книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

Оценка времени

Как известно [3.56, с. 100], на магнетик, находящийся в магнитном поле #о, действует крутящий момент

где х - магнитная восприимчивость, вектор нормали к поверхности ча­ стицы п = г/г, df~ элемент площади поверхности. Геометрия распо­ ложения магнитных частиц в пространстве показана на рис. П3.1.

Выбирая полярную ось вдоль направления поля Н0 и при условии, что тело сферическое, немедленно находим

J [г х п] df —0,

~Г - 0 ф

[ г х Н 0] г cos 0 г sin 0 0 = - е фгЯ0sin 0.

н о 0 0

Скалярное же произведение векторов есть пНо = Я0сos0. Воспользовавшись тем, что df= R2sinQdQdq, из (П3.1) получаем

искомый крутящий момент, действующий на тело сферической формы со стороны внешнего магнитного поля Я0:

где R - радиус шарика.

(Следует сразу подчеркнуть, что угол 0 является, вообще говоря, функцией времени, которое неявно фигурирует в выражении (П3.2).

С другой стороны, момент сил трения, действующих со стороны жидкости на тело, может быть найден с помощью тензора вязких на-

Рис. П3.1. Геометрия расположения магнитной частицы в пространстве Магнитное поле HQ направлено по оси x . n -ось анизотропии, М -

средняя намагниченность частицы. 0(г) - текущий угол поворота. £2ф - ф - компонента угловой скорости сферической частицы

311

пряжений. В самом деле, согласно [4.8, с. 99] при выборе полярной оси вдоль поля HQ (см. рис. П3.1) имеем

Для неравномерно вращающегося в вязкой среде шарика поле ско­ ростей вблизи его поверхности описывается довольно сложными урав­ нениями [4.8, с. 132]. Мы, однако, имеем право воспользоваться пре­ дельным выражением, которое справедливо как раз в рамках нашей за­ дачи, а именно в приближении сильно вязкого вещества, т.е. при боль­ ших Т|. Тогда оказывается, что поле скоростей вблизи шара приблизи­ тельно то же самое, что и в случае, когда тело равномерно вращается. Действительно, тогда

где вектор £2 имеет компоненты [£2Г, £10, £2ф} = [0, 0, 0}, и, следо­ вательно, компоненты скорости будут такими:

Поэтому единственная отличная от нуля компонента тензора вяз­ ких напряжений есть

Подставляя теперь (П3.7) в (ПЗ.З), находим "тормозящий" момент:

Итак, уравнение движения неравномерно вращающегося в магнит­ ном поле и в вязкой среде шарика есть

Надо заметить, что уравнение "движения" (П3.9) является, вообще говоря, интегро-дифференциальным. На малых временах, таких, что левая часть (П3.9) значительно больше правой, мы имеем право вынес­ ти производную dQ/dt = £2ф за знак интеграла, и в результате получим простое однородное дифференциальное уравнение второго порядка с

312

Рис. П3.2. Графическое решение трансцендентного уравнения (П3.14) Физический смысл имеет лишь корень t*

постоянными коэффициентами:

где затухание

а частота

Решение уравнения (П3.11), удовлетворяющее начальным условиям

0(0) = 0О

0(0) = 0,

имеет элементарный вид:

(П3.13)

Оценим время поворота намагниченности из самого неблагоприятного положения, а именно когда намагниченность "смотрит" в противопо­ ложном полю Н0 направлении. Полагая 0О= л, а 0 = 0 , получаем из (П3.13) следующее трансцедентное уравнение:

Его графическое решение приведено на рис. П3.2. Из рисунка следует, что возможны две точки пересечения, из которых мы выберем лишь одну - 1* Чтобы вычислить t * , положим

где малая величина %удовлетворяет уравнению

£y3 ^ l+*r2/Mo>+fr

Если £у мало (а оно мало - мы это сейчас увидим), что в силу этого

313

е^У = 1 + fyf, и мы имеем

(П3.16)

V(<,HV '» 2

И окончательно из (П3.15) получаем решение:

(П3.17)

Проанализируем полученное решение. При у < со0

(П3.176)

Второй случай, который, собственно, и представляет интерес, по­ скольку описывает сильно вязкую субстанцию, позволяет оценить время t*. Действительно, если подставить значения параметров у и со0 согласно (П3.12), то найдем

(П3.18)

При получении этого выражения было использовано соотношение (П3.10) для момента инерции шара. Оценим время t* Пусть, например, рш = 7,8 г/см3, R = 10~3 см, Т| = 10 г/см • с, Н0 = 103 э, % = 10б, тогда получим, что г* — 0,8 103 с. В меньших магнитных полях время /* сильно растет (как видно из формулы (П3.18), оно обратно пропор­

ционально #оОЛюбопытно, пожалуй, и то, что t* не зависит от раз­ мера частиц R.

