Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

13.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Подставим (VI.5) и (VI.6) в (VI.3) и приведем подобные члены:

У= (&0+ 4" ^и) *1+ (^0+ ^2+ Ь22) Х2+ Фо+		+ &зз) хз +
4“ (^12 — ^11 — ^2 2 ) Х1Х2 4" (^13 — ^11 — ^33) 13 4~ (^28		^22 ^Зз) Х2Х3 •	(VI • 7)
Обозначим
Pi = b0-\- Ь( Ч- Ьц%	= bu Ьц — bjj.		(V I.8)

Тогда получим приведенный полином второй степени от трех перемен ных:

У= Pixi + Рг*2 4 " Рзхз + Piaxixa 4“ Р и * Л + Раз^^з •

(VI .9)

Таким образом, число коэффициентов уменьшилось с 10 до 6. При веденный полином второй степени от q переменных

J = 2	M i +	2	м л	( v i . ю)
1< i< q		\< i< i< 4

содержит q+ Q “ Q+1 коэффициентов. Приведенный полином непол ного третьего порядка для трехкомпонентной смеси

у =	P i* i 4 “ Раа 4 " Рзз 4 " P ia ^ i^ a 4" P i3 * i* 3 4 ” Р аз^а^з 4" Pi23x i x ax 3 »							(VI -1 1 )
для ^-компонентной смеси
9 = 2		P‘X i +		^	h i * l * j +	2	VilkXi X}*k-	(VI. 12)
	\< i< q		\< i< J < q			\< i< j< k < q
Приведенный полином третьего порядка для							трехкомпонентной смеси
У = P i* i 4" Ра^а 4 " Р зз 4“ P iax i x 2 4 - Pi3x i 3						4 “ Разх ах з 4- 7 ia x i x a (x i — *а) 4 “
	4 - T i3 x i x 3 ( * i —			х з) 4 - Т аз^а^з (* а — * з)			4- P i23x i* a x 3 .	(V I - 13)
для ^-компонентной
У =	2	^ iXi +		РU *ixJ +		^	lijX iX j (xi — x j) 4-
	l< i< < 7		1<i< i< q		!< i< i< q
			+	2	^4h*iXfiCh-			(VI. 14)
				1<</<<$

Приведенный	полином четвертого порядка для трехкомдонентной смеси
У —P i* i 4*	Раа 4 " Рэз Ч" P ia * i* a 4 " P i3x i* 3 4 “ Р а з* а * з 4* 7 i a * i x a ( x i — *а) 4 "

4 - T i3 x i x 3 ( * i — * з) 4 - 7азах з (а — * з) 4 * ^ ia x i x a ( * i — * а)а 4 “ & i3i3 ( * i —	* з )2 4 “
4 - ^азхахз (а — з)1 4“ Ригз? a34 " Piaa3xi2хз 4" Pi233xixa^»	(VI.15)

для ^-компонентной

у = 2		P\|jt<+	2	^i]xixj + 2		vjxtxj	(х‘~ xj)+
)<i<q			l < K j < q		\ < i< j < q
+	^	bUXiX>		— Xri*+	2	$iUh*]x)Xh +
\< i< i< q					K l< l< k < q
+		2	VUJhXtx'Xh +		^	kihhXiXjX^ +
	1< *< У < Л «7				\< K j< k < q
		+		2	hikiXiXjXkXi.		(VI. 16)
			1< i< i< k < l< q

Нелинейная часть этих полиномов называется синергизмом, если она вызывает увеличение отклика по сравнению с откликом, предсказывае мым линейной частью уравнения, а антагонизмом—при уменьшении отклика. Наприер, В,-, в полиноме второго порядка называют квадра тичным коэффициентом бинарного синергизма компонентов Уиj. В поли номе третьего порядка синергизм трехкомпонентной смеси равен

1РУ1*У +	W i X } ( Xi — Xj)] + [ $ i k X i X h +	7 l* * i* !l ( x t —	х Л) ] +
+	1fokXjXh + y hXjXk (Xj — xk)] +	$UhXiXjXh,	(VI. 17)

где в квадратных скобках —бинарные синергизмы в тройной системе; В,» —кубический коэффициент тройного синергизма компонентов /, j, к Возможно другое преобразование исходного полинома степени п от q переменных. Его можно свести к так называемому однородному поли

ному степени л, умножая члены степени 5<w на ( 1 х (Г '= 1 . Приведем полином (VI.3) к однородному:

