книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

— - инерционная сила, приходящаяся на единицу массы (ускорение) dt

а- напряжение

Т- интенсивность касательных напряжений

а", ря, тя - полное, нормальное и касательное поверхностные напряжения, дей­ ствующие на площадке S с нормалью п

(7о*!, р окт, т0*1 - полное, нормальное и касательное октаэдрические напряжения

тл - максимальные касательные напряжения; 9 - температура

Q - количество тепла

q - вектор теплового потока р - плотность ат или а, - предел текучести

Тт или т$ - напряжение пластического сдвига Ext - мощность внешних сил

Int - мощность внутренних сил

6J, 6у - вариация функционала, вариация функции

(<p,v[/) - скалярное произведение двух функций ||ср|| - норма функции

JJI, JK—функционал Ж Лагранжа, функционал А.Кастилиано ОМД - обработка металлов давлением МСС - механика сплошных сред

МДТТ - механика деформируемого твердого тела ДС - деформированное состояние НС - напряженное состояние

НДС - напряженно-деформированное состояние КМ - композитный материал (металл)

ТСУ - температурно-скоростные условия ТП - теория пластичности

Р-поле - реальное (действительное) поле, удовлетворяющее всем граничным условиям и замкнутой системе уравнений в математической постановке краевых задач

КВ-поле - кинематически возможное поле (v или и, удовлетворяющее кинема­ тическим граничным условиям)

СВ-поле - статически возможное поле (Т0, удовлетворяющее статическим гра­ ничным условиям и уравнению движения)

МКЭ - метод конечных элементов СПДРМ - совместная пластическая деформация разнородных металлов

11

1А. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОНЯТИЙ

"Мышление, восходя от кон­ кретного к абстрактному, не отхо­ дит - если оно правильное ... - от ис­ тины, а подходит к ней".

В.И. Ленин

1.1.1. Идеализация форм существования материи

Окружающий нас мир есть не что иное, как движущаяся материя в ее различных формах и проявлениях. В мире нет ничего, что не было бы конкретной формой материи, ее свойством, продуктом ее законо­ мерного изменения, развитая. Материальный мир воспринимается на­ ми через внешние, ощутимые проявления. История развития науки от древних времен до настоящего времени показывает, что чем совершен­ нее наши познания о материи, тем большее количество ощутимых про­ явлений свойств материи мы можем зафиксировать, расширяя тем са­ мым свои познания как в созерцаемом мире, так в невидимых макро- и микромирах.

В процессе познания сложного материального мира удобно выде­ лять отдельные материальные объекты, объединенные конечной сово­ купностью свойств. Естественно, что такое вынужденное ограничение безграничной совокупности свойств материи приводит к идеализации окружающего нас мира, но такая идеализация позволяет изучать не весь сложный материальный мир в целом, а лишь сосредоточить наше внимание на некоторых выделенных материальных объектах, которые обладают значимой на данном этапе исследования конечной совокуп­ ностью свойств. Оставляя за собой право расширения, при необходи­ мости, выбранной конечной совокупности свойств материи, мы можем последовательно углублять свои познания о свойствах материи.

Объективно реальными формами существования материи являют­ ся пространство и время. В реальном пространстве материя распро­ странена непрерывно. Последовательность изменения, развития свойств материи, отдаленность друг от друга стадий этих изменений, их дли-

12

тельность в пространстве характеризуется временем. Изменение свойств материи в реальном пространстве и времени необратимо.

В идеализированном пространстве, заполненном материальными объектами, можно рассматривать не все, а лишь отдельные способы распространения информации в материальном мире, приводящие к значимому изменению выделенной на данном этапе исследования ко­ нечной совокупности свойств материальных объектов.

Для приближенного описания распространения информации (на­ пример, в виде механического, теплового, электромагнитного и других вцдов движения) в пространстве и во времени с применением матема­ тического аппарата необходимо идеализировать материальный мир. Критерием близости такого описания реальных явлений, происходя­ щих в материальном мире, является опыт.

