Рис. 7^1. К определению силовых фак торов в лопатке от центробежных на грузок! м*, v*, г* - координаты центра тяжести сечения, в котором определя ется Mj\ г* отсчитывается от оси вра щения; ось и параллельна оси враще ния и направлена по потоку газа; ось v ей перпендикулярна и направлена про тив вращения
щие. Одна из них параллельна радиусу, проходящему через центр тяжести нижнего сечения лопатки,
dPjs |
= dPj соsi// |
(7.4) |
и |
|
|
|
dPjT |
=dPjSm\jj. |
(7.5) |
Величина v |
« г, поэтому cos i// « |
V |
1, a sin ф = — и |
|
|
|
г |
dPгв |
~dPj\ |
|
(7.6) |
dPjT = d P j — . |
(7.7) |
|
4 |
Г |
|
Примем следующее правило знаков для изгибающих моментов, дейст вующих относительно осей м, v: момент считается положительным, если при взгляде с положительного направления оси он действует против часовой стрелки. Тогда выражение для момента Muf, изгибающего лопатку относи тельно оси м, будет иметь вид
'2 |
г2 |
(7.8) |
Muj ~ - 1 dP/ r ( r - r * ) |
+ f dPj(v - V * ) . |
r * |
r * |
|
Подставляя (7.7) в (7.8), получим |
|
г 2 |
Г 2 |
|
M uj = рсс2 (г* J Fv*dr —v* J Fvdr) . |
(7.9) |
r* |
r* |
|
Момент |
|
|
Mv . = - i d P j i u - u *), |
|
(7.10) |
после подстановки dPj |
|
|
гг |
г2 |
|
Му . =po?2(w*J Frdr — fFurdr). |
(7.11) |
у* |
у♦ |
|
Поскольку подынтегральные функции в (7.2), (7.10) и (7.11) имеют достаточно сложный вид, требующий специального приведения к форме, удобной для аналитического интегрирования, вычисление интегралов наи более просто вести по правилу трапеций или по методу Симпсона; погреш ность таких вычислений не превышает 5 %.
Современные охлаждаемые лопатки турбины имеют весьма сложное конструктивное оформление внутренней полости (см. гл. 4), элементы ко торой, за редким исключением, не являясь несущими, дополнительно наг ружают лопатку инерционными усилиями, величины которых учитываются при расчете на прочность.
Поскольку расстояние этих элементов от главных центральных осей сечений лопатки незначительно, дополнительные изгибающие инерционные моменты от них можно не учитывать; в предельном случае величины этих дополнительных моментов не превышает 5 % от изгибающих моментов, оп ределяемых по соотношениям (7.8) и (7.11), в то время как дополнитель ные центробежные силы вносят нагрузку, которая может достигать 15 % от нагрузки, создаваемой пером лопатки.
Удобно, особенно для расчетов на ЭВМ, приводить сосредоточенные (т.е. расположенные на малом участке высоты пера), объемы этих элемен тов к дополнительным ’’нагрузочным” площадям, дающим при интегриро вании нагрузку, эквивалентную той, которую создают внутренние элементы.
Обозначив ’’нагрузочные” площади через AF, запишем условие эквива лентности
( A F k + A F k f j ) ( г к - гк + 1 )
2 /= 1
Здесь к — порядковый номер сечения лопатки, причем нумерация сечений идет сверху вниз; п —число элементов между к-м и к + 1-м сечениями ло патки; / — порядковый номер элемента; К/ —объем /-го элемента; Г( — радиус центра тяжести /-го элемента.
В выражении (7.12) присутствуют две неизвестные величины: AF^ и AFfc + 1; для исключения одной из них следует поместить сечение с номером кЛ в то место лопатки, где еще нет внутренних элементов, тогда гранич-
ное условие A F X = 0 дает возможность определить ’’нагрузочную” площадь в сечении к-2 как
п
2 L Vin
1
AF2
/*1 - /*2
затем ’’рагрузочную” площадь в сечении 3 —как
п
2 1 Vf i
AF 3 = ---- -------- |
- AF2 и т.д . |
/*3 - |
г2 |
Таким образом, в выражении (7.2) под интегралом должна стоять пло щадь сечения с учетом ’’нагрузочных” площадей или F = Fn + AF, а напря жения растяжения определяются по ’’несущей” площади.
Кроме центробежных, на лопатку действуют нагрузки, возникающие от перепада давлений на ступени и от изменения осевой Са и окружной Си составляющих скорости газа.
