книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

алх,хк- \ . (П1.68)

При повороте системы координат от х, к х'ткоэффициенты ал изменя­ ются по закону (П1.26) преобразования компонент тензора второго ранга Та. При этом вид уравнения (П1.68) не изменяется

(П1.69)

Поэтому скалярные формы записи (П1.68), (П1.69) уравнения цен­ тральной поверхности второго порядка могут быть представлены в тшзорном виде:

Та'(х®х)=1. (П1.70)

Следовательно, всякому топору Та второго ранга можно поставить в соответствие центральную поверхность второго порядка - его геомет­ рический аналог.

Если х'т - главное множество координат тш зора Та, то уравнение (П 1.70) имеет канонический вид

где х'т - главные оси тензора Та, а коэффициенты ат - его главные значения. При ап >0 поверхность (ШЛО) или (П1.71) представляет со­ бой действительный эллипсоид, у которого в соответствии с (П1.62)

При аг - йз получится эллипсоид вращения, а при в| = аг - а% - сфера. Последнее обстоятельство послужило поводом назвать величину Sa (П1.54) тензора Та его сферической частью. Легко показать, что всякое направление координатных осей, в которых рассматривается изотроп­ ный тензор, в том числе сферическая часть тензора второго ранга, яв­ ляется главным. Поэтому главные направления тензора Та и его девиатора D» (П 1.56) всегда совпадают.

Из аналитической геометрии известно, что при а^, < 0 уравнением (П 1.71) описывается мнимый эллипсоид. Приа1>0, аг>0 и аз<0 (П1.71) является уравнением однополостного гиперболоида, а при <*i>0, аг<0

иаз < 0 - двухполостного гиперболоида.

Вдвухмерном множестве координат Хь х% при ат>0 геометриче­

ским образом тензора второго ранга является действительный эллипс, а при а\ = а2 - окружность. Если ат <0, то (П1.71) является уравнением мнимого эллипса, а при а\ > 0, аг < 9 - уравнением гиперболы.

Аналогичным образом с помощью гиперповерхностей произволь­ ного порядка дается геометрическая интерпретация тензоров соответ­ ствующего этому порядку ранга.

251

1.5. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ

Если каждой точке некоторого пространства в любой момент вре­ мени t однозначно ставится в соответствие тензор, то это означает, что в этом пространстве задано однозначное тензорное нале. Введем в про­ странстве множество осей коорд инат х} и закоординируем все точки это­ го пространства. Тогда в общем случае тензорное поле может быть пред­ ставлено тензорной функцией координат точек пространства и времени

Такое поле называется нестационарным тензорным полем. Стационар­ ное тензорное поле одинаково в рассматриваемой точке с координата­ ми Xjв любой момент времени

Во всем учебнике рассматриваются непрерывные и необходимое число раз дифференцируемые по координатам и времени тензорные поля.

Дифференциальные операции над тензорами удобно выполнять с помощью векторного дифференциального оператора У.Р.Гамильтона (набла)

LL

Спомощью тензорного произведения (П1.40) введем понятие тен­ зорного ранга п дифференциального оператора У.Р.Гамильтона (набла

ранга п)

Все другие известные из курса математического анализа дифферен­ циальные операторы и их обобщения получаются с помощью операто­ ров (П1.75) путем их скалярного типа р умножения (П1.33) друг на дру­ га. Например, скалярный гармонический дифференциальный оператор П .СЛапласа

скалярный бигармонический оператор

252

Ниже приведены дифференциальные операции над тензорными полями, которые получаются путем выполнения различных типов ум­ ножения (П1.33)...(П1.41) тензоров на дифференциальные операторы (111.75). Например, известные из векторного анализа дифференциаль­ ные операции над тензорными полями имеют вид: V<p= gradcp (гради­ ент скалярного поля <р), V a = d iv a (дивергенция векторного поля а), V xa=rota (ротор или вихрь векторного поля а). Обобщениями этих дифференциальных операций являются:

левый и правый порядка п градиенты тензораранга т

левая и правая порядка п дивергенции тензора ранга т

левый и правый порядка проторы (вихри) тензора ранга т

и называются полной дивергенциейранга я, а операции (П 1.80) имеют вид:

253

и называются полными левым и правым роторами ранга и. Правый гра­ диент в (П1.78) иногда называют производной порядка п тензора ранга т по векторному аргументу

ш

dx

Упражнение П1.9. Показать, что внешнее произведение (П1.52) дифференциального оператора (П1.74) на вектор а равно удвоенной

Дифференциальные операции (П1.78)...(П1.80) в общем случае не являются коммутативными и лишь в отдельных случаях левые и правые операции при выполнении их над тензорами становятся одинаковыми. В частности, левые дифференциальные операции (П1.78) и (П1.79) сов­ падают с соответствующими правыми операциями при их выполнении над симметричными тензорами второго ранга.