1Л.2. Топология сплошных сред

Известно*, что предметом топологии является исследование свойств фигур и их взаимного расположения, сохраняющихся гомео­ морфизмами, т.е. взаимно однозначными и непрерывными в обе сторо­ ны отображениями. Используя прием идеализации окружающего нас материального мира, мы можем рассматривать топологию выделенных в нем некоторых объектов исследования, наделенных конечной сово­ купностью свойств.

Допущение о конечной совокупности свойств материальных объ­ ектов позволяет ввести понятие материальной точки (частицы) т , как материального объекта пренебрежимо малых размеров, но обладаю­ щего конечной совокупностью свойств Р (например, конечной массой). Материальная частица т в фиксированный момент времени t занимает

пространственное положение п (пространственную точку). В произ­ вольный момент времени каждой материальной точке т (пространст­ венной точке л) приписывается окрестность. Под окрестностью точки понимают совокупность (множество) всех внутренних точек какоголибо шара с центром в этой точке. Достаточно малая окрестность - это шар с достаточно малым радиусом. Так как все такие точки вместе с центром лежат внутри некоторого шара, то они образуют ограничен­ ное множество.

Материальное тело (пространственная область) - это множество

M (N) материальных частиц т (пространственных точек л), обладающее свойствами: 1) вместе с т еМ (neN ) этому множеству принадлежит дос­ таточно малая окрестность с центром в этой точке - свойство откры­ тости; 2) любые две точки ли, m2 (ni, т) из M (N) можно соединить ло­

* Математическая энциклопедия, т. 5.-:М., Советская энциклопедия, 1985, 1248 с.

13

маной, состоящей из точек M (N ), свойства связности. В таком случае указывают, что частицы т е М (точки п еЛ ) непрерывно занимают весь объем (всю область) П тела М (пространства Л), где Q - количествен­ ная характеристика тела (пространства). Ограниченное множество М а материальных частиц объединенных конечной совокупностью свойств Ра, непрерывно занимающих объем О а, называется сплошной агсредой (континуумом) ш и материальным объемом сыреды. В общем случае свойства РЛтела М а изменяются при переходе от одной его точ­ ки к другой. В этом случае тело Л/а называется неоднородным (гетеро­ генным), в противном случае - однородным (гомогенным). Пусть т ^

т <у (k* j) две такие произвольные частицы тела М а, которые определя­ ют некоторое направление (например, от т ^ к т^) исследования свойств Ра. окрестности частицы В общем случае Ра зависят от вы­ бранного направления и тогда само тело и его свойства называют ани­ зотропными, в противном случае - изотропными. Тело М а с анизотроп­ ными свойствами окрестностей его частиц называется анизотропной сплошной средой, а с изотропными свойствами окрестностей всех его частиц - изотропной сплошной средой.

Допущение о конечной совокупности свойств среды позволяет в пространстве R, заполненном различными средами, и во времени t рас­ сматривать идеализированное распространение информации в матери­ альном мире как результат взаимодействия отдельных материальных объектов. В идеализированном пространстве R и времени t допускается обратимость процессов распространения информации, а следователь­ но, и изменения свойств. Тела Afa, непрерывно распределенные в R u t, занимают в фиксированный момент времени t части Na пространства

/fd J iV a . Предполагается, что в любой момент времени t между мате-

a

риальными частицами т сплошной среды М и точками п пространства N, в котором эта среда находится, существует взаимно однозначное со­ ответствие. Иными словами в N нет таких точек, в которых отсутст­ вуют материальные частицы из М , причем в каждой такой точке п по­ мещается только одна материальная частица т, и наоборот в М нет та­ кой материальной частицы, которая не занимала бы в рассматривае­ мый момент времени конкретное пространственное положение (про­ странственную точку) п из N, причем одна материальная частица т может помещаться только в одной пространственной точке п (взаимная однозначность т и п ).

В ТП объектами исследования в R u t обычно являются сплошные тела Ма, для которых значимое, на данной стадии исследования, изме­ нение свойств Ра определяется термомеханическим движением.

