Дня моментов инерции относительно центральных осей, параллельных первоначальным осям х, у ,
Jx c |
= |
Jx - р Ус> |
|
I |
— 1 |
— Fr 2 ■ |
(7.47) |
JУс |
|
Jу |
1 л с |
> |
|
Jx cy c |
- |
Jx y - |
р х сУ< |
|
При повороте центральных осей на угол Ьу до совмещения их с главными из условия равенства нулю центробежного момента относительно главных осей имеем
tg2(5<p) = — *сУс |
. |
(7.48) |
3Ус ~ 3* с
При этом за положительное направление отсчета углов принимается нап равление вращения против часовой стрелки. Переход к главным централь ным осям инерции £, V путем поворота осей х9у на угол 5 р даст выражения моментов инерции
h |
= 0 ’5 (Jx c + V |
- 0 ,5 y / V y c - Jx cy +V x 2eyc ; |
Jn |
Jy c +Jx c ~ J f |
(7.49) |
Величина полярного момента инерции
(7.50)
При определении остальных геометрических характеристик удобно пользо ваться координатами участков разбиения в главных центральных осях, ко торые связаны с прежними координатами соотношениями
= |
( X j - Х с ) cos (6у?) + (у,- - у с) sin (8ф) ; |
Щ= |
(7.51) |
О» - ; ;c)cos(S^) - (Xj — х с) sin (5^). |
Тогда моменты инерции высших порядков вычисляются так:
Jp% |
= |
+Tl l ) v iaihi -, |
|
Jpn |
= 2 ( |? |
+Vi)Ziaihi; |
|
JP4 |
= 2(1/ |
+n})2aihi . |
(7.52) |
Поскольку моменты сопротивления изгибу относительно оси наимень шей жесткости £ имеют минимальные значения в наиболее удаленных от £
точках профиля А, В, С и в этих же точках температуры лопатки достигают наибольших значений, то именно они, как правило, определяют статическую прочность лопатки. Для неохлаждаемых лопаток это утверждение справед ливо во всех случаях, поскольку температуры по профилю одинаковы, а напряжения изгиба наиболее велики в точках А, В, С; для охлаждаемых лопаток в большинстве случаев это утверждение также верно, за исключе нием лопаток, имеющих большие температурные градиенты по стенке и по контуру лопатки. Для этих случаев необходимо дополнительно определять напряжения, возникающие от разности температур.
Координаты точек, наиболее удаленных от оси £,
%В = |
Ой я |
—хс) cos (5v>) + (yRB —у с) sin (6^); |
|
% = |
О RB |
- У с) cos(5<p) |
- |
(XRB - x c)sin(6<p) +RB \ |
|
%A = |
О R A |
- x c) cos(6^) |
+ ( у Кд — у c) sin(5i^); |
|
44 = |
(УяА |
- У с) cos(6v>) - |
—xc)sin(6<^) +RA . |
( 7 5 3 ) |
Наиболее удаленная от оси £ точка на спинке с координатой т\с отыс кивается следующим образом: определяются координаты точек наружного профиля спинки
затем находится наименьшая из этих координат (обозначим ее т?^) и через три точки к —1, к, к + 1 проводится парабола т? = а%2 + Ь% + с; коэффициен ты а, Ь, с находятся из системы трех уравнений для точек с индексами к , к — 1, к + 1. Величина г\с есть координата точки касания прямой, параллель-
dr\
ной оси £, к параболе, поэтому----- = 0, откуда
|
|
d ? |
|
|
ъ |
|
|
£с — |
и Г\с = |
+ |
+ с* |
|
2а |
|
|
Моменты сопротивления сечения изгибу в точках А, В, С
= Л _ . |
_ |
п хв = |
W,хС |
чв ' |
\Пс\ |
|
_ |
^ . |
j„ |
|
(7.54) |
|
WyA |
*уВ = |
I Ы
Координаты центра тяжести в осях и, v
ис = и0 + х с cos^o - Ус sin^o;
(7.55)
v = v0 —х с sin<^o +7ccos^0.
Угол между осями м и £
V = <А) + 5^-
Величину геометрической жесткости при кручении получим исходя из формулы Гриффитса —Прескота для стержня с криволинейным открытым профилем
1 |
1С |
. |
(7.56) |
Т - — |
! |
с3 (s)ds, |
3 |
о |
|
|
|
где с —текущая толщина профиля; ds —дифференциал средней линии про филя; 1С—длина средней линии профиля.
Для лопаточных профилей было установлено, что с высокой степенью точности выражение (7.56) может быть заменено более простым
Правильность этого выражения подтверждена экспериментальными данными, которые получены при испытаниях на кручение рабочих лопаток турбины с различными хордами, максимальными толщинами и относитель ными удлинениями.