У= * 0 (*i +		* 2 +	з)2 + i*i (хх+ х2+ х9) + Ъ2х2 (хх + х2 + х3) +
+ 33 (*1 +	*2 +	з) + 1 2 1 2 +		1313 + 2323 + 1 1 1 + 2 2 2	+	333 =
== (2*о +	* i “Ь *2 +		* ia ) 12 +	(2о 4 ~ i 4“ з 4 " ia ) * 1 * з 4“ (2^о 4" *2 4 "
4-*з4-		2 з) 2 з 4~ (о 4-i 4-ц) ?4- (04- * 2 4-*2 2 ) $ +
Обозначим в (VI. 18)			4- (04- 3 4- зз) з•			(VI .18)

	Р/у =		2б0 4- i 4- у 4- iy» ${i = о4- *i 4- Ьц,
Получим однородный полином
у =			+ р« * * + * * + р;2		.	<vi. т

Число неизвестных коэффициентов в (VI. 19) то же, что и в (VI.9). Приведенные полиномы получили более широкое применение и в дальнейшем будем использовать только их. Таким образом, минимальное

272

число экспериментальных точек для определения коэффициентов поли нома степени п от q переменных составляет СДЛ_, (табл. 74).

Т а б л и ц а 74. Число опытов для полиномов разных степенен

Число		Степень полинома			Число		Степень полинома
компо-					компо-
нентов	2	3 (неполная)	3	4	нентов	2	3 (неполная)	3	4
	2	3 (неполная)	3	4		2	3 (неполная)	3	4
3	6	7	10	15	6	21	41	56	126
4	10	14	20	35	8	36	92	120	330
5	15	25	35	70	10	55	175	220	715

2. Симплекс-решетчатые планы Шеффе. В настоящее время наиболь шее применение получили симплекс-решетчатые планы, предложенные Шеффе. Эти планы обеспечивают равномерный разброс эксперименталь ных точек по (q - 1)-мерному симплексу. Экспериментальные точки представляют {q, п) -решетку на симплексе, где q—число компонентов смеси; п~степень полинома. Симплекс-решетчатые планы являются насыщенными планами. По каждому компоненту имеется (п + 1) одина ково расположенных уровней х, e 0, 1 /л, 2 / я, ..., 1 и берутся все воз можные комбинации с такими значениями концентраций компонентов. Так, например, для квадратичной решетки {q, 2}, обеспечивающей при ближение поверхности отклика полиномами второй степени (п в 2), должны быть использованы следующие уровни каждого из факторов:

О, 1/2	и 1, для кубической (л —3)—0, 1/3, 2/3	и 1 и т.д. Некоторые
{3, л}-решетки представлены на рис. 61, а {4,		л}—на рис.	62. Эти
планы	частично композиционные. Неполную	кубическую	решетку

{3,3*}, например, можно получить из {3,2}, добавив только одну точку в центре симплекса, решетку {3, 4}—добавлением точек к решетке {3,2}.

Записав координаты точек симплексной решетки, получим матрицу планирования. Построим матрицы планирования для решеток {3, 2}, {3,3} и {3,4}.

Индексы у свойства смеси указывют на относительное содержание каждого компонента в смеси. Например, смесь 1 (табл. 75)

		Т а б л и ц а	75.	Матрица планирования для {3, 2}-решетки
N	Х \	Х 7	хз	■^экс	N	JCt	Х 2	хз	•Уэкс
1	1	0	0	У у	4	1/2	1/2	0	У)2
2	0	1	0	У2	5	1/2	0	1/2	ДМ3
3	0	0	1	Уз	6	0	1/2	1/2	У23

состоит только из компонента хи свойство этой смеси обозначается смесь 4 состоит из Угх, и свойство обозначается у,2.

Матрица планирования для симплексной решетки {3, 3} приведена

втабл. 76.

Втабл. 77 приведена матрица планирования для построения поли нома четвертой степени в трехкомпонентной системе.