14

Сплошное тело М может быть объединением конечного множества сплошных сред М а:

а = 1

характеризуемых индивидуальной конечной совокупностью свойств Ра. Допускается совпадите свойств некоторых тел М а и Afp из М . Если в этом объединении к> 1, то сплошное тело М называется полисредой (композитной средой или композитом) (рис. 1). Ясно, что любая поли­ среда является гетерогенным телом. При k - 1 тело М (1.1.1) называется моносредой. В пространстве R тело М занимает часть

1.1.3. Классификация композитных сред

Допущение о конечной совокупности свойств сплошных сред по­ зволяет считать, что между а и (3-средами тела М обозначена четкая, разделяющая их, поверхность (рис. 2).

Граничной точкой тела М называется точка s, не принадлежащая телу М (?еЛ4), но в любой окрестности которой можно найти точки этого тела. Непрерывная совокупность S всех граничных точек s тела М называется границей этого тела.

15

О бъ еди н ен и е

M = MUSpV = MUS) (1.1.4)

открытой области (пространст­ ва) M (N) и ее границы S называ­ ется замкнутой областью (замк­ нутым пространством). Учиты­ вая взаимную однозначность материальных частиц т и соот­ ветствующих им точек л, грани­ цу между контактирующими те­ лами М а и Л/р можно обозначить как пересечение

границы Sa, если таковая существует, называется границей внешнего воздействия (рис. 3). Часть So® границы где внешнее воздействие малозначимо, называется

свободной границей. Если в

16

слойного тела существуют сечения, в которых обозначены области тела окружения и тел включения, то такое тело называется волокнистым (рис. 1). Если тело М состоит из тела окружения, тел включения, слоев и полуслоев, то оно М называется армированным.

Принято, что в 0 материальные объекты и их движение на данной стадии исследования нас не интересуют. Поэтому значимые изменения свойств среды в 0 предложено учитывать изменением значимого внеш­ него воздействия Е. Откликом на это со стороны исследуемой среды М является изменение конечной совокупности ее свойств JP. При этом на общей границе Ма иА/р сплошной среды

17

допускается разрыв (скачок) свойств ? . В такой среде всегда будем предполагать существование характерного размера, связанного с неод­ нородностью ее свойств. Например, в волокнистой среде - это значение расстояния между волокнами или размеры самих волокон. Тогда мож­ но назначить некоторый масштаб длины, в пределах которого гетеро­ генные свойства представляются путем того или иного осреднения их эквивалентными гомогенными свойствами, что приведет к идеализа­ ции, основанной на стохастическом описании свойств среды. В таких случаях будем говорить, что среда наделена свойствами макроскопиче­ ской гомогенности, а сами свойства называть эффективными в смысле эффективной замены гетерогенных свойств.

1.1.4.Понятие о математической постановке

ирешении краевых задач

Принятые допущения, гипотезы, определения и их следствия по­ зволяют рассматривать реальный мир как объект математического мо­ делирования. Оставляя, как оговорено выше, за собой возможность при необходимости расширять конечную совокупность свойств Р объ­ екта исследования Л/, можно создавать модели в идеализированном пространстве, сколь угодно близкие к поведению материи в реальном пространстве и времени.

В ТП в качестве объекта исследования рассматривается сплошная среда М, для которой значимым является термомеханическое внешнее воздействие £ на границе S и в объеме £i, приводящее к изменению термомеханических свойств Р среды. Под термомеханическим внешним воздействием будем понимать совокупность статического, кинематиче­ ского и температурного воздействий окружающей среды пространства 0 . Для объекта исследования М на поверхности S с внешней единич­ ной нормалью п это будут граничные статические, кинематические и температурные условия соответственно.

Естественно, что вечное движение материи исследователь изучает лишь в определенном временном интервале. Если исследуемая конеч­ ная совокупность свойств Р материального объекта не претерпевает значимого изменения в рассматриваемом интервале времени, то утвер­ ждают, что объект участвует в стационарном процессе движения. Для

нестационарных процессов значимым является начальное состояние (в начальный момент времени Г0 исследования) объекта. Для таких про­ цессов это состояние должно быть задано начальными условиями (на­ чальными при х= to значениями всех исследуемых свойств объекта).

