книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

Взаимные корреляционные функции решений уравнения (2.113) имеют вид

Корреляционные и взаимно-корреляцйонные функции ком­ понент вектора стационарных решений зависят лишь от разности моментов времени (от т = t — t'), что выполняется для функции (2.114) при условии (2.108). При этом

Из соотношения (2.114) следует: чтобы решение было ста­ ционарным, т. е. каждая компонента вектора х (t) была стаци­ онарной случайной функцией, должно выполняться условие

Аналогично получаем выражения для взаимных спектральных плотностей решения

П П

71

и соотношения (2.117) и (2.118) принимают вид

д . , = 2- И

Изложенный метод определения спектральных плотностей компонент вектора решений позволяет определить их вероятно­ стные характеристики — корреляционные и взаимно-корреля­ ционные функции Kxkxp (т), которые необходимы при расчетах

на надежность.

В матричной форме записи имеем

оо

Если принять, что совместная плотность вероятности системы функций X) (t) в каждый момент времени при стационарных ко­ лебаниях подчиняется нормальному закону распределения, то параметры этого закона распределения (&Xj и гХ)Х]) при тХ} ~ О

есть элементы матрицы (2.119).

Для получения аналитических выражений решения уравнения (2.103) можно воспользоваться методом главных координат. По-

72

лагая (см. п. 9) х = uq± и bi} = 2пти (или Ьи = 'кСц), получаем для qj уравнения

При стационарных колебаниях ajv — постоянные числа. Вос­ пользовавшись преобразованием Лапласа, из уравнения (2.120)

получаем

П

где

п

w kw— 2 UbjO-iv !~1

Если заменить в (2.123) оператор р на tea, то получим выра­ жение

аналогичное выражению (2.111). Пусть матрица В, характе­ ризующая силы трения в уравнении (2.103) такова, что выпол­ няются условия (2.63), тогда выражения (2.111) и (2.121) совпа­ дают тождественно. Если же принятые условия (2.63) при решении с использованием метода главных координат являются прибли­ женными, т. е. элементы матрицы В, характеризующие истинные силы трения, не пропорциональны элементам матрицы жесткостей, то выражение (2.124) дает приближенное решение. Это решение тем точнее, чем меньше сила трения соответствующих упругих сил.

Подобного рода возмущения действуют, например, на авто­ мобиль (см. рис. 2.4), который движется по неровной дороге. Воз-

73

мущения, действующие на шасси, зависят от неровностей дороги, и если в момент времени t неровность находится под передними колесами, то в момент времени t + ty, где ty = l/v, она будет находиться под задними колесами. В этом случае случайные возмущения можно представить в виде

оо

0 0 0 . , .

Фу

Из соотношения (2.127) получаем

Хо = Wy (со) Ф {Wу(со) = 1- со2М + т В + С Ц'1 ВуИ или в скалярной форме

Хок (со) = 21 WlhjOj = ( 2 ^ * .) Фу =

Для /г-ой компоненты вектора х (?) получаем выражение

оо

(?) — | Шк((х>)Фуеш da.

—ОО

После преобразований, аналогичных преобразованиям при выводе уравнения (2.117), можно получить следующие выражения для спектральных плотностей SXk и взаимных спектральных

плотностей SXlX Я0

■sxk =wAwtsfl=:\wk\*sfy,

Пример I. Рассмотрим частный случай, когда система имеет две степени

свободы (рис. 2.17). Уравнения движения имеют вид

74

ложенным методом решения для общего случая системы с п степенями свободы

75

76

Г л а в а 3

Прикладные методы вероятностного расчета нелинейных систем

12.Введение

Внастоящее время в теории нелинейных механических систем центральное место занимают проблемы, связанные с анали­ зом и синтезом систем с учетом случайных процессов. Большое

практическое значение этих задач заключается в том, что реальная работа механических систем происходит в условиях воздействия случайных возмущений, которые могут оказывать отрицательное воздействие на работу системы. Возможные отрицательные эф­ фекты от воздействия случайных возмущений необходимо учиты­ вать при конструировании и выбирать такие параметры системы, при которых отрицательное влияние случайных возмущений на процесс было бы минимальным.

Широкий круг задач образуют динамические системы с конеч­ ным числом степеней свободы с нелинейными восстанавливающими и диссипативными силами при случайных внешних воздействиях. К ним, в частности, относятся системы виброзащиты и аморти­ зации с нелинейными характеристиками. В реальных условиях эксплуатации большинство таких систем испытывает воздействия случайного характера. Случайные динамические процессы воз­ никают практически во всех транспортных средствах (летательные аппараты, наземный транспорт, морские суда); случайную природу имеют сейсмические и акустические воздействия; случайные колебания температуры, как правило, сопровождают смену те­ пловых режимов. Случайные процессы сопровождают технологи­ ческие операции изготовления конструкций, например при об­ работке резанием возникают случайные автоколебания.

