются температурные краевые условия. В зависимости от типа решаемой задачи это могут быть граничные условия первого, второго, третьего или четвертого ро­ да, рассматриваемые для нестационарных задач вмесге с начальными температурными условиями. Последние, как и ранее, означают распре­ деление рассматриваемого параметра, в данном случае - температуры, в начальный момент времени

Граничные условия первого рода определяют распределение темпе­ ратуры 6” на границе Si объема П тела Л /в любой момент времени:

При этом должна соблюдаться совместимость (1.5.24) с условием (1.5.23) при подстановке в последнее координат Е, точек s границы Si, а в первое t = to.

134

Граничные условия второго рода связаны с вектором теплового по­ тока (1.4.58), проекция <f которого на внешнюю единичную нормаль в к поверхности Sa задана на этой поверхности. Учитывая, что 4"=q'B и

производная температуры по направлению — = V0n, из (1.4.58) полу­

да

чаем наиболее часто применяемую запись граничного условия второго рода:

4cVQ-n=qnVseSn. (1.5.25)

Граночные условия третьего рода задаются на поверхности Siп, че­ рез которую осуществляется значимый конвективный теплообмен меж­ ду исследуемым объемом Q тела М и окружающей его средой

где а - коэффициент теплообмена; 0с - температура окружающей сре­ ды. Эти условия применяются в задачах стационарного конвективного теплообмена.

Граничные условия четвертогорода на границе Sjv позволяют учи­ тывать нестационарный теплообмен конгактируемых а и (3-сред, когда температура их соприкасающихся поверхностей S ^ = Sjv одинакова

Ясно, что при р«пении уравнения теплопроводности (1.4.69) для

к

композитной среды М= (J М а, температурные граничные условия на 0=1

стыке Sgp ее компонент должны был, представлены в виде (1.5.27). Приведенная выше математическая постановка краевых задач яв­

ляется общей, если учесть, что, как отмечалось ранее, к основному замкнутому множеству уравнений с необходимыми краевыми условия­ ми всегда, когда требуется, можно добавить уравнения с соответст­ вующими краевыми условиями без нарушения замкнутости получаемо­ го при этом множества уравнений.

Следует отметить, что в приведенных постановках задач мы не ис­ пользовали ограничений, накладываемых на тензор деформаций Теи тен­ зор скоростей деформаций Т?. Вид этих ограничений (1.2.88) и (1.2.166) для обоих тензоров по форме одинаков. Ранее отмечалось, что при ре­ шении задач в перемещениях или скоростях тензор Т„ или тензор Т$ оп­ ределяется по формуле О.Коши (1.2.70) или Дж.Стокса (1.2.137) соот­ ветственно, которые с точностью до символики также совпадают, и вследствие безусловного выполнения тождества (П1.89) такое опреде­ ление Те и Т$ приводит к тождественному выполнению условий Б. Сен-

135

Венана (1.2.88) или (1.2.166). Этим объясняется отсутствие последних уравнений в приведенных математических постановках краевых задач.

Если решение задачи основано на постановке в деформациях через тензор Т, или в скоростях деформаций через тензор Т^, то соответст­ вующие условия Б.Сен-Венана должны учитываться в замкнутом мно­ жестве уравнений. Пример таких множеств без учета инерционных и массовых сил для сред, свойства которых описываются определяющи­ ми уравнениями (1.5.2) или (1.5.4), приведен в табл. 8. При этом тензор напряжений представлен в виде (1.4.19) с помощью тензора Тф функций напряжений Э.Бельтрами для безусловного выполнения уравнения равновесия (1.4.18). С использованием тензора Тф уравнения (1.5.2) и (1.5.4) принимают соответствующий вид:

Т а б л и ц а 8 . К математический постановкезадачвдеформациях

или скоростях дсформащА

Если на границе области движения среды заданы кинематические или смешанные граничные условия, то сложность реализации поста­ новки задач с уравнениями табл. 8 связана с интегрированием формул Е.Чезаро (1.2.89) или (1.2.167).

1.5.4. Кинематическая постановка задач'

Если в математической постановке краевой задачи все параметры движения сплошной среды записаны через кинематические парамет­ ры, то это означает, что выполнена кинематическая постановка крае­ вой задачи.

В дальнейшем для определенности уравнение (1.5.13), использо­ ванное в табл. 4, будем представлять в виде (1.5.3), полагая, что при не­

обходимости компоненты тензора состояния Т * могут быть функция­

ми пространственного градиента деформации (2.1.19). Тетерь, после подстановки (1.5.3), (1.2.83), (1.5.18) в (1.4.16) получим:

136

силах и исходной плотности ро (1.5.29) представляет собой замкнутое векторное уравнение относительно L или замкнутое множество ска­ лярных уравнений относительно компонент этого вектора L,.

Частные варианты записи уравнения (1.5.29), используемые в МСС, определяются свойствами деформируемой среды и типом пространст­ ва, в котором осуществляется ее движение. При этом тип пространства влияет только на вид скалярной формы записи уравнения (1.5.29).

В математических постановках задач ОМД часто используют за­

Упражнение 1.5.7. Используя симметрию тензоров состояния сре-

ды Тс и Т с с помощью формул О.Коши (1.2.70) и Дж.Стокса (1.2.137),

показать, что определяющие уравнения (1.5.1) и (1.5.3) можно заменить соответствующими соотношениями

Теперь основное замкнутое множество уравнений (табл. 4) может быть представлена в виде, приведенном в табл. 9. В этом множестве для изотропных сред определяющее уравнение (1.5.3) заменяется соотно­ шением (1.5.12).