Упражнение Ш .10. Доказать справедливость нижеследующих тож­

Дифференциальные операции (П1.78)...(П1.84), приведенные выше, записаны в предположении, что все аргументы Xj тензорных полей яв­ ляются независимыми величинами. В противном случае необходимо применять правила дифференцирования сложных функций. Так, пол­ ная производная по зависимым друг от друга аргументам имеет вцд:

Если здесь предположил», что в четырехмерном пространстве х и х 2, *з, X4 - t первые три аргумента не зависят друг от друга, но все они

254

являются функциями времени t, то из (П1.90) получим формулу для вы­ числения полной производной по времени тензорных величин

Из этой формулы следует, что полная и частная производные тен­ зора по времени совпадают лишь в случае независимости координат Xj от времени

Взаключение этого подраздела отметим преимущество записи дифференциальных операций в тензорной форме с помощью тензор­ ных ранга п дифференциальных операторов (П1.75) в отличие от ком­ понентной (скалярной) формы записи. Во-первых, тензорная запись компактна, а во-вторых, что наиболее важно, она справедлива дня лю­ бого (не только,прямолинейного) множества осей координат.

Вкриволинейном множестве осей координат, характеризуемой ба­ зисом еу, вектор а задается контравариантными компонентами а/. Во

взаимном базисе е*:

где Qe = е1 • (е2 х е3), этот же вектор а задается ковариантными ком­ понентами ak. Эти контравариантные и ковариантные компоненты вектора связаны между собой с помощью компонент gjk метрического

тензора

или с помощью компонент g*

(П1.95)

При этом

Все ранее приведенные тензорные записи дифференциальных опе­ раций остаются справедливы в пространстве, заданном криволиней­ ным множеством осей координат. При этом вид скалярных аналогов таких записей зависит от значений компонент метрического тензора и требует вычисления символов Э.Б.Кристоффеля второго рода

255

В частности, в криволинейном множестве координат нижеследую щие дифференциальные операции имеют вид:

градиент вектора (П1.78)

дщ

и д*к

дивергенция тензора (П1.79)

VTa = да* +a"*rl„+almrjm

дх7 _в/ г» ~а>YJ*

В последней операции учтено, что диадное представление тензоров (П1.38) в криволинейном пространстве позволяет записать компонен­

ты тензора в контравариантном а9, ковариантном а9 и смешанном a'j

видах. Для декартового прямолинейного множества осей координат символы Э.Б.Крисгоффепя второго рода (П1.97) равны нулю, а разни­ ца между основным и взаимным базисами, а также между соответст­ вующими компонентами тензоров в них пропадает.

С помощью компонент метрических тгазоров (П1.94) и символов Э.Б.Крнстоффеля первогорода

вычисляются компоненты тензора Г.Римана-Э.Б.Кристоффеля

"kg P (FjksYimp ~YjnuYikp)>

которые в евклидовом пространстве равны нулю.

256

П1.6. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Рассмотрим некоторые обобщения интегральных операций над векторами из векторного анализа для тензоров произвольного ранга.

Пусть область Q ограничена поверхностью S с единичной внешней нормалью а. В дальнейшем предполагается, что S удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к поверхностям, при выводе формул стоксовского типа векторного анализа. Тогда справедливо обобщение этих формул для тензоров произвольного ранга.

Если t - замкнутый контур, каждая точка которого характеризует­ ся радиусом-вектором х, то в соответствии с обобщением формулы

к

Дж.Стокса циркуляция тензорного ноля Т а по контуру t равна потоку ротора этого поля через поверхность S„ натянутую на контур I, т.е.

В частности, если в (П 1.100) к = 2 и Т»=Тьх V, то, учитывая, что для тензора Ть

к

К . Гаусса, поток поля Т а через замкнутую поверхность S с единичной

к

внешней нормалью в равен интегралу от дивергенции поля Т а по об­ ласти С1, ограниченной этой поверхностью, т.е.:

В МСС неоднократно рассматривается задача об определении не­ которого вектора а по заданной симметричной части

2

производной вектора по векторному аргументу a®V (П1.83).

