книги / Сферическая астрономия

Пусть инерциальная система отсчета V с осями х', г/, г ' движет­ ся относительно системы Ь (х,у,г) со скоростью V . Допустим, что оси х и х' направлены по V , оси у н у', г и г* соответственно парал­ лельны и начала координат О и О' совпадают при г = г' = 0. Пре­ образования координат из системы Ь в V в этом случае называются

преобразованиями Лоренца:

так как V = (г;, 0,0). В следующей главе будет показано, что преоб­ разования Лоренца могут быть представлены в виде четырехмерной ортогональной матрицы, т. е. формулы (4.31) действительно пред­ ставляют вращение в 4-пространстве.

Предположим теперь, что в некоторой инерциальной системе от­ счета Ь расположены неподвижные часы, и мы измерили по ним промежуток времени Дг между какими-то двумя событиями. Спра­ шивается, какой промежуток времени Дг' между этими же события­ ми покажут другие, точно такие же часы, которые покоятся относи­ тельно системы отсчета V , движущейся относительно Ь с постоян­ ной скоростью у. За промежуток времени Дг координаты часов в V относительно системы Ь изменятся на Дх, Дг/, Дг, т. е. часы пройдут расстояние \/Д х 2 + Дг/2 + Д г2. Интервал в системе Ь равен, следо­ вательно, Д$2 = с2Дг2 —Дх2 —Дг/2 —Д г2. В системе отсчета V за время Д^ пространственные координаты часов не изменяются, т. е. Дх' = Дг/ = Дг' = 0, и интервал в V равен Д$'2 = с2Дг'2. Из инва­ риантности интервала следует уравнение:

с2Дг2 - Дх2 - Дг/2 - Д г2 = с2Дг'2.

Переходя к бесконечно малым величинам и интегрируя эхо выраже­ ние, найдем промежуток времени, измеренный движущимися отно-

сительно системы Ь часами, если по неподвижным часам проходит время ^2 —^1 -

Промежуток времени т — 112 — измеряемый часами, кото­ рые связаны с движущейся системой, называется промежутком соб­ ственного времени. Из уравнения (4.33) следует, что собственное время течет не быстрее, чем координатное время в неподвижной си­ стеме отсчета.

Определим теперь единицу времени в системе отсчета, связан­ ной с наблюдателем, как секунду, и введем обозначение — [зт]. Еди­ ницу времени в неподвижной системе отчета также назовем секун­ дой и обозначим ее как [зв]. Перепишем уравнение (4.32) в виде:

где А 1 , А1 представляют собой числа — показания движущихся и неподвижных часов в выбранных единицах измерения. Если ис­ пользуются одинаковые часы и [зт] = [зв], то показания часов свя­ заны известным соотношением

описывающим замедление времени движущихся часов.

С другой стороны, можно потребовать, чтобы показания часов в разных системах отсчета оставались неизменными: А^ = АЬ. Это требование означает, что единица времени в движущейся системе отсчета должна изменяться согласно уравнению:

где г) = >/1 —у2/с2.

Оба определения, связывающие две шкалы времени, совершенно равноправны. При определении шкал динамического времени ТБ В и ТБТ в резолюциях МАС говорится, что между этими шкалами не должно быть векового (линейного) хода. Это означает, что Между­ народный астрономический союз отдал предпочтение второму ме­ тоду. Поэтому единицы времени шкал ТБВ и ТБТ должны быть

связаны уравнением (4.35). В обозначениях, принятых МАС, урав­ нение (4.35) записывается в виде: < с?ТБТ/йТБВ > = 1, где сим­ вол < > обозначает усреднение в бесконечных пределах. Коэффици­ ент г) зависит не только от скорости часов, но и от гравитационно­ го потенциала в точке, где расположены лабораторные часы, причем г] = 1 - Ь в , где Ьв = 1,55051976772 х 10-8 ± 2 х 10-17. Коэффици­ ент Ь в , как будет показано ниже, определяется строением Солнеч­ ной системы.

Зная коэффициент преобразования г/, можно по лабораторным часам определить барицентрическое время ТБ В. Согласно опреде­ лению МАС, земное динамическое время ТБТ (Тешрз Вупап^ие Теггез1па1) —это собственное время наблюдателя, измеряемое атом­ ными часами, расположенными на поверхности геоида. Единицей времени является секунда СИ. Шкала ТБТ была введена с 1 ян­ варя 1977 г. и заменила шкалу эфемеридного времени ЕТ. В мо­ мент 0ь0т 08 ТА1 1 января 1977 г. значение эпохи в ТБТ равняется 1,0003725е11 января 1977 г. Так как ЕТ - ТА1 = 0,0003725а = 32,8184, то для сохранения непрерывности шкалы ТБТ с эфемеридным вре­ менем принято считать, что

Аргумент ТБТ используется в уравнениях движения для вычисле­ ния геоцентрических эфемерид.

