книги / Сферическая астрономия

небесной сферы. Рефракция приводит к смещению видимого изоб­ ражения звезды к зениту по вертикалу. Аберрация приводит к сме­ щению изображения также вдоль большого круга, проходящего че­ рез звезду и апекс, в сторону апекса. Общие закономерности смеще­ ния позволяют получить формулы, подходящие для этих и других эффектов, которые рассматриваются ниже. Предположим, что звез­ да 5 с координатами а, 5 смещается в точку 5' с координатами а', 6', причем а' = а + Да, 6' = 6 + Аб (рис. 5.12).

Рм

Рис. 5.12. Изменение положения звезды из-за рефракции или аберрации.

Смещение происходит по дуге большого круга, проходящего че­ рез звезду 5 и некоторую фиксированную точку О с координатами ао, 60. Пусть длина дуги 0 5 = 0, а дуги 5 5 ' = Д0, причем

где к — некоторый коэффициент. Проведем через точку 5' парал­ лель. Дуга параллели 5'Т равна согласно (1.22):

Будем считать, что смещение, т. е. дуга 55' является малой ве­ личиной. Это означает, что при раскрытии скобки и перемножении членов в (5.85) мы будем пренебрегать величинами второго порядка малости (типа ДаДЯ):

8 'Т = Д а со8(6 + А 6) « Д а сов 6.

Обозначим угол 0 8 Рдг через ф. Так как треугольник Т 8 8 ' —малый, то будем считать, что он плоский. Тогда:

8 Т = А 6 = 575 со8(180° - ф ) = -АОсозф,

8 'Т = Д а соз ^ = Д0зт(18О° —ф) = АОзтф

или

Д а соз <5= кзт взт ф ,

А5 = —кзтвсозф .

Исключим з т ф и соз фуиспользуя формулы синусов и подобия для треугольника ОРдг5:

811108т Ф = Зт(90° —(5о)81п(а —ао),

зтвсозф = со8 ( 9 0 ° —<5о)8т(90° —6)—

-зт(90° —<5о) со8(90° —<5)соз(а —ао).

Врезультате подстановки в уравнения (5.86), получим:

Да соз 5 = к соз <?о з т (а —ао),

у 5• об)

А5 = /ф т 6 соз <^о соз(а —ао) —соз 6 з т •

Чтобы применить уравнения (5.86) к конкретному случаю, необ­ ходимо подставить в (5.86) коэффициент к и координаты точки О. В частности для рефракции имеем в = г у к = — (п о — 1 ) / со 8 2 . Рефракция поднимает звезду над горизонтом, зенитное расстояние при этом уменьшается. Поэтому коэффициент к отрицателен. Точка О является зенитом наблюдателя. Значит ао = 5, где $ —местное звездное время, ^о = <р, где — астрономическая широта. В резуль­ тате подстановки этих значений в формулу (5.86) получим:

которые совпадают с формулами (5.11).

где I = 8 — а — часовой угол.

Если пренебречь разницей между геоцентрической широтой <рд

иастрономической широтой ср, получим:

Да соз 5 = 0,80213сО8(^соз^,

(5.88)

Д 5 — 0','320 соз (р з т 6 з т

где О, = 2п за звездные сутки, т. е.

Уравнения (5.88) дают разницу между координатами звезды для на­ блюдателя на поверхности Земли и неподвижного наблюдателя в центре Земли.

5.2.3. Формулы учета годичной аберрации низкой точности

Помимо вращения вокруг оси Земля перемещается относитель­ но барицентра Солнечной системы, и скорость движения Земли по орбите ~ 30 км/с. Отношение (У/с) в этом случае ~ 10-4, значит в угловой мере годичная аберрация ~ 20". Эффекты второго поряд­ ка, пропорциональные (У/с)2, имеют величину ~ 10-8, что соответ­ ствует 0','002. При современной точности наблюдений ~ 0','0001 чле­ ны второго порядка малости обязательно должны учитываться. Точ­ ные формулы для годичной аберрации будут получены в следующем параграфе.

Формулы низкой точности (порядка 0(У/с)) могут быть получе­ ны, если пренебречь различием между барицентром Солнечной си­ стемы и центром Солнца. В этом случае можно считать, что Земля движется по эллиптической орбите относительно центра Солнца и вектор скорости Земли У ф лежит в плоскости эклиптики. Апексом является точка с эклиптической широтой </?д, равной 0°, и долготой Ад, равной А© + 90° - 180° (рис. 5.13), так как У ф = -V©, где А© и V© —эклиптическая долгота и скорость Солнца.

Г>.2. Аберрация 21 Зак.286

Допустим, что в начальный момент времени ^начало штрихован­ ной системы отсчета имеет координаты (X, У, 2 ) относительно Ь. Очевидно, что преобразования Лоренца, учитывающие параллель­ ный перенос осей координат системы Ь в точку X, У, 2 , могут быть записаны в виде:

Для того, чтобы вычислить изменение экваториальных коорди­ нат из-за годичной аберрации, необходимо получить общие форму­ лы Лоренца. Вектор скорости V штрихованной системы координат

вобщем случае может не совпадать ни с одной из осей. Кроме этого,

внулевой момент времени начала систем Ь и V могут не совпадать.

Пусть компоненты вектора скорости V начала отсчета системы V в системе отсчета Ь равны (Ух, У2 ?Уз)- Сначала повернем систему Ь так, чтобы ось О х совпала с вектором V. Затем выполним преоб­ разование Лоренца (5.92) и, наконец, выполним обратное вращение системы Ь, чтобы оси системы вернулись в исходное положение. Ре­ зультатом этого преобразования будут формулы Лоренца, записан­ ные в векторном виде.

Применительно к нашей задаче будем считать, что система от­ счета Ь ( х , у , х ) — это 1СК5, т. е. начало находится в барицентре Солнечной системы, ось О х направлена в точку весеннего равно­ денствия, а ось О г — в северный полюс мира. Барицентрический радиус-вектор центра Земли, в котором находится наблюдатель, ра­ вен К = (X, У, 2 ), и наблюдения проводятся в момент барицентри­ ческого координатного времени 1

Предположим, что вектор V направлен в точку с экваториальны­ ми координатами (а, 6) . Для совмещения оси О х с направлением на апекс необходимо выполнить два вращения: первое — относительно оси О г на угол а, второе — относительно оси О у на угол —ё>т. е. вы­ числить матрицу К2(—8 )К'з(а). Повороты системы координат Ь вы­ числяются в четырехмерном пространстве х , у , г , при этом ход вре­

мени не меняется. Следовательно, матрицы К2,К'3 имеют размер­ ность 4 x 4 :

После вращения системы Ъ/, описываемого матрицей В!2{—6)К3(а), направление оси Ох совпадает с направлением векто­ ра скорости V. Следовательно, можно применить уравнение (5.93) и затем выполнить обратный поворот: К3(—а)К2(6). В результате об­ щее преобразование Лоренца имеет вид:

Пусть К = К3(—а)К2(6)МК2(—6)К3(а). Умножение пяти мат­ риц размером 4 x 4 —занятие довольно утомительное. Для эконо­ мии времени можно, например, воспользоваться пакетом МАРЬЕ. Программирование произведения матриц в (5.94) занимает несколь­ ко минут. После приведения подобных членов (также с помощью МАРЬЕ), учета того, что У\ = V соз 6соз а и т. д., V = |У|, элементы матрицы приобретают компактный вид:

К =