книги / Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

— средний квадрат суммы результатов всех N=22k опытов.

Пример 7. Исследовался одностадийный процесс получения водорастворимых поли­ электролитов путем радикальной полимеризации винилпиридиновых солей без их про­ межуточного выделения. Процесс зависит от большого числа количественных и каче­ ственных факторов. Необходимо определить оптимальные условия процесса.

Р е ш е н и е . Для оптимизации процесса синтеза водорастворимых полиэлектролитов на основе 2-метил-5-винилпиридина (2,5 МВП) был использован сложный план —дробная реплика 2 6-2, совмещенная с двумя латинскими квадратами (табл. 51).

Рассматривалось влияние на выход полимера (у) восьми факторов, из которых два

уже в процессе реализации матрицы планирования определены условия (опыты 4 , 5 , 8 , 13), в которых выходы полимеров удовлетворяют технологическим требованиям.

Для определения интенсивности влияния различных параметров на выход полимера был проведен факторный и дисперсионный анализы полученных результатов. Ошибка вос­ производимости 5Воспр “ 1 ,9 4 , используемая в факторном анализе, определена из пред­ варительных опытов. Число степеней свободы/ ВОспр " 6 .

В табл. 52 приведены эффекты факторов, введенных в планирование на двух уровнях, полученные по формуле (V.133). Значимость этих эффектов проверялась по критерию Стьюдента. Табличное значение критерия Стьюдента г0,0б(6 ) —2,45. Эффект фактора * 2 (соотношение реагирующих компонентов) оказался незначимым. Таким об­ разом, избыток галоидного алкила не влияет на выход полимера. Незначимый эффект в табл. 52 заменен нулем. Значимость главных эффектов факторов, введенных в план как на двух, так и на четырех уровнях, проверялась при помощи многофакторного дисперсионного анализа. Для оценки значимости эффектов в дисперсионном анализе было использовано отношение средних квадратов, обусловленных действием соответ­ ствующих факторов, к среднему квадрату,' связанному с ошибкой опыта, имеющее рас­ пределение Фишера. При этом к сумме квадратов, связанной с ошибкой опыта, отне­ сена с соответствующим числом степеней свободы сумма квадратов, обусловленная

Дисперсия воспроизводимости, определенная по параллельным опытам, ^ оспр —19,637; /воспр * 16- Ошибка эффекта

Значимость эффектов факторов, введенных в план на двух уровнях, проверялась по критерию Стьюдента для уровня значимости д —0,05 и числа степеней свободы / —16;

/о,о5(16) —2,12.

Значение /-критерия для каждого фактора:

8,659

=7" Q= 7,815 > 2,12 — эффект значим 1»108

2 671

1,108 = 2,411 >2,12 — эффект значим

h 7,015

= 7 ™ тя= 6*331 > 2,12 — эффект значим

1 у I UO

Эффект фактора хз оказался незначим, таким образом, избыток растворителя не влияет на выход феллавина. Увеличение времени экстракций, увеличение количества экстоакций и повышение температуры, т.е. оставшиеся четыре фактора приводят к увеличению выхода феллавина.

Значимость различия между эффектами фактора хв, веденном в плане на четырех уровнях, проверялась с помощью множественного рангового критерия Дункана. В таб­ лице приведены значения среднего выхода для различных уровней фактора хв:

В и д р а с т в о р и т е л я У р о в н и ф а к т о р а С р е д н и й в ы х о д , %

Проранжируем средние значения выхода в порядке возрастания:

Наименьшие значимые ранги (НЗР), умноженные н& ошибку среднего sy, равны:

и 50%-ный этанол. Выбираем в качестве растворителя для процесса твердофазной экстракции 50%-ный этанол, который является наиболее эффективным, удешевляет процесс получения препарата и менее ядовит.

Таким образом, оптимальные условия процесса экстракции феллавина из листьев

11. Метод последовательного симплекс-планирования. В рассмотрен­ ных планах типа 2к и 2к~р экспериментальные точки располагались в вершинах многомерного куба. В качестве экспериментального плана можно также использовать регулярный симплекс. Симплексом в /r-мерном пространстве называют выпуклый многогранник, имеющий ровно к + 1 вершину, каждая из которых определяется пересечением к гиперплоскостей данного пространства. Примером симплекса в двумерном пространстве, т. е. на плоскости, служит треугольник. В трехмерном пространстве симплексом будет любая четырехгранная пирамида, имеющая четыре вершины, каждая из которых образована пересечением трех плоскостей —граней пирамиды.