Рис. 61. {3, лЬрешетки для полиномов:

а -в т о р о г о порядка; б - неполного третьего порядка; в -т р е т ь е г о	порядка- г-ч ет в ер т о г о
порядка	’

Рис. 62. {4, лЬрешетки для полиномов;

а — второго порядка;

б - неполного третьего порядка; в - третьего порядка; г — четвертого порядка

VO го rs

Т а б л и ц а	76. Симплекс-решетчатый	план третьего порядка
___	Ддя трехкомпонентной	смеси

Х\	Х2	ха	У	N	X)	Х2	Д5
Х\	Х2
1	О	О	у\	6	0	2/3	1/3
О	1	0	У2	7	0	1/3	2/3
о	о	1	Уз	8	2/3	о	1/3
2/3	1/3	О	> 112	9	1/3	о	2/3
1/3	2/3	О		10	1/3	о	2/3
		О	> 122	10	1/3	1/3	1/3
	Т а б л и ц а	77.	Матриц» планирования для			(3, 4Ьрешетаи
					■--	V3>» чгрсшетки
Х\|	ха	ХЭ	У	N	Х\|	ха	Хз
			У	N	Х\|

1	0	0	>i	9	3/4	0
0	0	0	>i	9	3/4		1/4
0	1	0	> 2	10	1/4		1/4
0	0	1	уз	10	1/4	0	3/4
0	0	1	уз	11	0	0	3/4
1/2	1/2	0		11	0	3/4	1/4
1/2	0	0	>12	12	0	1/4	3/4
1/2	0	1/2	> 13	13	1/2	1/4	3/4
0	1/2	1/2	>23	14	1/4	1/4	1/4
3/4	1/4	0	>1112	15	1/4	1/2	1/4
1/4	3/4	0	>1112	15	1/4	1/4	1/2
1/4	3/4	0	>1222		1/4	1/4	1/2

>223

>гзз

> п з

>133

>123

>1113

>1333

>2223

>2333

>1123

>1223

>1233

Коэффициенты приведенных полиномов получают, используя свой ство насыщенности плана. Для получения коэффициентов полинома

0 = P i* i 4 “ Ра*а + Р з*з + P ia * i* a 4 " P is * i* 3 + Р а з* а * з

будем последовательно подставлять в уравнение координаты всех шести точек матрицы планирования (табл. 75). Тогда при подстановке координат первой точки (xt —1, х2-ш0, х3“ 0) получим

0 i = P i .

(VI.2 0 )

Соответственно

Ра = 0а	И	Рз = 03 .		(VI .21)
При подстановке в уравнение	координат		четвертой точки	получим
0 i a = P i V a +	Pa	V . + P ia	l U -	(VI.22)
Но так как P, = yh T O
0ia — 0i V a 4“ 0a V a 4“ Pia			V 4»	(VI. 23)
отсюда
Pia = 40ia — 2y1— 2y2 •				(VI.24)
Соответственно
Pis = 40i3— 2yx— 2y3,		рад = 4уад — 2y%— 2y8.		(VI .25)

Три точки, определяющие коэффициент BlV, лежат на одном ребре. Коэффициенты приведенного полинома второго порядка для ^-компо нентной смеси

У— 2	^iXiJr	2
\< i< q		1 < i < j< q
определяются аналогично:
P* = 0i>	Pu = 40u — 2уг — 2yj.		(VI. 26)

При последовательной подстановке в полином третьего порядка для трехкомпонентной смеси

0 = Pi*i 4- Ра*а4Рз*з + Pia*i*a + Рi3*i*3 + Раз*а*з + 7ia*i*a (*i — *а) 4“

4- 7i3i3 (i - з) 4- Тазаз (2— з) 4" Pia3ia*3
координат точек матрицы планирования (см. табл. 76) имеем:
Pi = 0i. Ра = 0а. Рз = 0з*	(VI.27)
0иа = 01 2/з 4- 0а Чз 4“ Pia а/о 4- 7ia а/а7»	(VI .28)
012а = 01 Чз + 0а а/з 4- Pia a/e - 7ia Ч2?•	(VI.29)

Просуммировав уравнения (VI.28) и (VI.29), получим

Pia = в/4 (0па 4- 0iaa —0 1 — 0а) •

(VI.30)

Вычитая из (VI.28) уравнение (VI.29), получим 712:

7ia = 9/4 (30iia — Зу12а — 0i 4“ 0а)«

(VI .31)

275

Подставляя приведенный полином координаты точек 6 и 7, получим:

РзЗ — 9/4 (*/223 + #233 — #2 —	# з) »
	(VI. 32)
723 — 9U (3#223 — % 233 — # 2 + Уз)•
И аналогично после подстановки координат точек 5 и 9
Pis —V4(#113 + #133— #1 — Уз) »
T is = 9/ 4 ( 3 # ц з — 3у13з — # i +	(VI. 33)
	Уз).
Подставляя координаты последней точки	с учетомч соотношений
(VI.27) — (VI.33), получим
#123 = #1 г/з "Ь #2 Vs 4“ #3 2/3 ~1“ 1/4 (#112 4“ #122— #1 #2) +

+ V4(#118+ #133— #1 — #з) + V4 (#223 + #233 — #2— #3) + V27Pi23» P123= 27у12з — 27/4 (#112 + #122 + #113 + #133 + #223 + #23з) +

			+ 9/ 2		(#1 + #2+ Уз)'			(VI. 34)
Коэффициенты		полинома		третьего порядка			для	(/-компонентной
смеси
у = 2	M i+		^		?и'*+	2	7н1И1 — /) +
K t « ?			l < i < / « 7			\ < i< ] < q
			+	^	Pw*lJ*k>
			\ < i < ] < q
					?« = #«.			(VI. 35)
			Pi./ = 9/4 (#Ш + #Ш — #i — #i) *					(VI >36)
		7a = 9/4 (3yiij — tyljj — #i +#y)»						(VI .37)
Ptf* =	2	7	— 27/4 (i/ia + #Ш +			yah + yihh +		yjjk +
			+ УМ) + 9/2 (yi+yj + Ук)'					(VI.38)

Аналогично выводятся соотношения для определения коэффициен тов любого приведенного полинома при любом числе компонентов. Так, для полинома неполного третьего порядка для трехкомпонентной смеси имеем:

У= P l* l + ?2*2 +		Рз3 + P l2 l* 2 +		P l3 * l* 3 + ?2323 + P l2 3 * l* 2 * 3 »
		Pi = # i И т. д ,					(VI.39)
		Р12 = 4у12 — 2уг— 2у2 и т. д . ,					(VI .40)
Р123= 27(/12з — 12 (у12+ Ухз				У23 ) + 3(ух+ у2+ #з)*			(VI .41)
Для ^-компонентной смеси
У=	\ <2« q	+l < i < / « 7	'tUxW +		1 < i < j < k < q	h}hi}Xk>
		2			2

Pl = W.

(VI.42)

	Pu =	— 2c/i — 2^,	(VI.43)
$ i j h — Я У И к	12 ( У Н +	4 l h + y j h ) 4 ~ 3 (jfi + y j + У к ) •	(VI.44)

Полином четвертого порядка для трехкомпонентной смеси:

У= Pii + f2 * 2		+	Рз*з +		Piai 2 + Pi3i3 +				р232з + 1 i2 ia (i— а) +
4" 1 l3 * l* 3		(*1 —		* з) 4 " 123* 23 (2 —			* з) +		1212 (1 — 2) +
	4 " 1818 (1 — 3)2 4 ” 23* 23 ( а — 3)2 4 “ P ll23 l* 2*3 4 “
				4- ?1223123 4" ?123312з.						(VI.45)
						P i = Ух и	Т.	д .		(VI.46)
					Pia = 4^ia — 2£/х — 2уа,					(VI.47)
		112 =		8/ з	(—	01 4 “ 2\|Ь И 2		201222 4“ 0 г ) »
		113 =		8/ з	(—	0 1 4" 2 у т з	—	2«/138з + У з ),		( V I . 48)
		123 =		8/ з	(—	02 4" 2у 2223 —		2уаЗЗЗ 4“0 з ) »
	*12 =		8/з (—		0 1 4" 40 I I I 2 — Зу12 +				40 1222 — 0 а )»	(V I . 49)
	*13 =		8/з	(— 0 i 4“ 4 у ш з — 6у13 +					4у1333 — Уз),	( V I .50)
	*23 =		8/з (— 02 4 “ 402223 — 6у23 +						4у2333 — у3) ,	(VI .51)
P ll23 =	32 (3у 1123 — У1223 — 0123з) 4 - 8/з (ЗУ1 — Уа — Уз) — 13 (yi2 4 “ 013)
	— 1в/з (Зуш24“ 5ушз — Зу1222 — Зу1339 — 02223 — 0гззз)*									(VI.52)
Pl223 = 32 (3У1229 — 01123 — 0123з) 4~ ®/3 (ЗУа — 01 —Уз) — 13(у12 4" Ухз) —
	— 1в/з (5yi222 4 ” 5у2223 — Зу1112 — Зу2зз3 — У т з — 0 1зэз) •									( V I • 53)
Pl233 =	32 (Зу12зз — Упгз — 0122з) 4 “ 8/з (®Уз — 01 — У2) — 13 (у13 +									У23) —
	— 1в/з (301333 4 “ 502зз з — Зу1113 — 3у 2223 — У ш а — У1222) •									(V I . 54)