На поверхности S исследуемого тела внешнее воздействие £ зада­ ется в виде граничных условий.

18

Совокупность начальных и граничных условий называется крае­ выми условиями. Определение параметров движения материальных объектов, соответствующих на любой стадии движения t'zto заданным краевым условиям, является сутью краевой задачи МСС' Задание крае­ вых условий является лишь необходимым, но не достаточным, этапом математической постановки краевой задачи, без которой немыслимо решение самой задачи.

На основании общих законов термомеханического движения сплошных сред в МСС получены основные уравнения, отражающие объективное движение материи. К ним относятся: уравнение движения, уравнение неразрывности среды, уравнения связи параметров среды, уравнение теплопроводности и др. Вместе они должны образовывать

замкнутую (полную) систему уравнений, в которой количество уравне­ ний равно количеству неизвестных величин.

Математическая постановка краевых задач М СС состоит в записи замкнутой относительно неизвестных параметров движения сплошной среды системы уравнений и краевых условий для этих параметров, обу­ словливающих это движение. Результатом реализации математической постановки является решение краевой задачи М СС, удовлетворяющее замкнутой системе уравнений и краевым условиям.

Контрольные вопросы

1. Каковы причины идеализации материального мира и форм существо­

вания материи?

2. 6 чем суть идеализации движения объектов исследования?

3.Что называется материальной частицей, пространственной точкой?

4.Что понимают под окрестностью, малой окрестностью точки?

5.В чем суть свойств открытости и связности окрестности материальной частицы или пространственной точки?

6. Что называется материальным телом, пространственной областью,

сплошной средой?

7. Какая часть пространства и почему называется пустым пространством?

8. В чем различие анизотропных и изотропных сред?

9.Чем отличаются гетерогенные и гомогенные тела?

10.Какие сплошные среды называются композитными?

11.В чем принципиальное отличне тел окружения от тел вюпоченияе?

12. Что называется граничной точкой, чем оиа отличается от материаль­

ной частицы и от пространственной точки?

13.Что называется границей тела?

14.Какова роль определения границы в классификации композитных

сред?

15.Какие сплошные тела называются односвязными, многосвязными?

16.Какая граница называется односвязной, многосвязной?

19

17.Что называют полуслоем, слоем, звездой?

18.Какие композиты называются многослойными, волокнистыми, арми­ рованными?

19.6 чем состоит принцип замены гетерогенных сред их гомогенными эк­

вивалентами с эффективными свойствами?

20.Какая система уравнений называется замкнутой (полной)?

21.Что называется начальными, граничными, краевыми условиями?

22.В чем суть краевой задачи МСС?

23.Как осуществляется математическая постановка краевой задачи МСС?

24.Каковы требования к решению краевой задачи МСС?

1.2.КИНЕМАТИКА

“...два тела не могут в физическом мире занимать одно и то же место.”

А.С.Пушкин

1.2.1. Основные понятия и определения

Кинематика - раздел МСС, изучающий движение материальных объектов без учета причин, вызывающих это движение.

Внешнее воздействие Е, приложенное к телу М , вызывает движение его материальных частиц т . В общем случае, они занимают новые про­ странственные положения, внутри тела изменяются расстояния между отдельными частицами, что может привести к изменению формы и (или) размеров этого тела.

Всякое механическое движение малой окрестности материальной частицы можно условно разложить на составляющие: поступательное движение самой частицы и искажение (дисторция) ее окрестности. При этом, следуя постулату ньютоновской механики, предполагается неиз­ менность во времени t массы окрестности частицы

( 1.2.1)

Поступательное движение малой окрестности материальной час­ тицы в некотором множестве координат х( характеризуется вектором перемещения u = wJe/ (рис. 6, а). Для изучения искажения этой окрестно­ сти необходимо ввести ее характеристику.

Пусть в начальный момент времени to положение m частицы т\ представлено радиус-вектором (рис. 6, б)

20