Барицентрическое динамическое время ТБ В (Тешрз Бупаппдие Вапсеп1пдие) определяется на основе уравнения (4.35) и принятой метрики пространства-времени Солнечной системы. Шкала ТБВ определена МАС как координатное время, которое должно отли­ чаться от ТБТ только периодическими членами. Однако из этого определения следует, что шкала ТБВ нереализуема (см. Приложе­ ние В). Причины этого понятны. При определении ТБВ требуется исключить вековое расхождение шкал времени. Так как в действи­ тельности операция усреднения осуществляется в течение конеч­ ного промежутка времени, то становится невозможным разделение долгопериодических членов от вековых. Другими словами, с прак­ тической точки зрения существует неоднозначность в удалении ве­ кового расхождения шкал, что делает определение ТБВ неоднознач­ ным. Другая проблема связана с введением коэффициента г} в пре­ образование шкалы ТБТ в ТБВ. Если принимается постулат о по­ стоянстве скорости света, то при использовании шкал ТБТ в ТБВ

должны быть приняты различные значения констант в разных си­ стемах отсчета. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Определение единицы длины выполняется на основе аксиомы о независимости скорости света с от системы отсчета. Если [мт] и [мв] — единицы длины (метры) в движущейся и неподвижной си­ стемах отсчета, то

= св [м в]

[*в]'

где стуСв —численные значения скорости света, [зт] и [зв] — секун­ ды в движущейся и неподвижной системах отсчета. Используя соот­ ношение (4.35), находим:

Тогда, если численное значение скорости света одинаково в разных системах отсчета: ст = св, то единицы длины удовлетворяют урав­ нению:

Если в качестве единицы массы в Солнечной системе принять массу Солнца М©, то единица длины — астрономическая единица (а. е.) —может быть определена на основе третьего закона Кеплера. Большая полуось а орбиты связана с периодом обращения Т и мас­ сами планеты М и Солнца М© согласно уравнению (2.50):

= СМ о ( М _\ Т 2 4тг2 V + М е ) ‘

где Мф —масса Земли, — масса Луны. Гауссова гравитацион­ ная постоянная к является определяющей и связана с ньтоновской постоянной как

Численное значение к было определено МАС в 1938 г.:

к = 0,01720209895 М©1/2(а. е.)3/2 сут.-1 ,

сутки определяются как внесистемная единица времени, причем их длительность равна 86400 с. Так как к —определяющая постоянная, то считается, что ее величина известна точно. Численно гауссова по­ стоянная к равна среднему угловому движению п (в радианах в эфемеридные сутки) тела с нулевой массой3*в поле Солнца на расстоя­ нии в 1 а. е.:

При М© = 1 , М = 0 , а = 1 и Т, равному числу эфемеридных суток в сидерическом году, получим к = п.

Для определения величины астрономической единицы в при­ нятых единицах длины (метрах) необходимы прямые измерения расстояний между телами Солнечной системы. Для этого сначала использовались измерения суточного горизонтального параллакса Солнца (стр. 323). Точность определения астрономической едини­ цы резко повысилась с развитием радиоастрометрических методов наблюдений. Радиолокация планет и астероидов позволяет достичь микросекундной точности в определении параллакса Солнца, что соответствует нескольким десяткам метров в линейном масштабе. Используя измерения задержки между испущенным радиосигналом и сигналом, отраженным от тела солнечной системы, было опреде­ лено время, за которое радиосигнал проходит 1 а. е. В «Стандартах МСВЗ» оно равно (в ТОВ единицах):

тА = 499,0047838061 ± 2 х 10~ 8 с/а. е.

Фундаментальную роль в астрометрических измерениях играет значение скорости света в принятых единицах длины и времени. Скорость света является определяющей постоянной, значение кото­ рой равно:

с = 299792458 м/с.

Зная значение скорости света в единицах СИ, можно выразить 1 а. е. в метрах. Так как одним из постулатов теории относительно­ сти является постоянство скорости света в любой системе отсчета,

3Тело с нулевой массой — математическая абстракция. В небесной механике для упрощения решения динамических уравнений предполагается, что подобное тело движется в гравитационном поле массивных тел, не оказывая при этом на их дви­ жение никакого влияния.

где угол <р — Ш. Квадрат интервала (Зз2 = с2сЗЬ2—(Зх2 — (Зу2 — (Зг2 при 3 = 3' во вращающейся системе приобретет вид:

Дополнительные неквадратичные члены связаны с кориолисовыми и центробежными силами, которые появляются в неинерциальных системах отсчета. В общем виде интервал можно записать как:

г= 0 э= 0

где д^ —функции координат хг, г = 0 ч- 3. При записи этого выраже­ ния использовалось соглашение, по которому в выражении должно быть выполнено суммирование, если есть повторяющиеся индексы, а знак суммирования опускается.