Для g-компонентной смеси

У=	2	Pi*i +	2	h ixM + 2		1UXW (*t — xj) +
	\< i< g		1< i < j < q		1< i < K q
+	2	^ijxixJ (xi		xj)2 “h	2	hm x\Jk +
	\< i< j< q				\< l< i< k < q
+		У	^Whxlx x k +		У	fo]hhxix}xl +
	\ < i < j < k < q				\ < i c f < k < q
		+	У	h m xixJxhxf			(VI.55)
			\ < i < j < k < l < q
				Pi =	У1.		(VI. 56)
			?U = 4yy — 2yt — 2yj,				(VI. 57)
		ТУ = */s (— </i + 2уnu — ZyiW +				У}) •	(VI. 58)
							277

Viijh =	32 (3yujk — y Wh — y iJhk) + 8/3 (6yt — yj — Ун) — 16 (ytj + yih) —
	— ie/ 3 (5yaij + 5yuik — 3yijjj — 3y ikkh — yjjjh — yjkhh) .				(VI. 60)
hjjh =	32 (3уШк — yiiJk — yiJhh) + 8/3 (6y j — yi — уh) — 16 yjj + //^fc) —
	— 1в/з (5*/ш ; + fyjjjh — 3 \|/ш ; — Зг/yftftft — yaik — 1/ifcfcft).				(VI .61)
Pijfth =	32 (3(/^ftft — y u jk — yijjh) + 8/g (6yh — «/г — yj) — 16 (yih +				yjh) —
	— le/ 3 (byihkk + fyjhkk — Synth — Syjjjk — ytiij — yijjj) »				(VI .62)
PiA/ = 256ytjui — 32 (yajk + уiiji +			yuui +	yijjh + ytjji + yjjhi +
+ ytjhh + ythhl + yjhhl + УШ1 +		УM l +	Vihll) +	32/з (У1Ш + УШЬ +	УШ1 +
+ 4iW +	УШк + yjjjl + ythhk +	yjhkk +	yhhhl + УШ1 + УНН + Уми) •		(VI.63)

После определения коэффициентов уравнения регрессии необходимо провести статистический анализ полученных результатов: проверить адекватность уравнения и построить доверительные интервалы значе ний отклика, предсказываемые по уравнению регрессии. При постанов ке эксперимента по симплекс-решетчатым планам нет степеней свобо ды для проверки адекватности уравнения, так как эти планы насыщен ные. Для проверки адекватности ставят опыты в дополнительных, так называемых контрольных точках. Число контрольных точек и их координаты связаны с постановкой задачи и особенностями экспери мента. При этом стараются предусмотреть возможность использования контрольных точек для улучшения модели при неадекватности.

Точность предсказания отклика неодинакова в различных точках симплекса. Дисперсию предсказанного значения отклика ^ можно определить по закону накопления ошибок. Покажем это на примере полинома второго порядка для трехкомпонентной смеси. При этом предположим, что х,- определяются без ошибок, дисперсия воспроиз водимости Sy во всех точках плана одинакова и значения откликов являются результатом усреднения л, и пи параллельных опытов в соответствующих точках симплекса. Тогда дисперсии у{ и уи равны:

(VI. 64)

(VI. 65)

Заменим в приведенном полиноме

У= P l* l + р2*2 + р8*3 + P l2 * l* 2 + P l3* l *3 + р23* 2*3

коэффициенты их выражениями через отклики:

Pi = 7 i »

P i; = 4V i j — 2\y i — 2 J } .