Для лопаток с внутренней полостью геометрическая жесткость при кру чении записывается как разность жесткостей сплошного профиля и внут ренней полости:
где /вн и сШвн —те же, что / и ст , но для внутренней полости. Зависимость (7.58) имеет теоретическое обоснование и экспериментальное подтвержде ние. С учетом того, что М — ТО и т=G0h(s), для вычисления касательных напряжений, возникающих на крайних волокнах скручиваемого сплошного профиля, следует пользоваться зависимостью Гриффитса —Прескота
т= |
3 Mh( s ) |
(7.59) |
/ |
|
/ |
h y (s)ds |
или, учитывая, что для лопаточного профиля
1 |
1 |
\ |
|
J ^ (s)ds — |
ICm ^ ^ (^) m ах ~ ^m » |
3 |
о |
6 |
более простой зависимостью |
|
Ш |
(7.60) |
т= ------- . |
1с'
Для лопаток с внутренней полостью при вычислении жесткости пользуются как зависимостью (7.58), так и формулой Бредта
4П2 |
(7.61) |
Т = ---------- |
сis
f -----
h (s)
Здесь £1 —площадь, заключенная внутри средней линии профиля. Напряже ния кручения в профиле с замкнутым контуром, каким является сечение лопатки с полостью, определяется из соотношения
т— |
М |
----------- (7.62) |
|
2 Г2 h (s) |
Принципиальное отличие между стержнями замкнутого и незамкнутого контура состоит в том, что незамкнутый контур при одинаковых геометри ческих размерах имеет значительно меньшую жесткость при кручении и более высокие касательные напряжения, чем стержень замкнутый. Сравним два кольцевых профиля, имеющих одинаковые радиусы средней линии и толщину. Первый профиль замкнут, второй имеет разрез вдоль образую щей. Жесткость первого стержня согласно (7.61)
Т ъ = 2тг^ р h,
напряжения кручения в нем по (7.62) для единичного скручивающего мо мента
1
27тгс И*
жесткость второго стержня согласно (7.56) Тр = ----------- |
, напряжения кру |
чения
Рис. 7.5. Изменение напряжений кручения в лопатке с разреженными перемычками:
1 - выходная кромка; 2 - перемычки; г - напряжение кручения
3
ср
Взяв отношения жесткостей и напряже ний кручения для этих стержней, полу чим
7\
Р
Из этих соотношений видно, что жесткость замкнутого стержня значи тельно выше жесткости незамкнутого, а напряжения в нем при одном и том же скручивающем моменте меньше. Эту особенность необходимо учитывать при проектировании лопаток типа представленных на рис. 4.12 и, главным образом, лопаток с бандажными полками, которые являются наиболее нагруженными с точки зрения кручения. Если перемычки, связывающие стенки лопатки в зоне выходной кромки, располагать с большим шагом, то между замкнутыми сечениями появляются разомкнутые, которые, как было показано выше, увеличивают интегральную моментную податливость лопатки и сами являются весьма нагруженными с точки зрения напряжений кручения.
Для этого случая на рис. 7.5 представлен элемент выходной кромки лопатки и эпюра касательных напряжений.
Видно, что в месте перехода от замкнутого сечения к разомкнутому образуется резкий скачок напряжений, опасный тем, что он действует вбли зи галтели малого радиуса, образованной в месте перехода от перемычки к тонкой стенке; радиус создает входящий угол, что вызывает при круче нии значительную концентрацию напряжений.
Для того чтобы исключить это явление, необходимо перекрытие пере мычки друг друга по высоте лопатки.
Расчет частных запасов
После определения нормальных напряжений и напряжений кручения вычисляются эквивалентные напряжения, которые для лопаток турбины имеют значение
стэкв = v V +3 т2. |
(7.64) |
По значениям аэкв определяются запасы длительной прочности.
Под величиной длительной прочности понимается напряжение, разру шающее образец (деталь) при действии повышенной температуры в течение определенного времени. Для современных жаропрочных сплавов повышен ной является температура более 750 ... 800 °С. Для каждого металла вели чина длительной прочности связана с температурой и временем до разруше ния через параметр Ларсона —Миллера (см. гл. 3).
Для некоторых металлов сФ 20, что необходимо учитывать; например, в методике, разработанной С.М. Гринбергом, длительная прочность аппрок-
t |
** |
i — 1 |
Р — Р m i n |
симируется полиномом вида а* |
= |
, где* = |
----------------------- 0,5, |
|
1 |
|
Л и ах ~ Л и т |
а постоянные а; и с варьируются с использованием метода наименьших квадратов по минимальному уклонению от экспериментальных данных.