Остановимся кратко на основных методах, которые исполь­ зуются в настоящее время при вероятностном исследовании не­ линейных систем. Точное решение нелинейных уравнений ста­ тистической динамики принципиально возможно методами теории Марковских процессов. Многомерные распределения, переходные вероятности, моментные функции процессов получают на основа­ нии уравнений типа Фоккер — Планка — Колмогорова. Однако применение методов теории Марковских процессов в конкретных инженерных задачах до сих пор ограничено из-за вычислительных

78

трудностей при решении уравнений в частных производных. Точные решения уравнений Колмогорова получены лишь для простейших случаев. По существу единственным точным распре­ делением для стационарных систем, обладающих потенциалом и подчиняющихся ряду дополнительных ограничений, является известное распределение Максвелла — Больцмана.

Анализ движения нелинейных систем при случайных воздей­ ствиях представляет собой значительные трудности уже на самом первом этапе получения уравнений для вероятностных характе­ ристик выхода, так как для нелинейных уравнений дифферен­ циальные операторы неперестановимы с оператором усреднения

{{Lx) Ф L (х)).

Во многих прикладных и теоретических исследованиях для решения нелинейных стохастических задач применяют прибли­ женные методы. Поясним сказанное на простейшем примере. Пусть движение системы описывается дифференциальным урав­

где и — обобщенная координата; — случайная сила; е — коэффициент демп­ фирования; f (и) — нелинейная детерминированная функция, например восста­

навливающая сила.

Рассмотрим случай, когда

/ (и) — to\и + рм3,

где о.10 — частота колебаний; р — неслучайный параметр.

Если левую и правую части уравнения (3.1) усреднить по мно­ жеству реализаций (этот метод называется методом моментных функций) [6], то получится соотношение, которое содержит мате­ матическое ожидание процесса (и) и момент третьего порядка:

Врезультате операции усреднения получается одно уравнение

сдвумя неизвестными (и) и (а3). Аналогичное уравнение для момента третьего порядка (и3) будет содержать моментную функ­ цию пятого порядка (и5) и смешанный момент входного и выход­ ного процессов' (fiU2). В результате получается бесконечная система неразделяющихся уравнений.

Вбольшинстве прикладных исследований для замыкания урав­ нений используют приемы, аналогичные известным методам детер­ министической теории нелинейных колебаний, как, например, при использовании метода малого параметра [10], когда решение

задачи ищут в виде ряда по степеням малого параметра:

Нелинейные функции, входящие в уравнение движения, также представляют в виде степенных рядов, что позволяет получить

79

рекуррентную систему уравнений относительно функций Uj. Для рассматриваемого примера после подстановки решения (3.3) в соотношение (3.2) и приравнивания коэффициентов при одина­ ковых степенях р, получим

левые части системы (3.4) линейны относительно неизвестных функций щ, правые части каждого последующего уравнения вы­ ражаются через функции, которые удовлетворяют предыдущим уравнениям. Учитывая рекуррентную структуру системы (3.4), можно использовать последовательный алгоритм вычисления статистических характеристик членов ряда (3.3).

Другой приближенный способ решения — метод статистической линеаризации — является обобщением на стохастические не­ линейные задачи метода гармонической линеаризации, применя­ емого в детерминистической теории колебаний. Нелинейные функ­ ции в исходном уравнении заменяются линейными выражениями f (и) k u , которые в некотором смысле дают наилучшее прибли­ жение. В качестве критериев обычно используют условия равен­

ства дисперсий (f) = k\ (и2) или минимума среднего квадрати­ ческого отклонения линейной функции:

J = ((f — k^u)2) = min.

Из этого условия определяют значения коэффициентов экви­ валентности k t (i = 1, 2). Для рассматриваемого примера имеем (при / = (Зи3)

K = W <гг°)/<и2); k2- р (и*)/{и2).

Таким образом, задача сводится к анализу линейного урав­ нения:

Дальнейшее решение уравнения (3.5) выполняется с использова­ нием теории линейных колебаний.

На первый взгляд предлагаемые обобщения детерминистиче­ ских методов на стохастические нелинейные задачи являются вполне естественными, однако это"не совсем так. Как в методе малого параметра, так и в методе статистической линеаризации уравнения (3.4) и (3.5), полученные в результате преобразований,

80