Тогда получим

У = Fixi + Уг *2 + 1/з*з + ( 4^12 — 2^1 — 2гГа) * 1* 2 + ( 4у13 — Туг — 2^) Х & +

+ (4^з — 2j7a — 2Уа) ЧЧ = Vi (*i — ^ЧЧ — 2*1*3) + Ft(xa — 2*3*3 — 2x2x9) +

+ Уз ( 4 — 2 4 x3 — 2 * 3* 3) + 4y ia * i*2 +	4j718* 13 + 4^33 3*3 .	(VI . 6 6 )
Используя условие лп + x?+лз = 1,	преобразуем коэффициенты
при
х1 — 2х1хл— 2хгх3 = х1 — 2х1(х2+ д%) = х1 — 2х1(\ — хх) =
= ^ (2 ^ -1 ) и т. д.		(VI.67)

Получим

Л-

У=Х1 (2*! — 1) */! + х2 (2X2— О У2 + *3 (2*3 — 1)Уз +

+ 4х2у12 + 4х1*3у13 + 4х2х3уъз.	(VI.68)
Введя обозначение
at = Xi(2xt — \)t aij = 4xiXjt	(VI.69)

с учетом соотношений (VI.64) и (VI.65) получим выражение для дисперсии

8А =

Аналогично получены выражения для третьего, третьего и четвертого порядков. порядка

где

(VI. 70)

полиномов неполного Для неполного гретьего

(VI.71)

(б**-2*,+ 1 ) - 3 ^ ] * » ,

(VI. 72)

/=1

Ьц = 4xtXj (3х%+ 3Xj — 2),

bijh = 27xixjxk.

Для полинома третьего порядка

	2
\ < K j < q	1<к j<4 пШ

где

Ci = V* *i (3*, — 1) (3*1— 2),

сш = */a *|*ДЗ*г — О. cuj — */2XiX](Zxj — 1),

Cijh = 27xixjxh.

(VI.73)

(VI.74)

cUh 1

l<t<j<k<q n‘Jh J

(VI. 76)

(VI. 77)

(VI.78)

(VI.79)

279

Для	полинома четвертого порядка
5Л =		[SI	+	2 ^	2	2	2	du u +
5Л =	2		+	2 ^	а+ ,	2	2	du u +
2	2					d UCI
У				1<,/</<?СЯ		1<*/</<? ппи	\ < i < j < q	nWJ

Auk

dh k

Hkk

!«</<*<?

пШк

1 < i < j < k < q

nijhk

\ < i < j < j k < q

iiM

(VI. 80)

где

\<l<!<k<l<q

di =

V* xt (4xt -

1) (4x, -

2) (4xj -

3),

(VI.81)

dij = 4JCI^ (4JC — 1) (4xj — 1),

(VI. 82)

dijjj = в/я xtxj (4xj — 1) (4xj — 2),

(VI.83)

diuj = 4»xixj(4xl - l) ( 4 x l - 2 ) ,

(VI.84)

dtijh = 32xtxjxh (4xi — 1),

(VI.85)

dim = 32xtxjxh (4xj — 1),

(VI. 86)

dijkk = 32xixjxh (4xk — 1).

(VI.87)

Если число параллельных опытов во всех точках плана одинаково,

т. е. п, = л/, = л, все формулы для 5$ примут вид

(VI.88)

— ^

где для полинома второго порядка

s -

ЛЧ'

(VI.89)

1</<q

i < i < f < q

для полинома неполного третьего порядка

* - 2

ь \ +

А г

'ijh

(VI.90)

\ < l < q

K f < / « 7

1 < i < j < k < q

для полинома третьего порядка

s - 2

£? +

с ' з} +

\ < i < q

\ < i C f < q

\ < i < ! < q

a2Ik +,

(VI.91)

1<Ki<k<q

K i < j < q

для полинома четвертого порядка

« = 2

а* +

t > +

С +

d w t +

\ < i < q

\ < i < J < q

l <

f <

/ « 7

\<i<.I<q

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202314.42 Mб7Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики..pdf
#
12.11.20232.07 Mб4Методы нанесения покрытий..pdf
#
12.11.20235.52 Mб0Методы научных исследований..pdf
#
12.11.202310.92 Mб2Методы обеспечения надежности изделий машиностроения..pdf
#
12.11.20239.17 Mб7Методы оптимального проектирования..pdf
#
12.11.202313.27 Mб2Методы оптимизации эксперимента в химической технологии..pdf
#
19.11.202333.68 Mб8Методы оптимизации..pdf
#
12.11.202312.05 Mб14Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов..pdf
#
12.11.202312.4 Mб5Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов..pdf
#
12.11.20236.92 Mб1Методы повышения параметров БИС..pdf
#
12.11.202313.73 Mб16Методы помехоустойчивого приема ЧМ и ФМ сигналов..pdf