Для оценки прочности требуется комплекс показателей с учетом рабо ты турбины в широком диапазоне эксплуатационных режимов.
Одним из основных критериев в настоящее время является запас стати ческой прочности лопаток, определяемый с учетом работы двигателя на всех режимах на основании гипотезы линейного суммирования поврежде ний. Этот критерий записывается следующим образом:
1 |
N |
(7.65) |
к Бт |
2 |
/=1 |
|
где kj —запас прочности на г-м режиме, определяемый по соотношению |
*,• = |
|
|
к £ суммарный запас, характеризующий прочность лопатки, |
оставшуюся |
после выработки полного ресурса, и учитывающий вклад каждого режима в общую статическую повреждаемость; N —число режимов; пц —показа тель степени кривой длительной прочности.
Испытаниями на длительную прочность широкого класса металлов установлено, что при одной и той же температуре испытаний справедлива зависимость
тат = const, |
|
(7.66) |
откуда |
|
|
lgr2 - |
lgri |
(7.67) |
т = ------------------------------- |
lg0(t; ТО |
- lg a (t,r2) |
|
Величина т называется показателем степени кривой длительной прочности
и физически характеризует угол наклона кривой к оси абсцисс. При этом следует заметить, что для одного и того же времени г с увеличением темпе ратуры t показатель степени уменьшается.
В литературе часто встречается такой способ определения т , при кото ром отыскиваются значения о(т; t) при т2 = 100 ч и г г = 10 ч, тогда
1 |
, |
m = --------------------- |
а (1 0 ; |
г) |
lg ------------------- |
t ) |
<7(100; |
однако этот способ дает заметную погрешность, поскольку здесь m харак теризует не угол наклона касательной в исследуемой точке, а угол наклона секущей, которая проходит через две достаточно далеко отстоящие друг от друга точки о (10; t) и о (100; t). Из многочисленных оценок следует, что расчетный показатель степени весьма близок к точному значению в ис следуемой точке кривой длительной прочности, если принять т2 = 1,15т!, где Tj —время расчетного режима. С учетом этого выражение (7.79) приоб ретает вид
m = |
lg 1,15 |
. |
(7.68) |
---------- :----------------- |
|
o(r i; |
t) |
|
|
l g [ ------------------------- |
1 |
|
<7(1,15TI ; t )
Суммирование запасов прочности по формуле (7.65) означает приве дение всех режимов к одному, наиболее нагруженному; таким может быть режим с минимальным запасом прочности или режим с максимальной тем пературой лопатки, поэтому m может равняться показателю для режима с fcmin (обозначим его m m) или показателю для режима с fmax (обозначим его mt) .
Рассмотрим на простом примере все возможные случаи суммирования запасов прочности, положив при этом для удобства вычислений, что двига тель работает на двух режимах. Пусть запас прочности на первом режиме меньше, чем на втором, а показатель степени Шх > т2 т.е. температура ло патки на первом режиме ниже. Положим к х = 2 , т г = 3, к* = 3 ; т2 = 2 . Приводя суммарный запас прочности на режиме к условиям работы на режиме № 1, а для каждого режима взяв соответствующий показатель степени (т.е., учитывая ’’собственную” повреждаемость отдельно для каж дого режима), получим
Положив для обоих режимов т = т х получим
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
------ |
= ------ |
+ ----- |
|
+ |
т 1 |
т 1 |
mi |
2 3 |
З3 |
к ъ |
к х |
к 2 |
k z = 1,83. |
|
|
(7.686) |
Приняв всюду т = т2, что соответствует общей и частной повреждаемости при большей температуре, получим
1 |
= |
1 |
+ |
1 |
1 |
1 |
-------т 2 |
------т 2 |
------т 2 |
— |
+ |
|
|
22 |
З2 |
к ^ |
|
к i |
|
к 2 |
k L = 1,67. |
|
|
|
(7.68в) |
Приведение суммарного запаса прочности к условиям работы на режи ме № 2 (с большей температурой) при учете ’’собственной” повреждаемости для каждого режима дает
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
------ |
+ ----- |
|
+ |
т 2 |
т i |
т 2 |
23 |
З2 |
к% |
к ! |
к 2 |
k z = 2,06. |
|
|
|
(7.68г) |
Здесь суммарный запас получился больше минимального частного запа са, что полностью противоречит физической картине повреждаемости, поэ тому такой способ использовать нельзя.