Таблица 9 . Замкнутоемножествоуравнений кматематической пастанавкезадачвскоростях

Упражнение 1.5.8. Доказать, что следствием определяющего урав­ нения (1.5.12) являются пропорциональность сферических частей тен­

137

зоров напряжений S„ и скоростей деформаций S$, а также пропорцио­ нальность девиаторов напряжений D„ и скоростей деформаций D$:

Вместе с уравнением неразрывности среды (1.2.143) и первым соотно­ шением в (1.5.31), записанном через коэффициент объемной вязкости

к+ -ц в виде 3

уравнение К.Навье-Дж.Стокса (1.5.33) представляет замкнутое множе­ ство при заданных значениях массовых сил F и функций состояния сре­ ды X*; ц*.

Для несжимаемых сред к* = оо, а вследствие (1.2.98), (1.2.146), (1.2.148), (1.2.149) имеем =0. Поэтому при вычислении среднего напряжения по формуле (1.5.34) или сферической части Sa тензора напряжений по фор­ муле (1.5.31) получаем неопределенность. Этот факт, установленный А.Пуанкаре, свидетельствует о том, что в несжимаемой среде напряже­ ния определяются по кинематическим параметрам лишь с точностью до произвольного среднего напряжения (1.3.20). Для таких сред в (1.5.31) девиатор напряжений пропорционален тензору скоростей деформаций

так как в разложении (1.2.142) сферическая часть S5 этого тензора вследствие выполнения условия несжимаемости (1.2.98) равна нулю.

Для несжимаемых сред уравнение К.Навье-Дж.Стокса (1.5.33) уп­ рощается:

и вместе с условием несжимаемости (1.2.98), когда плотность р=ро = const, оно образует замкнутое множество. Общее количество скалярных

138

уравнений в этой системе можно сократить, если воспользоваться запи­ сью поля скоростей через функцию тока Y и лагранжеву координату Ы в виде (1.2.104), приводящем к безусловному выполнению (1.2.98) вследствие тождества (П1.85). В этом случае уравнение К.НавьеДж.Стокса имеет вид;

скалярная форма записи которого содержит три уравнения относи­ тельно трех неизвестных величин сто, ¥ и Ьг.

В некоторых случаях решение задачи удается разделить на две час­ ти: определение НДС с точностью до среднего напряжения в первой части с последующим интегрированием уравнением движения (1.4.16) - во второй части. В таких случаях постановка первой части не должна содержать ни в замкнутом множестве,'ни в краевых условиях среднего напряжения и все параметры НДС при ее реализации должны зависеть от констант интегрирования уравнения движения.

Упражнение 1.5.9. Доказать тождество

которое приводит уравнение движения (1.4.16) к виду

Теперь, повторяя замену девиатора напряжений Da на выражения, определяемые функциями ¥ и Ьз так, как это было сделано при выводе уравнения (1.5.37), из (1.5.39) получим

Vx < V -{p* [ V ® ( V ¥ x V L 3 )+ (У ^ х V L3 )® V ]}f

При решении задач ОМД уравнение (1.5.40) часто используется без учета инерционных и массовых сил:

Vx<V{p*[V0(V¥xVL3)+(V¥xVL3)®V]}>=O. (1.5.41)

Граничные условия к решению уравнения (1.5.29) получают из граничных условий, приведенных в табл. 6, где вместо тензора напря­ жений используют его значение, рассчитываемое по формуле (1.5.13). Аналогичным образом в других вариантах кинематической постановки краевой задачи при записи граничных условий используют краевые ус­

139

ловия основного множества уравнений (табл. 6), в которых статические параметры исключаются с помощью соответствующих рассматривае­ мым средам определяющих уравнений.

При решении некоторых задач МСС, например, теории упругости, кинематическую постановку удобно осуществлять в перемещениях. Она фактически сводится к замене лагранжева вектора L вектором пе­ ремещения с помощью (1.2.4) во всех уравнениях основного множества уравнений табл. 5 или в уравнении (1.5.28) и в краевых условиях, где статические параметры заменяются с помощью определяющих уравне­ ний типа (1.5.30) на кинематические параметры.

В частности, для изотропных сред из (1.5.1) с помощью (1.5.9) по­ лучаем (1.5.10) и соотношения, аналогичные (1.5.31):

А

Для линейно-упругих сред, когда параметры X и р постоянны, из (1.5.43) получаем уравнения ГЛаме:

На основе приведенных выше дифференциальных уравнений и со­ ответствующих краевых условий выполняются кинемэтические поста­ новки задач МСС.

1.5.5. Статическая постановка задач

Если в математической постановке краевой задачи все парамет­ ры движения сплошной среды записаны через статические параметры, то это означает, что сформулирована статическая постановка краевой задачи.

В частности, после подстановки (1.5.28) в (1.2.88) получаем замкну­ тую относительно компонент тензора ТФ функций напряжений множе­ ство дифференциальных уравнений, называемую обобщенными уравне­ ниями Э.Бельтрами без учета массовых и инерционных сил

4

V2x[TV(V2xT*))=0. (1.5.45)

Статические граничные условия для постановки с использованием уравнения (1.5.45) записывают с помощью (1.4.19) в виде (1.3.50):

140