книги / Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

служит оценкой квадратичной ошибки в определении эффектов главных факторов, а

считать, что эффекты взаимодействия отсутствуют.

Планы Плакетта —Бермана являются в ряде случаев более эконом­ ными планами по сравнению с дробными репликами для данной раз­ мерности факторного пространства.

13. Отсеивающие эксперименты. Метод случайного баланса. Для умень­ шения числа опытов часто без достаточных оснований стабилизируют значения некоторых факторов в процессе исследования. При решении задачи оптимизации это приводит к определению только локальных экстремумов процесса. Для многофакторных задач на первой стадии исследования проводят отсеивающие эксперименты. Поскольку интенсив­ ность влияния фактора связана с диапазоном его изменения, многие факторы, подозреваемые как существенные на основании априорной информации, могут оказаться незначимыми. Поэтому отсеивающие эксперименты эффективны не только при исследовании новых процессов, но и как первая стадия изучения многофакторных процессов с доста­ точной априорной информацией, если число факторов слишком велико, чтобы сразу планировать эксперимент, направленный на поиск опти­ мальных условий процесса. Для отсеивания количественных и качествен­ ных факторов при числе уровней, равном двум, можно использовать дробные реплики от факторного эксперимента достаточно высокой сте­ пени дробности, а также насыщенные ортогональные планы Плакетта — Бермана. Эти планы позволяют получать раздельные оценки линейных эффектов всех факторов с максимально возможной при данном числе опытов точностью, одинаковой для всех эффектов. Последнее особенно ценно на этапе отсеивания, так как неизвестно, какие эффекты окажутся значимыми. К недостаткам указанных планов относится требование от­ сутствия значимых эффектов взаимодействия.

Для выделения существенных эффектов —линейных и парных взаимо­ действий—Саттерзвайтом предложен метод случайного баланса. В этом методе план эксперимента предлагается делать сверхнасыщенным —число

знаны незначимыми и отнесены к шумовому полю. Если распо­ ложить эффекты* в порядке убывания вносимого ими вклада в величины дисперсии выходного фактора, то получим диаграмму ранжирования (рис. 54). Эффекты, попавшие в правую часть диа­ граммы ранжирования, должны быть отнесены к шумовому полю. Отнесение части эффектов к шумовому полю позволяет расщепить исходную математическую модель:

где 5 Воспр“ ошибка опыта.

Считая, что некоторые xj обозначают парные взаимодействия, рас­ щепленную модель можно записать в линейном виде:

1—т т 1—т

где 1-т —число, значимых эффектов; т -число эффектов, отнесенных к шумовому полю;

т

Оценка значимых коэффициентов будет производиться с большой ошибкой шумового поля sa. В связи с этим метод случайного баланса обладает меньшей чувствительностью, чем ПФЭ или ДФЭ (под чувстви­ тельностью метода понимается способность выделять коэффициенты регрессии, значимо отличающиеся от нуля). Однако метод случайного баланса обладает большей разрешающей способностью: он позволяет выделить раздельно доминирующие эффекты среди очень большого числа эффектов.

Цель эксперимента методом случайного баланса состоит в том, чтобы распознать истинную диаграмму ранжирования и произвести расщепле­ ние модели. После этого план из сверхнасыщенного становится не­ насыщенным по отношению к значимым эффектам, поэтому их можно оценить количественно обычным путем. Если же число действительно значимых эффектов велико, то экономии опытов за счет сверхнасы­ щенности не происходит. С увеличением числа значимых эффектов (особенно эффектов взаимодействия) эффективность метода случайного баланса падает. Чем круче будет убывать ранжировочная кривая, тем эффективнее будет отсеивание.

Чтобы совместные оценки эффектов были смешаны случайным об­ разом, необходимо при построении матрицы планирования использовать какой-нибудь случайный механизм. Чаще всего факторы в методе слу­

чайного баланса варьируют на двух уровнях. Для построения матрицы планирования предлагается: 1) «чистый» случайный баланс, при котором выбор плана для каждого столбца не зависит от выбора для других столбцов; 2) случайное смешивание систематических дробных реплик факторного эксперимента. Чистый случайный баланс менее эффективен, его используют, если ближайшая степень двойки существенно увеличи­ вает число пытов. Прежде чем использовать полученную таким обра­ зом матрицу планирования, необходимо убедиться в ее пригодности. Матрицу нельзя использовать, если в ней имеются полностью закоррелированные столбцы. Чем больше корреляция между столбцами, тем больше опасность выделения так называемых «ложных» эффектов. За меру оптимальности матриц планирования принимают следующие по­ казатели: 1) число ортогональных столбцов; 2) минимум значения модуля коэффициента корреляции для всех возможных взаимодействий (линей-

По этим критериям на ЭВМ в результате случайного смешивания реплик 25_1, 26-1и случайного выбора столбцов были получены матрицы планирования, представленные в табл. 57 и в табл. 8, 9 приложения. Эти матрицы также можно использовать для меньшего числа факторов.