Симплекс называется регулярным, если расстояния между всеми его вершинами равны. Так, регулярными симплексами являются правильный треугольник (двумерный симплекс), тетраэдр (трехмерный симплекс). При планировании экспериментов обычно используют регулярные симплексы. Однако регулярность симплекса, как и на­ правление градиента в методе крутого восхождения, и свойство

ротатабельности планов не будут инвариантными к масштабу коорди­ нат факторного пространства. При изменении масштаба регулярный симплекс может стать нерегулярным. С другой стороны, всегда мож­ но подобрать соответствующее преобразование системы координат, делающее нерегулярный симплекс регулярным.

В экспериментальной практике симплексные планы наиболее широко используются для решения задач оптимизации на стадии движения к почти стационарной области. При этом, чтобы сделать симплекс регулярным, используется линейное преобразование

где . z] - у'-я координата центра плана; Azj—интервал варьирования по у-му фактору.

Для оптимизации используется следующее важное свойство симплек­ са: против любой из его вершин Aj расположена только одна грань, на которой можно построить новый симплекс, отличающийся от прежнего расположением новой вершины Aj, тогда как остальные вершины обоих симплексов совпадают. Последовательным отбрасыва­ нием вершин осуществляется перемещение исходного симплекса в факторном пространстве.

Метод последовательного симплекс-планирования состоит в следую­ щем: планируют исходную серию опытов так, чтобы точки, соответ­ ствующие условиям проведения этих опытов, образовывали регуляр­ ный симплекс в факторном пространстве. После проведения опытов выявляется вершина, отвечающая условиям, при которых получаются наихудшие результаты. Далее строится новый симплекс, для чего наихудшая точка исходного симплекса заменяется новой, расположен­ ной симметрично относительно центра грани симплекса, находящейся против наихудшей точки. Новая точка вместе с оставшимися снова образует регулярный симплекс, центр тяжести которого смещен по сравнению с исходным в направлении: худшая точка —центр тяжести остальных точек. Это направление в общем случае не является наи­ более крутым, однако оно обращено в сторону повышения качества процесса.

После реализации опыта в дополнительной точке опять произво­ дится сопоставление результатов, снова выявляется наихудшая точка, которая также заменяется ее зеркальным отражением, и т. д. Шаговое восхождение с последовательным отбрасыванием наихудших точек повторяется до области, близкой к экстремуму.

На рис. 53 показаны схемы достижения экстремума одной и той же поверхности отклика методами крутого восхождения и симплекспланирования. Рассмотрим движение к экстремуму на примере зада­ чи отыскания наибольшего значения целевой функции двух факторов. Для достижения экстремума методом крутого восхождения (рис. 53, а) в окрестности точки М с известным значением целевой функции был поставлен полный факторный эксперимент 22 (точки 1—4), движение по градиенту осуществлялось в опытах 5—9 до тех пор, пока значение целевой функции не начало ухудшаться. С центром в лучшей точ-

Рис. 53. Симплексный метод и крутое восхождение по поверхности отклика

кё 7 пришлось вновь реализовать план 22 (точки 10—13). Новое движе­ ние по градиенту (точки 14, 15) приводит к экстремальному значению целевой функции. При использовании симплекс-планирования (рис. 53, б)

С1—центра грани 1—3. В новом симплексе 1, 3, 4 худшей оказалась точка 1. В результате применения симплексного метода достигли области оптимума (симплекс 9, 10, 11). Таким образом, оба метода потребовали примерно одинакового числа опытов. Из рис. 53 видно, что вблизи оптимума при применении симплексного метода может возникнуть зацикливание. Достигнув области оптимума, симплекс начинает враще­ ние вокруг вершины с максимальным значением отклика. Если симплекс располагается относительно поверхности отклика таким образом, что значение отклика в новой точке опять получается самым плохим, необходимо вернуться к предыдущему симплексу и попробовать следующее благоприятное направление. Наличие ошибок в определе­ нии отклика снижает скорость движения к экстремуму.

Исходный симплекс может быть по-разному ориентирован в фактор­ ном пространству Если центр симплекса совпадает с началом коорди­ нат, одна из вершин лежит на координатной оси, а остальные располага­ ются симметрично относительно координатных осей, плоскостей и гипер­

плоскостей (в многомерном случае), то координаты вершин симплекса задаются матрицей X: