книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

Специальные типы анизотропии, определяемые различными грун­ тами преобразований симметрии объединяются в так называемые кри­ сталлические кмссы . Группы преобразований могут быть связаны с осевым, плоскостным видами симметрии и их сочетаниями, когда кон­ фигурация кристалла остается неизменной после преобразований мно­ жества координат относительно какой-либо оси и (или) плоскости со­ ответственно. Преобразования такого типа могут быть связаны не только с поворотом координат, но и с инверсией относительно некото­ рой точки, при которой всякий вектор, исходящий из этой точки, пре­ вращается в противоположный вектор. Также, как и поворот множест­ ва координат, инверсию удобно характеризовать матрицей ((а*)) коси­ нусов углов между осью х(новых координат н осью х'к старых коорди­

нат (П1.6). В табл. 2 приведены примеры некоторых преобразований симметрии. Возможны сочетания отдельных видов преобразований, которые представляются как произведения их обозначений. Например, матрица косинусов преобразования CTi имеет вид:

Упражнение 1.5.1. Используя данные табл. 2, получить матрицы косинусов преобразований симметрий: D{Tk, RiTb СМ„ RtMk, DtMk,

ЯА , Д А ® Естественно предположить, что инвариантность конфигурации рас­

сматриваемого кристалла к какому-либо из перечисленных преобразова­ ний должна быть связана с соответствующей инвариантностью свойств кристалла. Наиболее наглядно это можно представить с помощью кри­ сталлографических плоскостей и направлений, лежащих в них, прохо­ дящих через узлы кристаллической решетки (рис. 33). В этом случае для обозначения плоскостей применяется индексация Х.М иллера (hk/...), где

1 1 1 - отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях от

начала координат. Обозначение направления связывают с прямой ли­ нией, проходящей через начало координат и узел кристаллической ре­ шетки. В качестве индексов направления [hk/...] берут взаимно простые числа, пропорциональные координатам рассматриваемого узла. Из­ вестно, что максимальное значение модуля упругости в кристалле с решеткой типа К12 наблюдается в направлении [111], а минимальное - в направлении [100]. В тензорном обозначении это будут вектора a=ei +ег+е3 и b=ei соответственно. После преобразования симметрии класса С (табл. 2) получим другие направления, характеризуемые век­ торами: a ' = -(ej +е'г +ез)нЬ' = -е',. Учитывая, что для кристалла с

121

решеткой типа К12 соответствующие полученным векторам кристал­

лографические направления [111] и [100] идентичны (в смысле упругих свойств) исходным направлениям, устанавливаем, что кристаллы с этой решеткой инвариантны к преобразованиям симметрии класса С

Т а б л и ц а 2 . Клаесифисация 1феобразоваш*Йсимметрм*

Упражнение /.5 .2 Показать, что кристаллы с решеткой типа К12 инвариантны к группе преобразований симметрии классов ^ D, и не обладают инвариантностью по отношению к группе преобразований симметрии классов Т* М, (табл. 2) О

Различные классы преобразований симметрии и их сочетания объ­ единяются в так называемые кристаллические системы, характеризую­ щие определенные виды анизотропии свойств (табл. 3).

Отметим, что тензоры состояния среды имеют компоненты, преобра­ зуемые при повороте системы координат по закону (П1.26). Поэтому ко­ личество независимых компонент тензоров состояния определяются не только указанными ранее причинами, но и типом кристаллической систе­ мы, которой соответствует анизотропия свойств рассматриваемой среды* Например, среды моноклинной системы биэдрического безосного класса должны иметь свойства, инвариантные к преобразованиям симметрии Ль В частности для сред с определяющим уравнением (1.5.1) использование матрицы косинусов этого класса (табл. 2 и 3) приводит к следующим пре­ образованиям компонент тензора деформации

122

Т а б л и ц а 3. Кристаллографическиесистемы некоторых|рео6разований

симметрии

П р и м е ч а н и е : буквенные индексы принимают все цифровые значения, соот­ ветствующие индексам преобразований симметрии в табл. 2.

123

тензора напряжений

Вследствие симметрии всех тензоров относительно главной диаго­ нали их компоненты, расположенные ниже этой диагонали, не записа­ ны. Из анализа компонент тензоров следует, что преобразования ком­ понент двух тензоров совместимы лишь тогда, когда компоненты тен­ зоров состояния среды, имеющие нечетное количество индексов "Iм, равны нулю. Поэтому среды, относящиеся к рассматриваемому кри­ сталлическому классу, характеризуются не 21, как среды триклинной системы, а 13 независимыми компонентами тензора состояния

Точно так же можно показать, что среды любого класса моно­ клинной системы характеризуются таким же количеством независимых компонент тензора состояния в соотношении (1.5.1).

124

Упражнение 1.5.3. Показать, что определяющие уравнения типа (1.5.1) - (1.5.4) для сред ромбической, тетрагональной, гексагональной и кубической систем характеризуются тензорами состояния четвертого ранга с 9,6, 5 и 3 независимыми компонентами соответственно 3

Приведенный пример и промежуточные результаты упражнения 1.5.3 показывают, что анизотропия свойств зависит не только от ком­ понент тензоров состояния среды, но и от характеристик напряженнодеформированного состояния. Это обстоятельство необходимо учи­ тывать как при математической постановке краевых задач о движе­ нии анизотропных сред, так и при ее реализации. С другой стороны, тензорное представление характеристик движения сплошных сред, в свою очередь, накладывает определенные ограничения на вид анизо­ тропии их свойств, так как любая система преобразований, отражаю­ щая эту анизотропию, не должна нарушать тензорност характеристик движения.

При решении задач ОМД обычно используют тот факт, что в мак­ рообъемах металла кристаллиты ориентированы в пространстве сто­ хастически. Этим объясняется частое использование в таких задачах апостериорной гипотезы об изотропности деформируемой среды. Свойства изотропных сред, естественно, могут быть описаны с помо­ щью изотропных тензоров. Примерами таких тензоров являются ска­ ляры, единичные тензоры (П1.30) и их любые комбинации, сохраняю­ щие тензорносп, величин, получаемых в результате таких комбинаций. Так, единичный изотропный тензор ранга 2л получается путем тензор­ ного произведения л единичных тензоров второго ранга

Упражнение 1.5.4. Показать, что в общем случае изотропный тен-

4

зор состояния Т с в соотношении (1.5.1) имеет компоненты следую­ щего вида:

Если теперь тензор состояния с компонентами (1.5.9) подставить в (1.5.1) , то получим обобщенный закон Р.Гука для изотропных сред

где для линейно-упругих сред величины X и ц называются упругими константами ГЛ аме. Для вязких изотропных сред аналогичные соот-

ношения получаются с помощью изотропного тензора состояния Т с с

компонентами

125

где X*, ц* - функции состояния изотропной вязкой среды. Подстанов­ кой (1.5.11) в (1.5.3) получаем

Некоторые материалы обладают направленной изотропией свойств. Так, материалы, свойства которых инварианты к повороту на произвольный угол вокруг некоторой о т и к любому отражению относительно плоскости, содержащей эту ось, называются трансвер­ сально изотропными. Материалы, свойства которых инвариантны к от­ ражению относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, называются ортотропными.

Упражнение 1.5.5. Показать, что среды ромбической системы (табл. 3) являются ортотропными материалами О

Отметим, что преобразование симметрии D, представляет пово­ роты координат на 180° вокруг осей хь преобразования М, - повороты на 120° и 240° относительно кристаллографического направления [111], а преобразования S, - повороты на 120° и 240° относительно оси х }. Поэтому трансверсально изотропные материалы являются обобще­ ниями тех сред, свойства которых инвариантны к перечисленным пре­ образованиям.

Упражнение 1.5.6. Показать, что для трансверсально изотропного материала, не изменяющего своих свойств при преобразовании коор­ динат с помощью матрицы косинусов

4

тензор Тс в уравнении (1.5.1) имеет следующий вид:

*

где С1ш=С22зз; сшз-сгзгз э

126

1.5.2.Определяющие уравнения

Впредыдущем пункте примеры соотношений между параметрами напряженного и деформированного состояний показаны с помощью тензоров малых деформаций и скоростей деформаций.

Учитывая связь всех параметров движения сплошных сред с лагранжевыми координатами, в эйлеровых координатах отсчета уравнения ти­ па (1.5.1)...(1.5.4), (1.5.6), (1.5.7) можно представить в более общем виде:

Соотношения такого типа называются определяющими уравнениями. Для сред, свойства которых описываются определяющими уравне­ ниями, в МСС предполагается выполнение трех основных принципов: детерминизма, локального действия и материальной независимости {множества аксиом У.Нолла) от координат.

В соответствии с принципом детерминизма, напряженное состоя­

ние в сплошной среде М с конфигурацией L”<LSL+ определяется пре­ дысторией движения среды вплоть до рассматриваемого момента I. В общем случае использование принципов детерминизма позволяет соз­ давать модели материалов, обладающих памятью, когда реакция на изменение формы и размеров тела проявляется не сразу, а некоторое время спустя. Этот принцип может быть распространен на неизотерми­ ческие процессы, когда в определяющем уравнении дополнительно учитывается температура 6

Такое уравнение позволяет описывать свойства, присущие материалам с термомеханической памятью.

Общность принципа детерминизма позволяет учитывать влияние на напряженное состояние в окрестности рассматриваемой частицы процессов, происходящих на конечном расстоянии от этой частицы. Однако эффектом действия на расстоянии обычно пренебрегают и ис­ пользуют принцип локального действия, который, по существу, озна­ чает зависимость свойств среды в окрестности рассматриваемой в мо­ мент времени t частицы от координат этой частицы. В соответствии с предаожениями А.А.Ильюшина, в окрестности частицы с радиусомвектором L = const задан процесс деформации (процесс нагруж ения), если тензор деформаций (тензор напряжений) для этой частицы задан в виде непрерывно дифференцируемой функции времени в рассматриваемом интервале изменения времени.

Для окрестности одной и той же материальной частицы L = const оба процесса (деформации и нагружения) взаимосвязаны в силу физи­ ческих свойств среды в окрестности этой точки. Естественно, что при

127

таком определении процесса деформации (нагружения) можно отме­ тить аналогию процесса с его изображением в пространстве деформа­ ций (напряжений), которые, например, могут быть представлены в виде (1.2.86) или в виде (1.3.24) соответственно. При этом образ процесса представляется в виде кривой в этих пространствах. В частности, в пя­ тимерном пространстве (1.2.86) такая кривая называется траекторией деформации, уравнение которой имеет вид:

формации д° = —, где модуль Г вектора (1.5.15) рассчитывается по

д

формуле (1.2.87). Кривизна и кручение траектории деформаций вместе с длиной ее дуги представляют полное множество внутренних геомет­ рических параметров процесса. Например, в окрестности материаль­ ной частицы т рассматривается простое нагруж ение, если направляю­

щий девиатор D® не зависит от времени. В этом случае изменение тен­ зора деформации

происходит только за счет изменения во времени объемной деформа­ ции (2.1.83) и модуля (1.2.87) вектора деформации (1.5.15). При простом нагружении единичный вектор деформации остается постоянным, что соответствует представлению образа процесса в пятимерном простран­ стве (1.2.86) в виде прямого луча, исходящего из начала координат. Яс­ но, что длина дуги траектории деформации простого процесса нагру­ жения равна модулю (1.2.87) вектора деформации (1.5.15). Аналогич­ ным образом процесс нагружения может быть задан в пространстве напряжений (1.3.24) или связанном с пространством деформаций и временем в пространстве скоростей деформаций (см. п. 2.1,7). В общем случае по А.А.Ильюшину принцип локального действия содержится в

постулате макроскопической определимости: термомеханическое состоя­ ние рассматриваемого вещества в точке L=const, в момент времени t однозначно определяется параметрами процессов деформаций, нагру­ жения и температурой с учетом значений этих параметров в начальный момент времени.

В соответствии с третьим принципом материальной независимости от множества координат предполагается инвариантность определяющих уравнений по отношению к преобразованиям координат.

Кроме сформулированных трех основных аксиом, можно сформу­ лировать еще ряд других правил, которые следует соблюдать при на­

128

значении определяющих уравнений. В частости, ниже будет показано, что в математической постановке краевых задач должен выполняться

принцип физической допустимости, который требует согласования всех определяющих уравнений с уравнениями, составляющими замкнутое мно­ жество без нарушения физических законов динамики деформируемого тела. Сами подобные требования и их выполнение настолько очевидны, что они обычно интуитивно подразумеваются, но не оговариваются.