Через элементарную трубку тока, имеющую в радиальном направлении толщину dr, протекает газ, изменение количества движения которого соз дает воздействие на лопатку, эквивалентное элементарному усилию
dPw= — (dm 2C2u —d m xCXu ), |
(7.13) |
z n |
|
гдeZ n - число лопаток.
Масса газа, протекающего через элементарную трубку на входе в ре
шетку, |
|
dmi = — CwdF, |
(7.14) |
g |
|
где у i — удельный вес газа на входе в решетку; d F = 2nrdr - |
площадь эле |
ментарной трубки. |
|
Для массы газа, вытекающего из решетки, уравнение аналогично (7.14) с заменой индекса 1 на индекс 2.
Запишем условие постоянства расхода газа, протекающего через едини
цу площади |
|
1 \ С \ а ~ У г ^ г а ---------> |
(7*15) |
F k |
|
где Fk = n ( r i - г 02).
Подставив выражения d m l n d m 2 в (7.13), получим
2тTG |
(7.16) |
dPy = --------- ACurdr . |
z nZFk
Поскольку большинство ступеней турбины проектируется по закону постоянства циркуляции или близкому к нему, то произведение окружной составляющей скорости газа на радиус ACur = const и выражение для рас-
|
|
d P w |
, действующей в окружной плоскости, |
пределенной нагрузки qy = -------- |
будет иметь вид |
d r |
|
|
|
|
G 2 TT |
^^MCDr cp |
(7-17) |
Чу |
~ |
|
8 z n F k |
СР |
|
или |
|
|
|
|
GACW |
|
|
Чу |
ср |
|
(7.18) |
|
|
gZj\h
В выражениях (7.17) и (7.18) величина ACWcp представляет собой ее зна чение на среднем радиусе. Поскольку величина qy постоянна по высоте ло патки, выражение для изгибающего момента от газовых сил относительно оси записывается как
Qv (r2 - г*)'
ми =
что после подстановки qy |
примет вид |
|
Ми = |
Gh |
|
|
|
(7.19) |
АСи а \ |
|
|
|
|
2gZn |
|
|
|
|
гг ~ г* |
|
|
|
|
где о: = ------------- |
относительная координата сечения. |
|
|
h |
|
|
|
|
В осевом направлении на лопатку действует элементарное усилие |
dPu, равное |
|
|
|
|
dPu = |
2 m d r |
1 |
(dm2C2a - d m ,Cle), |
(7.20) |
(Ра - P i ) ---------- |
+ |
----zn |
|
ZJl |
|
|
|
или с учетом (7.14) и (7.15) |
|
|
|
dPu = |
2nrd r |
1 |
G |
(7.21) |
(Рг ~ P i ) ---------- |
+ ---------------- |
zn |
2irrdrACa . |
|
Zn |
|
Fk g |
|
Для того чтобы получить распределенную по высоте лопатки нагрузку qu ,
|
dP u |
, после чего выражение для qu примет вид |
|
возьмем производную------ |
|
|
dr |
|
|
|
|
|
Яи = (Р2 - P i ) |
2nr |
1 |
27тг |
G |
. |
(7.22) |
------ + |
----------------гл |
S |
— |
|
|
Fk |
|
|
Уравнение изгибающего момента М у усилий потока газа, действующих в осевом направлении, записывается следующим образом:
г2 |
|
|
|
|
Му = S Qu (r ~ r*)dr- |
|
С7-23) |
г* |
|
|
|
|
Проинтегрировав (7.23) и введя г* = r2 — ah, получим |
|
nh2a2 |
(Ар + |
GACn |
h |
(7.24) |
Му = ---------- |
------- t- ) (R2 |
-------а). |
Zn |
|
£ |
3 |
|
В тех случаях, когда лопатка спрофилирована по закону, заметно отличаю щемуся от ACu r — const, полученные в результате газодинамического рас чета значения АСи, АСа, Ар в трех сечениях лопатки, например на г2,/*Ср и г0, подставляют в выражения
d Pv |
dpu |
Qv = — ---- и |
qu = |
d r |
dr |
затем каждое из них аппроксимируют полиномом 2-й степени типа q = а г + + а2г + аъг 2, найдя неизвестные коэффициенты al9 а2 и аъ по известным значениям q(r2) , q (гср) и q (r0) , а выражения q (r) затем вносят под интег рал. Функция q(r) (г —г* ), являющаяся степенным полиномом, легко ин
тегрируется; точность, получаемая при аппроксимации q (г) |
квадратичной |
параболой, как показывает практика, весьма высока. |
|
В проекции на оси £ и г? (рис. 7.2) |
|
= Ми cos<£ + Му sin<p; |
(7.25) |
Мп = Му cos\р - Ми sintp. |
(7.26) |
Известно, что к лопаткам компрессора и турбины применима теория естественно закрученных стержней, изложенная, например, в [5] . Точ ность расчетов по этой теории высока при определении напряженного и де формированного состояния лопаток, подверженных воздействию статичес ких усилий, однако к лопаткам турбины может быть применена, практичес-
Рис. 7.2. Взаимное расположение непод вижной (и, v) и подвижной (£, rj) пря моугольных систем координат. ^ —угол между осями £ и м; А, В, С - точки про филя, наиболее удаленные от оси £
Рис. 7.3. К определению параметров закрученности лопатки, z - координата по оси, перпендикулярной плоскости и, v и отсчитываемая от нижнего сечения ло патки; / - хорда профиля
ки без потери точности, более упрощенная теория Кирхгофа —Клебша. Это объясняется тем, что лопатки турбины по сравнению с компрессорными имеют гораздо большие относительные толщины и значительно меньшую от носительную закрутку, вследствие чего ее можно рассматривать как стер жень несимметричного сечения, подверженный косому изгибу. Это под тверждается выводами общей теории закрученных стержней, которая раз деляет лопатки на стержни трех классов, в зависимости от некоторых пара метров 7 (рис. 7.3) и/30-
Параметр 7 является углом между осью закрутки z, относительно которой
происходит поворот |
профиля, |
и осью крайнего волокна сечения, |30 = |
----------- |
—комплексный параметр, зависящий от относительной зак- |
GT |
|
' |
|
рученности профиля |
d y |
|
---- , модулей упругости Е и G первого и второго рода |
|
|
d z |
|
(для металлов |
|
Е |
|
G = -------), геометрической жесткости на кручение Т и от |
|
|
2,6 |
|
момента инерции 4-го порядка: |
|
j rо = № 2 + n2+ ^ - ) d F , |
(7.27) |
F |
|
F |
|
где £ и г\ координаты текущей точки сечения; / р —полярный момент инер ции, равный сумме моментов инерции относительно главных осей
Jp |
J i + Jn |
(7.28) |
|
|
— моменты инерции относительно осей наименьшей и наиболь |
шей жесткости соответственно. |
j |
В удлиненных профилях £ < т?, |
—— = 7 ... 10, элемент площадиdF = |
= |
|
h |
где с — толщина профиля по перпендикуляру к его средней линии, |
и выражение для р0 можно заменить приближенной зависимостью |
|
|
(7.29) |
Первый |
класс стержней включает |
в себя лопатки, имеющие j302 < 0,1 и |
7 2 < 0 ,1 . Стержни этого класса находятся в рамках теории КиргхофаКлебша, в которых компоненты деформации рассчитываются по зависи мостям
: |
ЕЕ |
(7.30) |
|
|
|
Му |
(7.31) |
— |
к |
|
E J £ |
|
_ |
Мп . |
(7.32) |
|
EJn |
|
|
Му |
|
|
ъ . |
(7.33) |
|
G Т |
|
|
где € - |
относительная продольная деформация; |
Xrj ~ кривизны, полу |
чаемые |
в результате деформации лопатки под |
воздействием моментов |
М £, М п ; в —относительный угол закрутки при воздействии крутящего мо мента М$.
Для стержней второго класса у2 < 0,1; |302 > 0,1. В лопатках такого рода расчет растяжения и изгиба производится в рамках уравнений 7.30 ...
7.33, а расчет кручения следует вести с некоторыми уточнениями.
Стержни третьего класса имеют j302 > 0,1 И7 2 > 0,1; такие значения па раметров не характерны для турбинных лопаток, поэтому особенности рас чета, свойственные этим стержням, здесь не приводятся.
Для определения напряженного состояния лопатки по зависимостям 7.30 ... 7.33 воспользуемся уравнениями закона упругости
гр = £ е; |
(7.34) |
rt |
(7.35) |
ап ;
г = GOс.
Преобразуя выражения 7.34 ... 7.37, получим
|
pi |
|
ар = |
т |
; |
|
Mbit |
а « |
J |
’ |
II |
|
»AW |
|
|
II |
|
|
(7.36)
(7.37),
(7.38)
(7.39)
(7.40)
(7.41)
Здесь о^ —напряжения, возникающие при совместном действии изгибаю щих моментов от газового потока и инерционных усилий относительно оси наименьшей жесткости; оп —напряжения изгиба относительно оси наиболь шей жесткости; г —напряжения кручения.
|
t |
, называются мо- |
Величины, определяемые отношениями —— и |
|
v |
£ |
ментами сопротивления изгибу |
и Wv относительно осей наименьшей и |
наибольшей жесткости соответственно.