Приведенная оценка, однако, не исчерпывает всего анализа про­ цесса установления равновесия в подобных системах. Существует, по­ мимо описанного, и такое известное явление, как седиментация (выпа­ дение в осадок). Следует учесть и эту возможность и оценить рас­ стояние d, на которое успеет (если вообще возможна седиментация - может оказаться, что в силу малости частиц мелкодисперсной фазы они ввиду большой вязкости расплава вообще не будут опускаться на дно) опуститься магнитная частица за время t*

Согласно рис. ПЗ.З уравнение движения можно записать в виде

т8 + F ^ co sa - F0 = mdv/dt, (ПЗ. 19)

где F3ф = —dUldr, U - энергия взаимодействия нашей выделенной час­ тицы "а" с окружающими ее частицами мелкодисперсной фазы. Направ-

314

"о

Рис. ПЗ.З. Схематическое представление реальных сил, действующих на магнитную частицу в вязкой жидкости в поле Но

Рис. П3.4. Смещение частицы в поле тяжести на расстояние d за время х

По оценке, приведенной в тексте, за время Л в течение которого происходит поворот магнитного момента частицы в положение по полю HQ, смещение d несущественно

ление силы /^ф выбрано "вниз", как самое "проигрышное" в плане помо­ щи силы /‘'эф движению шариха вниз по направлению действия силы тяжести. Сила сопротивления Fc= 6KT\RV, т - масса шарика (частицы).

Положив в уравнении (П3.19) а = 0 и интегрируя его, легко на­ ходим искомое смещение:

Оценим величину смещения d (рис. П3.4) за время г* (см. выражение (ПЗ. 18)). Подставляя г* в формулу (П3.20), находим

Подставляя приведенные выше значения параметров в q, получим, что q = 4,6 • 109. Время т из (П3.21) будет примерно равно 1,7 10-7 с. И значит, из (П3.20) следует, что искомое смещение есть сГ = 0,13 см.

Таким образом, опираясь на приведенные оценки, мы имеем право

315

утверждать, что магнитоупорядоченную структуру в композите можно получить изложенным выше методом.

Найдем теперь решение интегро-дифференциального уравнения (П3.9) в случае, когда релаксация линейна и dQ/dt = -0 /т. Действи­ тельно, тогда имеем

где

D* = 2х/#?3/3 + 871T|/?3D/T,

а

D = J 0cos20sin0<f0 = я/3.

о

Решение уравнения (П3.24), удовлетворяющее поставленным на­ чальным условиям, есть тогда:

Поскольку 0(0 => 0 за время t = т, для времени т находим простое квадратное уравнение, решая которое получим

-ли

Это и есть искомое время релаксации. В сильных магнитных полях из (П3.26) следует:

В принципе этот результат должен быть получен и по логике, поскольку в сильном магнитном поле вязкость роли не играет. И как видно из последнего выражения, время т, как и следовало, обратно пропорционально магнитному полю Н0.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВЫВОД ЗАКОНА ФОГЕЛЯ-ВУЛЬЧЕРА

Для описания зависимости вязкости расплавов от меры близости температуры Т к точке кристаллизации Ткр введем абстрактный пара­ метр \у, который условно назовем параметром синергизма. Такое на первый взгляд общее название выбрано нами, потому что при при­ ближении к температуре кристаллизации вся внутренняя структура расплава начинает самоорганизовываться (хотя и под влиянием тер­ мостата, в котором находится) в кристаллическую и, таким образом, становится пространственно упорядоченной.

316

Потребуем, чтобы характерное изменение ф подчинялось "гидроди­ намическому" условию: krc < 1, где к = 1/5г, 8 г - характерная область изменений пространственной координаты функции у, на которых она существенно меняется, rc = г0[Ткр/(Ткр - Т)]Р, показатель степени Р > О, Ткртемпература кристаллизации. Дальнейшее изложение будет осно­ вано на результатах работы [6.130].

В терминах параметра ф запишем общее выражение для свободной энергии вязкокристаллического вещества в виде следующего функ­

где еще один параметр ср есть поле гидродинамических (в буквальном смысле) скоростей. Его введение обосновывается с помощью следую­ щих физических расуждений.

При вымерзании отдельных областей жидкой фазы существует отличный от нуля поток вещества жидкости к центрам кристаллизации, которые будем условно называть зародышами (или островками). В силу медленности процесса кристаллизации число Рейнольдса мало (Re < 1), и, значит, этот поток можно считать ламинарным. Кроме того, такая неньютоновская жидкость (ее вязкость есть функция координат) может считаться и несжимаемой. Это значит, что ламинарный поток, ко всему прочему, и потенциальный. Таким образом, имеем rotv = 0, где век­ тор v - скорость ламинарного потока. В связи с этим можно полагать, что v = Vср. Поле скоростей ф и есть тот дополнительный искомый параметр. Надо сказать, что уравнение непрерывности для несжи­ маемой жидкости в том виде, в котором все привыкли его писать, а именно divv = 0, для неравновесной системы не годится: здесь следует обязательно учесть параметр синергизма ф. Мы сейчас не ставим целью вывод уравнения непрерывности для неравновесной системы, наша цель - выяснение зависимости вязкости от разности темпера­ тур Ткр-Т.

