книги / Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

При достаточно большом объеме выборки п выборочный коэффици­ ент корреляции г* приближенно равен генеральному коэффициенту г. Однако оценить возникающую при этом погрешность затруднительно. Для этого нужно знать распределение г* как случайной величины. Это распределение зависит от генерального коэффициента корреляции /*, который неизвестен. Для проверки гипотезы об отсутствии корреляции необходимо проверять, значимо ли отличается г* от нуля. Для проверки нулевой гипотезы № : г= 0 можно использовать нормальное распределе­ ние со стандартом:

V * ( l - г * 2)/У^~. (IV.2)

Если в качестве доверительной вероятности взять = 0,95, коэффи­ циент корреляции находится в следующих доверительных границах:

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что зависимость между слу­ чайными величинами существует, если 0 не содержится внутри довери­ тельного интервала, т. е. если

Vn

При малом числе экспериментов и сравнительно высокой корреляции распределение коэффициента корреляции существенно отличается от нормального (рис. 25, а). Для построения доверительного интервала можно воспользоваться преобразованием Фишера:

Распределение z является почти неизменным по форме при меняющихся г* и п и с возрастанием п быстро приближается к нормальному (рис. 25, б) со средним, равным

Рис. 25. Плотность распределения выборочного коэффициента корреляции

и со стандартом

(IV.8)

Vn — 3

Тогда с доверительной вероятностью fi значение неизвестного m, находится в пределах

можно найти доверительные границы для генерального коэффициента корреляции, подставляя zi и Z2 в формулу (IV.5).

2.Коэффициенты частной корреляции. При исследовании зависимости

величины у от двух факторов х\ и хг наличие корреляции между у и JC2и корреляции между х\ и хг будет влиять на корреляцию между у и х\. Для того чтобы устранить влияние хг, необходимо измерить корреляцию между у и XI, когда хг постоянно. Для этой цели в статистике при­ меняют частные коэффициенты корреляции:

ryxx ryx2 rxtxt

(IV. 12)

UXrXt

фактора XI нау при условии, что влияние хг нау исключено. В обозначении частного коэффициента корреляции этот исключенный фактор поставлен в индексе после точки. При изучении зависимости у от трех факторов XI, хг и хз частный коэффициент корреляции между у и xi при условии, что Х 2 и хз будут постоянными, можно вычислить по формуле

Коэффициент частной корреляции между х,- и у определится по

коэффициент частной корреляции rfy. 23 между х\ и у определится сле­ дующим образом:

При интерпретации результатов корреляционного анализа нужно иметь в виду, что коэффициент корреляции —чисто статистический показатель. Он не содержит предположения, что изучаемые величины находятся в причинно-следственной связи. Поэтому любая трактовка корреляционной зависимости должна основываться на информации физико-химического характера.

3. Приближенная регрессия. Метод наименьших квадратов. Для харак­ теристики формы связи при изучении корреляционной зависимости пользуются уравнением приближенной регрессии. Задача ставится таким образом: по данной выборке объема п найти уравнение приближенной регрессии и оценить допускаемую при этом ошибку. Эта задача решается методами регрессионного и корреляционного анализа. Уравнение прибли­ женной регрессии существенно зависит от выбираемого метода прибли­ жения. В качестве такого метода обычно выбирают метод наименьших квадратов. Пусть задан некоторый класс функций f(x), накладывающих

на выборку одинаковое число связей /. Число связей / равно числу неопределенных коэффициентов, входящих в аналитическое выражение этой функции. Чаще всего используют многочлены различной степени. Наилучшее уравнение приближенной регрессии дает та функция из рассматриваемого класса, для которой сумма квадратов имеет наимень­

1=1

ся в случае, когда стоящая в показателе степени экспоненты сумма минимальна, т. е.

п

2 (и — <р(*/)12 = m‘n-

1=1

По методу наименьших квадратов можно обрабатывать любые экспериментальные данные, однако оптимальность этой процедуры доказывается только для нормального распределения. При этом мож­ но говорить о достаточных статистиках, т. е. таких функциях от результатов наблюдений (оценках для параметров генеральной сово­ купности), при помощи которых извлекается вся информация об этих параметрах, содержащаяся в эксперименте.

Задача определения коэффициентов уравнения регрессии по методу наименьших квадратов сводится практически к определению миниму­ ма функции многих переменных. Если

Коэффициенты ft0 и bt легко найти при помощи определителей:

ЯЯ

Уравнение (ГУ.30) показывает, что между коэффициентами Ь0 и ЬА

существует корреляционная зависимость. Для оценки силы линейной свя­ зи (ГУ.26) вычисляется выборочный коэффициент корреляции г*:

я

2( * t - * ) ( y t - y )

_____________

(IV.31)

где sx, sy - выборочные среднеквадратичные отклонения.

S—529

Из уравнений (IV 29) и (IV 31) имеем

Пример 1. Требуется определить зависимость растворимости хлорида бария в воде О) в присутствии хлорида кальция (х) при 70°С. Объем выборки л —6. Эксперимен­ тальные данные приведены ниже:

Р е ш е н и е . Определим коэффициенты уравнения линейной регрессии вида

У = ь0+ ь1*.

Коэффициент Ь\ определим по формуле (IV.29), Ьо —по формуле (IV.30). Для этого экспериментальные данные и результаты расчета представим в виде таблицы.

Проверку вычислений можно провести по формуле

п п п п

По формуле (IV.32) определим выборочный коэффициент корреляции:

х и у является практически линейной в изученном диапазоне и имеет вид

Л

0 = 3 1 ,4 3 — 1,355 х.