Величины д^ определяют геометрию системы координат (или метрику пространства-времени) и образуют тензор. В инерциаль­ ной системе при использовании декартовых координат величины д^ равны:

и определяют метрику Минковского. С помощью обратного преобра­ зования

/ #

у'

величины д^ в (4.41) могут быть преобразованы к значениям (4.43). Гравитационные поля в общей теории относительности проявляют­ ся в изменении метрики, но никакими преобразованиями координат ее невозможно привести к метрике Минковского.

Для определения собственного времени в общей теории относи­ тельности рассмотрим два бесконечно близких события, происшед­ ших в одной и той же точке пространства и разделенных промежут­ ком времени (Зт. Полагая, что (Зз2 — с2(3т2 и (Зх1 = (Зх2 = (Зх3 = О, получим по (4.42):

с2(3т = доо((Зх0)2,

откуда собственное время для данной точки пространства

Т= - Г^Яоо^0-

С Л

Собственное время в разных точках пространства связано с коорди­ натой х° = сЬ посредством компоненты #оо метрического тензора. Если часы движутся, то временной интервал Ат между двумя собы­ тиями 1 и 2 , равный разности показаний часов Т2 —п , зависит от пу­ ти. Если мировые линии между событиями 1 и 2 различаются (назо­ вем пути как А и В ), то в общем случае Лтд ф Атв.

Гравитационное поле, как показал Эйнштейн, проявляется в из­ менении метрики пространства-времени, т. е. определяется вели­ чинами д^. Поэтому собственное время наблюдателей, расположен­ ных в разных точках пространства и движущихся относительно друг друга, течет по-разному. Это означает, что единица времени будет разной для разных наблюдателей. Разной будет и единица собствен­ ной длины.

Если наблюдатель неподвижен относительно некоторой системы отсчета, то квадрат интервала между какими-нибудь событиями для него равен 5 2 = сАЬ2 > 0 . Мировая линия, по которой движется на­ блюдатель, является время-подобной, т. е. любая пара точек разде­ лена время-подобным интервалом. Собственное время, таким обра­ зом, является временем, которое измеряется наблюдателем, находя­ щимся на этой мировой линии. С большой точностью можно счи­ тать, что атомные часы показывают собственное время в точке их установки. С точки зрения общей теории относительности ТА1 яв­ ляется координатным временем, определенным в геоцентрической системе координат на поверхности геоида. Для вычисления шкалы ТА1 используется большое число часов, размещенных в разных точ­ ках Земли, и, строго говоря, ТА1 не может называться собственным временем.

4.5.2. Связь между динамическими шкалами времени

Итак, чтобы можно было преобразовать собственное время в ко­ ординатное время или сравнить собственные времена разных на­ блюдателей, необходимо знать компоненту доо метрического тен­ зора. Метрический тензор определяется решением уравнений Эйн­ штейна для заданного распределения массы. В настоящее время по­ лучено много частных точных или приближенных решений этих

4.5. Динамические шкалы времени

15 Зак. 286

уравнений. Однако для практического использования в сфериче­ ской астрономии особое значение имеет метрика Солнечной систе­ мы. Для простых вычислений хорошим приближением гравитаци­ онного поля Солнечной системы является поле точечной массы, так как 99,9% массы Солнечной системы сосредоточено в Солнце.

Точное решение уравнений Эйнштейна для случая сферически симметричного невращающегося тела было найдено Шварцшильдом в 1916 г. Гравитационный потенциал точки с массой М на рас­ стоянии г определяется формулой (3.1):

V = СМ

г

Тогда в сферических координатах решение Шварцшильда можно за­ писать в виде:

Начало пространственных координат системы отсчета совпадает с центром масс тела.

Следовательно, доо = 1 — 2II/с2. Метрика Шварцшильда до­ вольно точно описывает гравитационное поле Солнечной системы. При г —>оо метрика Швардшильда совпадает с метрикой плоского пространства —метрикой Минковского: 211/с2 —►0 , дг2 + г2(102 + г2 81П2 ОйХ2 = Лх2 + 6у2 + дг2. Следовательно, на бесконечно боль­ шом расстоянии от точечной массы связь собственного и координат­ ного времени выражается преобразованиями Лоренца и уравнени­ ем (4.33). При V = 0 получим, что т = I, и координатное время —это время, которое показывают часы, находящиеся на бесконечно боль­ шом расстоянии и покоящиеся относительно точечной массы.

Гравитационное поле Солнечной системы определяется не толь­ ко Солнцем, но и остальными телами. Поэтому потенциал в точке с барицентрическим радиусом-вектором г на поверхности Земли, где расположены часы, определяется выражением

и суммирование выполняется по всем телам р Солнечной системы, радиусы-векторы которых равны г р . Координаты тел определяются относительно барицентра — центра масс Солнечной системы.