Например, интуиция подсказывает, что для определяющих уравне­ ний всегда должна выполняться “аксиома размерности” величин, вхо­ дящих в эти уравнения, и “аксиома памяти", в соответствии с которой текущие значения параметров состояния среды несущественно зависят от их значений в отдаленном прошлом.

Следствием постулата макроскопической определимости является принципиальная возможность изучения в достаточно малой окрестно­ сти свойств деформируемого твердого тела на образцах конечных раз­ меров с однородным, не зависящим от координат, напряженным и де­ формированным состоянием. Под достаточно малой окрестностью внутри шара с достаточно малым радиусом, как это определено ранее (см. п. 1.2), здесь понимается окрестность с малым объемом АП, в кото­ ром в каждый момент времени напряженное и деформированное со­ стояния, непрерывно изменяющиеся во времени, можно считать одно­ родными. По отношению к малому объему АП в окрестности матери­ альной частицы т деформируемого тела под М -образцом понимается любое тело необходимых конечных размеров, вещество которого и его термомеханическое состояние в начальный момент времени Го одинако­ вы с веществом и его термомеханическим состоянием во всем объеме АП в начальный момент времени Го. При этом должны соблюдаться следующие условия: 1) однородность напряженного и деформирован­ ного состояний M -образца по его объему в любой момент времени; 2) осуществимость любого процесса деформации или нагружения во вре­ мени; 3) осуществимость проникающего действия потоков (тепловых, массовых) через границу М -образца и однородность распределения в нем в любой момент времени параметров, связанных с этими потоками.

Совокупность испытаний M -образцов называется М-опьипами. В каждом из таких опытов вследствие однородности напряженного и де­ формированного состояний М -образца внутренние параметры НДС могут быть определены по параметрам поведения границы образца. Поэтому в М-опыгах используются процессы, в которых форма и раз­ меры образцов,, а также условия нагружения на их границе позволяет оценить параметры НДС внутри деформируемого тела. При этом связь внешних и внутренних параметров НДС устанавливается на основании математической постановки задачи о движении материала в деформи­ руемом образце и ее решения.

129

1.5.3.Математическая постановка краевых задач

Всоответствии с определением в п. 1.1.4 математическая постанов­ ка краевых задач МСС включает запись замкнутого множества уравне­ ний и краевых условий. Для выполнения первой части постановки за­ дачи необходимо сначала установить перечень независимых парамет­ ров, которые определяют НДС деформируемого тела. В эйлеровых ко­ ординатах такими параметрами являются лагранжевы координаты (1.2.9) , с помощью которых можно рассчитать тензор напряжений (1.5.13). Если принять во внимание, что якобиан (1.2.20) и вспомога­

тельный вектор D(L,) (1.2.94) также определяются законом движения (1.2.9) , то становится очевидной зависимость вектора скорости в (1.2.95) от лагранжевых координат. Опуская промежуточные уравнения связи якобиана (1.2.20) и вспомогательного вектора D (1.2.94) с лагранжевыми координатами для трехмерного движения, устанавливаем, что в основных уравнениях (1.5.13) и (1.2.95) девять скалярных уравне­ ний включают двенадцать скалярных неизвестных величин: ст*; L,\ Vh Для замыкания множества необходимо вспомнить, что тензором напря­ жения может бьпъ не любой тензор второго ранга, а лишь тот, кото­ рый удовлетворяет уравнению движения (1.4.16). Однако в этом урав­ нении имеется дополнительная неизвестная величина - плотность р. Те­ перь двенадцать скалярных уравнений включают тринадцать неизвест­ ных величин и множество уравнений не является пока замкнутой. Для замыкания множества добавим еще одно скалярное уравнение нераз­ рывности среды (1.2.143), связывающее плотность и скорость и не вно­ сящее дополнительных неизвестных величин. Полученное замкнутое множество уравнений будем называть основным множеством (табл. 4).

Т аб л и ца 4. Уржнепмосновногошнп)т«г«множества

При необходимости к основному множеству всегда можно доба­ вить требуемое количество уравнений, не нарушающих ее замкнутости. Так, при определении параметров деформированного состояния к ос­ новному множеству подключаются (1.2.4) для расчета вектора переме­

130