Крутящий момент М$ для лопатки, не имеющей элементов, которые
стесняли бы разворот ее сечений (например, бандажной полки) |
|
dip |
М-' |
Му |
„ |
п |
|
Щ = — — ( ° p J V + |
— |
j v ч - — 1 J P 0 |
- р л |
J Juydz . |
(7.42) |
dz
/( f - v ' K d F
F |
r |
—полярною севые моменты инерции; |
= J { ? + n 2) n d F |
|
F |
|
|
J им — (-/m ax — </min) |
sin2<£ |
— центробежный момент инерции; z - |
— “— |
координата сечения, отсчитываемая в радиальном направлении от нижнего сечения лопатки.
Первый член выражения (7.42), стоящий в круглых скобках, представ
ляет собой ту часть крутящего момента в закрученном стержне, которая об разуется в результате действия растягивающих напряжений, второй и тре тий характеризуют вклад изгиба в кручение, что является результатом из-
.гибно-крутильной связанности деформаций, характерной для закрученных
h
стержней, рсо2 J JU\d z —крутящий момент, возникающий от центробежно-
z |
|
го момента инерции сечения. В небандажированных лопатках |
имеет не |
большую величину, поэтому, как правило, напряжения кручения в них можно не рассчитывать. Если лопатка снабжена бандажными элементами, создающими дополнительное нагружение, следует определять с учетом вклада этих элементов; так, в случае, когда лопатки снабжены бандажны ми полками, их влияние на величину М особенно значительно, поскольку центробежная сила собственно полки может достигать 20 % от центробеж ной силы пера, что создает существенное дополнительное нагружение, осо бенно верхних поперечных сечений, имеющих небольшие толщины.
Расчет геометрических характеристик поперечных сечений лопатки ведется по формулам сопротивления материалов и теории закрученных стержней с заменой интегрирования суммированием.
На рис. 7.4 представлено поперечное сечение лопатки с первоначально выбранными осями х, у. Начало этих осей следует выбирать максимально приближенно к предполагаемому центру тяжести сечения, чтобы избежать при дальнейших вычислениях малых разностей больших величин. Для повы шения точности вычислений ось х следует располагать параллельно хорде
Рис. 7.4. К определению геометрических характеристик лопаток: |
|
|
hI - высота участка разбиения; </>0 - |
угол между первоначальной осью х |
и осью и\ |
Rл . &в ~ радиусы выходной и входной кромок; ст - максимальная толщина профи |
ля; I - |
хорда профиля; ст |
и /вн - |
то же для внутренней полости; |
л |
& |
УВВ - |
вн |
л |
координаты центров |
окружностей, которыми описаны выходная и входная |
кромки; и0, v0, ис, \с - координаты первоначально выбранного центра тяжести М0 и расчетного М,
профиля /, поскольку, как показывает опыт, непараллельность оси наи меньшей жесткости и хорды в редких случаях может достигать 6 ... 7°, а обычно находится в пределах 0 ... 4°.
Таким образом, первоначальные оси х , у располагаются максимально приближенными к определяемым в дальнейшем главным центральным осям £, т/.
Количество линий разбиения выбирается так, чтобы для профиля с хор дой около 3 см число их было 35 ... 40 при масштабе вычерченного профиля М 10 :1; это обеспечивает достаточную точность вычислений. Для других величин хорды и масштаба число участков разбиения следует менять в при мерной пропорции по / и М. Естественно, на участках входной и выходной кромок должен быть меньший шаг ai9 чем на срединном участке профиля. Площадь вычисляется по формуле
|
h |
(7.43) |
F |
= 2 a f t i . |
В |
дальнейшем, поскольку во |
всех случаях суммирование ведется |
от 1 до и, пределы суммирования опускаются. Статические моменты отно сительно осей х , у
Sx = ’L a ^ y f , Sy = 'Laihix i |
(7.44) |
а координаты центра тяжести
Наиболее удобен графо-аналитический метод расчета геометрических характеристик, поскольку он очень прост для программирования. Анали тически определяются координаты пересечения прямых разбиения с линия ми профиля, между точками пересечения профиль интерполируется прямой линией, определяется центр тяжести участка efdh и дальнейший расчет ведется по общему алгоритму. Осевые моменты и центробежный момент инерции относительно х , у :