Рассмотрим в качестве примера задачу выделения значимых эффек­ тов среди 14 линейных и 91 эффекта взаимодействия (&=14). Матрица планирования и результаты эксперимента приведены в табл. 57. В матри­ це планирования коэффициент корреляции /* для столбцов 1-4 равен нулю, для столбцов 1—10 /*<0,517, для столбцов 1—14 /*<0,7.

Для визуального выделения значимых факторов по результатам эксперимента строят диаграмму рассеяния (рис. 55). На первом этапе обработки экспериментов диаграмму рассеяния строят только для ли­ нейных эффектов. Эффект признается значимым, если он имеет большое

Рис. 55. Диаграмма рассеяния результатов наблюдений по уровням факторов

различие между медианами А Me. Однако этот критерий недостаточен, поскольку он не является однозначным. Эффект признается значимым, если он также имеет большое число выделившихся точек, расположен­ ных выше (ниже) концов интервала изменения значений у для-другого уровня фактора. При оценке значимости факторов по числу выделив­ шихся точек можно использовать непараметрическую оценку вероят­ ности р того, что из I n ^ N точек в верхней и нижней части диаграммы рассеяния может выделиться случайно R точек:

Для упрощения расчетов в качестве критерия значимости факторов можно использовать произведение разности между медианами на число выделившихся точек g — \AMeR\. Использовав этот критерий, по диа­ грамме рассеяния (рис. 55) отобрали для количественной оценки факторы *9- Количественная оценка при ручной обработке результатов про­ водится при помощи таблиц с несколькими входами. Чем больше входов у таблицы, тем точнее оценивается эффект. Однако сверхнасы­ щенный план часто не дает возможности заполнить все клетки таблицы. Такая ситуация возникла при построении таблицы с тремя входами для

факторов х ь х6 и х д (табл. 58).

Поэтому пришлось ограничиться построением таблиц с двумя вхо­ дами (табл. 59).

По данным табл. 59 определим коэффициенты уравнения регрес­ сии Ь} и bQ\

Т а б л и ц а 58. Таблица с тремя входами для оценки линейных эффектов факторов х„

Хв ИХв

Для проверки значимости j -го эффекта используют критерий Стьюдента:

(V. 158)

где

(V.159)

П{—число наблюдений в /'-й клетке; si —остаточная дисперсия, вычислен­ ная на основании данных по рассеянию относительно средних арифме­ тических в каждой клетке.. Число степеней свободы /* = 1/7,-д, где а —число средних арифметических в таблице.

Для табл. 59 имеем

Табличное значение критерия Стьюдента г006(12) —2,18

Таким образом, оба коэффициента значимы.

Далее снимают эффекты значимых факторов для выявления более

слабых эффектов. Для этого вычитают значенм 2Ь.

у, для которых фактор х, находился на уровне +1. Так, при снятии эффекта фактора х, вычли значение 2 9,86 из у2, УА, У6, Ув> Ую> ”12’ У14’

с построения диаграммы рассеяния для откорректированных значении у. Критерием для окончания отсева служит дисперсионное отношение

F = 3со/ ®воспв ’

где S ? р —дисперсия результатов относительно среднего арифметического

этих результатов.

В рассматриваемом примере пришлось повторять весь цикл семь раз, выделенные эффекты и их оценки приведены в табл. 60.

Ручная обработка результатов в методе случайного баланса чрез­ вычайно трудоемка. Предложен алгоритм обработки результатов случай­ ного баланса на ЦВМ, так называемая «ветвящаяся стратегия». Разрабо­ тан алгоритм для выделения наибольших эффектов по диаграммам рассеяния. Этот этап не вносит ничего нового по сравнению с ручной обработкой. Для количественной оценки выделенных эффектов исполь­ зуют обычный регрессионный анализ. Можно одновременно оценивать до двадцати коэффициентов регрессии. На этом этапе вносится у»

С^ еСТВенНОе улучшениеЕсли оценивать вместо трех сразу двадцать эффектов, то остаточная дисперсия резко уменьшается и тем самым

увеличивается чувствительность метода. Выделение значимых эффектов роизводят в два этапа. Сначала отсеивают эффекты, отличающиеся нуля менее чем на 3s, в противном случае последующее отсеивание