257

В этом случае получается переопределенная задача о нахождении трех (в трехмерном пространстве) компонент вектора а из шести скаляр­ ных уравнений. Если бы значения компонент тензора а®У=Ть+Тс, где

Тс= 0,5алУ (П1.105)

является альтернативной частью (П1.50) тензора a®V, были известны, то можно найти значение а по формуле

X

а = а 0 + J(a® V )-dy, *о

где ао - значение а в точке то начала пути интегрирования с радиусомвектором хо. В этой формуле заменим подынтегральное выражение суммой его симметричной Ть (П1.104) и альтернативной Тс (П1.105) частей. Тогда

XX

а= а 0 + jT b </y+ JTC-<fy. Хф х0

Перепишем последнее слагаемое этого выражения, используя зна­

а затем выполним интегрирование последнего слагаемого по частям:

= 0 ,5 (V x a)x (x -x 0), а в четвертом слагаемом, учитывая (П1.83), полу­

Тогда получаем формулу для вычисления вектора а по заданной сим­ метричной часта Ть производной этого вектора по векторному аргументу:

Скалярная форма записи формулы (П 1.108) в декартовом прямо­ линейном множестве осей координат известна как формула Е.Чезаро.

2S8

Конт рольные вопросы

1.Как формулируется правило А.Эйнштейна и исключение А.И.Лурье из этого правила?

2.Какие численные значения н в каких случаях принимают символы Л.Кронекера н ТЛевн-Чивиты?

3.Как записываются свойства матрицы косинусов по ее строкам и столбцам, с помощью которой осуществляется поворот декартового множе­

ства координат?

4.Что называется ортом?

5.Что называется декартовым тензором ранга (валентности) п в Димер­ ном пространстве; как связаны с определением тензора скалярные н векторные величины?

6.В чем принципиальное отличне тензора второго ранга с компонентами а&сот определителя н матрицы с такими же компонентами?

7.Как осуществляется р-скалярное произведение тензоров различного ранга; в каких случаях это произведение называется полным скалярным, а в ка­ ких - тензорным?

8.Как выполняется p-векторное произведение тензоров различного ран­ га; когда оно становится полным векторным?

9.Как выполняются операции транспонирования, симметрирования н альтернирования тензора; как связаны между собой компоненты симметрично­ го тензора, кососнмметрнчного тензора?

10.Какие характеристики тензора зависят от ориентации множества осей координат н какие не изменяются при ее повороте?

11.Что называется главным направлением тензора, главным множеством осей координат тензора?

12.Какой вид имеет матрица тензора в главных координатах; как опреде­ ляются главные компоненты тензора?

13.Приведите примеры физических и геометрических аналогов тензоров нулевого, первого, второго, третьего и четвертого рангов. Почему разность между тензором н его девнатором называется сферической частью тензора?

14.Что называется тензорным полем, в каких случаях тензорные поля яв­ ляются нестационарными, как математически записывается условие стацио­ нарности тензорных полей?

15.Как образуется дифференциальный оператор В.Р.Гамильтона (набла) произвольного ранга л?

16.Как выполняются над тензором дифференциальные операции различ­ ного ранга: градиент, дивергенция и ротор; как вычисляется производная тен­ зора по векторному аргументу?

17.Приведите примеры множества осей координат, в которых полная и частная производные тензора по координатам совпадают и различаются; как вычисляется полная производная в последнем случае?

18.Как записывается обобщение формулы М.В.Остроградского- К.Гаусса?

19.Каким образом вычисляется вектор по симметричной части его градиента?

259

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

П2.1. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

При рш еи ии многих задач МСС удобнее сводить их к поиску наи­ лучшего, в том или ином смысле, приближенного представления реше­ ния с помощью определенного класса функций. При реализации задач важными являются вопросы о существовании, единственности и устой­ чивостиреш ения этих задач, объединяемые понятием корректности по­ становки задан. Доказательство единственности и устойчивости наи­ лучшего приближения, как правило, связано с конкретными условиями решаемой задачи.

Для изложения вопросов существования решения введем некото­ рые определения и понятия функционального анализа.

Линейной комбинацией заданных п элементов Y, называется всякий элемент, представленный с помощью чисел (скаляров) А* в виде:

Если произвольная линейная комбинация (П2.1) может бьпъ равна нулю лишь при всех =0, то элементы У}, составляющие эту комбина­

ты порождают пространство этих элементов. В частности, если Ys яв­ ляются функциями, то они порождают функциональное пространство

EbYj.

Множество L всех линейных комбинаций вида (П2.1) называется подпространством пространства Е, порожденного элементами Y/.LC.E. Если сумма любых двух элементов из £ и произведшие любого элемен­ та из £ на скаляр также принадлежит Е, то Е называется линейным про­ странством, когда для любых его элементов Y/E E K любых скаляров X

иц выполняются аксиоматические свойства:

1)Yj+ Yk= Y k+ Y/,

2)Y ,+ (Y j+ }*) = (?■,+ Yj)+Yb

3) существует элемент 0 е £ так о й , что Iy+0 = Yj;

4 ) Х(рУЛ) = (А.ц)Гу;

5) 1 Yj—Yj, 0 =9;

6 ) H Y J+ Y k)= X Y / +X Y k;

260