Положим теперь, что к х ~ 2, т { = 2, к2 = 3, т 2 = 3, т.е. режим с мини мальным запасом является одновременно и режимом с наибольшей темпе ратурой. Приводя суммарный запас к режиму № 1 и взяв на каждом режи ме собственную повреждаемость, получим
--------1 |
=1 |
-------т ! |
+ |
-------1 |
= 1----- 1 + |
----- ; |
т ! |
|
|
т2 |
|
~2 |
|
_ |
k z |
|
к х |
|
к2 |
|
А |
|
З3 |
= 1,87. |
|
|
|
|
|
(7.68д) |
Приводя оба режима к первому, получим |
|
-------1 |
= ------ |
1 |
+ |
------1 |
=1---- |
1+ |
----2 |
; |
т \ |
|
т \ |
|
т \ |
|
2 |
|
k L |
|
к ] |
|
к 2 |
|
22 |
З2 |
|
k z = 1,67. (7.68e)
Поскольку при расчете запаса прочности следует все величины, входя щие в него, брать в наихудшем сочетании, то для случая, когда режим с минимальным частным запасом прочности не совпадает с режимом макси мальной температуры лопатки, суммарный запас надо определять по соот ношению (7.68а) а в случае совпадения кт[п и £тах на одном режиме по соотношению (7.68е).
После расчета суммарных запасов прочности следует перейти к компен сации лопатки или к такому расположению линии центров тяжести ее, при котором напряжения от центробежных сил некоторым образом уравнове сили бы напряжения от газового изгиба. Поясним принцип компенсации на простом примере лопатки активной турбины, введя для удобства рассуждений дополнительное предположение, что лопатка является неохлаждаемой и одинаково нагрета по всей высоте. Поскольку лопатка активная, то газовые нагрузки действуют на нее только в окружной плоскости, как показано на рис. 7.6. Штрихпунктиром обозначена ось центров тяжести, расположенная по радиусу. В этом случае в лопатке действуют напряже ния растяжения от центробежных сил и напряжения от газового изгиба, причем очевидно, что в точке С суммарные напряжения будут меньше, чем в точках А и В, поэтому запасы прочности в расчетных точках имеют неоди наковые значения, т.е. кромки перегружены, а спинка недогружена. Такая лопатка называется неуравновешенной по запасам прочности.
Если отклонять лопатку относительно нижнего сечения в сторону поло жительного направления газовых нагрузок, то в лопатке возникнут изги бающие моменты от центробежных усилий, действующие в направлении, обратном газовдму изгибу и определяемые по формулам (7.9) и (7.11). Можно показать, что в результате такого отклонения найдется положение лопатки, при котором моменты от центробежных сил уравновесят моменты от газовых нагрузок, и напряжения на кромках и спинке станут равными.
Реальные компенсационные углы наклона лопаток |
невелики, поэтому |
для них можно считать tg6^ = sin6& « |
и компенсационные смещения |
в сечениях, определённые через смещения в верхнем сечении, равны |
Av(r) = A vj-----— . |
(7.69) |
|
|
h |
|
|
|
Полагая в формуле (7.8) |
v = v + |
|
|
+ Дv (r), запишем выражение для мо-
Рис. 7.6. К определению компенсационно го наклона лопатки; и> —угловая скорость ротора
мента от центробежных усилий, получившееся в результате компенсацион ного наклона лопатки,
Ми |
Гг |
Г-Г0 |
|
= рсо2 [г f F ( v + A vj--------) dr • |
|
• r |
h |
|
(v + A vj-------- ) / Frdr ] - pco2 Vn[(v + A vj------- ) rn - |
|
rn - Гo |
|
(7.70) |
- ( v n + AVl- i i — !L)r]. |
|
В результате преобразований оно примет вид |
|
''о |
Г2 |
Г +Г0 |
Ми =Ми + рог Avj[----- f Frdr - |
S F d r ■ |
|
Vnr 0 |
|
(7.71) |
|
( r - ' n ) } |
|
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
м [ |
= Му + А 1 (г) Д V[. |
|
(7.72) |
Уравнивая запасы прочности на кромках и спинке и обозначив их соот ветственно кд и к с , получим
|
t |
|
t |
t |
|
|
|
°T |
aTwA |
|
|
|
lifr + M l |
(7.73) |
|
°A |
|
° p wA + M +M- |
|
a p + |
WA |
|
к с - |
|
° r WC |
(7.74) |
|
м г - М‘ + А ' |
|
avwc - |
(г) Дv |
Удобно приравнивать друг другу не сами запасы прочности, а обратные им величины, тогда
a v w \ + М г + м ’ + А 1 |
U А), |
( г ) Ду 1 _ (Jp w c - М ‘ - М 1 + А ' ( г ) Av, |
(7.75)