Итак, гамильтониан структуры #{ф, ф} мы запишем в виде квад­ ратичной функции по параметрам ф и ф . Учитывая неоднородность структуры, имеем

Я{\|/, <р} = 0.5 J[5, (dV / дх, ? + (Г - Гкр)>к2 +

где индекс i = х, у, z, а параметры В\ 2 - некоторые феноменологи­ ческие константы.

В грубом приближении, полагая, что функции ф и ф периодические, разложим их в ряд Фурье. Тогда из (П4.2) получим

Я{ф,ф) = 0,51 {ЛЯ4ф,Ф -,+

я

Для получения выражения для свободной энергии вязкокристалли-

317

ческой структуры нам следует провести интегрирование по обоим динамическим параметрам \|/ и ср. То есть с учетом (П4.3) имеем

F = -T\nZ,

где статистическая сумма

где dT = dyqdq>*_qd y qdy*_q.

Стоящее в числителе экспоненты выражение необходимо диагонализировать. Обозначив Ax=T\q* 12, A2 -iB 2q2, A3 =Bxq2 + r~2, пред­ ставим квадратичную форму от динамических переменных <р и \|/ таким образом:

решает задачу о диагонализации Н2.

Собственные значения энергии определяются формулой

Заметим, что Н2 есть положительно определенная квадратичная форма. При этом статистическая сумма сводится к чисто гауссовской форме и вычисление интеграла по dTq элементарно. В результате

Чтобы вычислить сумму по "q", перейдем от суммирования к интег­ рированию в предельном термодинамическом переходе, когда V => «.

318

То есть, положив

X (...) = 4тiV\(...)q2dq,

я

Полагая здесь, q0 = 1/в\^гс, и дифференцируя (П4.9) по qo, находим следующее уравнение для определения экстремального значения сво­ бодной энергии F(rc):

dF/dq0 = 0.

В раскрытом виде оно таково:

Решая полученное дифференциальное уравнение относительно Т| и полагая в конце, что q0 = 1/В^ гс, легко находим, что

А это и есть не что иное, как закон Фогеля-Вульчера, установлен­ ный авторами чисто эмпирическим путем. Заметим, что в показателе экспоненты стоит не щель А, как, казалось бы, и должно быть, а критическая температура Ткр. Дело в том, что цель, которая ставилась вначале, преследовала выяснение лишь критической зависимости вяз­ кости от степени приближенности к температуре кристаллизации и отнюдь не претендовала на учет всевозможных факторов, влияющих на формирование кристаллической фазы, а значит, поставленную задачу можно считать решенной.

319

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ ВНЕШНЕГО ПЕРЕМЕННОГО ПОЛЯ

При изучении вопросов, связанных с поглощением энергии высоко­ частотного магнитного поля любыми магнитными подсистемами (элект­ ронными или ядерными), может возникнуть потребность в теорети­ ческом описании мнимой части магнитной восприимчивости. Если час­ тота внешнего (сокращенно ВЧ) поля мала (сот 1, где т - среднее время установления квазиравновесного состояния в подсистемах: иначе говоря, это есть время установления квазиравновесной температуры по ансамблю квазичастиц), то описание восприимчивости можно проводить, исходя из обычного уравнения Больцмана в известном уже нам т-приближении.

При больших частотах (сот > 1) восприимчивость начинает не­ линейно зависеть от амплитуды поля, и выяснение этой зависимости уже требует аккуратного подхода в выводе кинетического уравнения для такого случая.

Метод, которым воспользуемся мы для вывода этого уравнения, основан на технике матричных функций Грина (Келдыш, 1964) и пред­ ставляет собой альтернативный подход к задаче.

Пусть гамильтониан системы есть Н = Н0 + Нint + V(t), где Hinl - гамильтониан взаимодействия, V(t) - оператор, учитывающий взаимо­ действие с переменным полем. Введем следующую матричную функ­ цию Грина:

T - оператор хронологического упорядочения, T° - оператор антихронологического упорядочения. В отсутствие внешнего поля функция

G]2 = G 12- Усреднение проводится не по основному состоянию, а по возбужденному, которое обусловлено наличием переменного поля. Все операторы беруется в гейзенберговском представлении.

Чтобы точно учесть переменное поле, следует ввести очень удобное для этой цели так называемое представление Фарри. В этом представлении операторы рождения (а+) и уничтожения (а) могут быть записаны в виде

где a{x) = exp{ijH0(t)dt}a exp{-ijH0(t)dt) - оператор уничтожения в представлении взаимодействия.

320