книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

все оценки распределения абсолютного максимума, приведенные в п. 18.

Построение второго приближенного решения для распределе­ ния абсолютного максимума основано на использовании понятия выброса случайного процесса (п. 21). Обозначим через Ph (x/t) вероятность того, что за время t процесс х (t) k раз пересечет уровень х. Тогда вероятность того, что за время t процесс х (t) превысит уровень х хотя бы один раз,

Получим оценки для функций (4.81) и (4.83) по значениям моментов (4.82). Для этого умножим обе части равенства (4.82)

такими, при которых выражение (4.84) будет равно нулю. Эти

где (k) — среднее число выбросов за уровень х в интервале времени t.

При увеличении п точность оценок возрастает. Однако труд­ ности при вычислении моментов числа выбросов высокого порядка приводят на практике к использованию только оценки (4.86). Приведенные выше оценки функции распределения абсолютного максимума свели рассматриваемую задачу к более простой за­ даче о выбросах случайных процессов. Ее можно свести также к отысканию распределения интервала времени между нулями.

Введем следующие обозначения: х (t) — случайный стационар­

пределения и плотность распределения интервала времени между этими нулями; F (х) — функция распределения процесса х (t).

Вероятность того, что процесс х (t) в течение интервала вре­ мени’^ будет ниже уровня х (функция распределения абсолютного максимума), равна вероятности обнаружить отрезок времени t внутри интервала между нулями т.

Общее количество интервалов времени между нулями в еди­ ницу времени равно F (х)/(т).

Отсюда для функции распределения абсолютного максимума получаем

оо

F+(x, t) = F ( x ) ~ ^ j (%— t)f(x)dx.

Если можно принять, что при т->-0 функция [1— F (т, х)] т-+0, то

оо

F+(*v /) = ^ - J Г1 — (т, x)]dx.

Полагая, что для высоких уровней

1 — F (т, х) « ехр (—т/<тс>),

получаем

Соотношение (4.90) было предложено В. Ф. Шукайло.

Важно отметить, что при выводе соотношений (4.79), (4.86)— (4.89) и (4.90) не было наложено существенных ограничений на вид случайного процесса, что делает эти соотношения достаточно общими.

132

24. Анализ Гауссовских стационарных колебаний

Если исследуемые4 колебания являются Гауссовскими и ста­ ционарными, то их анализ значительно упрощается. Многие важ­ ные характеристики таких процессов можно получить в конечном виде.

Будем использовать построенные в гл. 1 совместные плотности распределения процесса и его первых двух производных.

ЧИСЛО ПРЕВЫШЕНИЙ (ВЫБРОСОВ), НУЛЕЙ И ЭКСТРЕМУМОВ

Рассмотрим вначале задачу о вычислении среднего числа превышений процессом * (б постоянного во времени уровня х*. Последний будем считать обладающим статистическими свой­ ствами. Поскольку для стационарных процессов коэффициент корреляции между процессами х (t) и х (t) равен нулю, то формулу для определения среднего числа превышений в единицу времени уровня х* (4.72) можно представить в следующем виде:

оо

Вычисляя интеграл в формуле (4.91), для Гауссовских про­ цессов получаем

sw==^ /(0)-

Значение / (0) можно вычислить по теореме о композиции двух случайных величин. Имеем:

ОО

/(0) = j h(x)U(x)dx,

— оо

где /i и jFa — плотности распределения соотвественно процесса х (t) и уровня я*.

распределение разности <р будет нормальным со средним значе­

что при ах = 0 совпадает с известной формулой Райса для де­ терминированного уровня.

133

При решении задач об определении вероятности разрушения особый интерес представляет случай, когда одномерная плотность распределения процесса и плотность распределения уровня раз­ личны. Известно, например, что распределение пределов проч­ ности хорошо описывается распределением Вейбулла с плотностью

Рассмотрим частный случай распределения (4.93) — так на­ зываемое распределение Рэлея:

X2 /(**) 02 ехр ( - £ )

где сг* — параметр распределения.

В этом случае

а-а

«(**) = 2л

х *

Среднее число нулей процесса х (t) можно вычислить по фор­ муле (4.92), приняв в ней х* = ох.^ = 0. Имеем:

I

Пп - ^ V - K ( o ) / K ( o ) , Я Ох

где К (0) и R. (0) — корреляционная функция и ее вторая производная при

т = 0.

Аналогично из соотношения (4.46) получаем среднее число экстремумов в единицу времени:

n„ = 4 - C ^ ,v w - K ( o ) .

где K}v (0) — четвертая производная от корреляционной функции при т = 0. Отношение

характеризует число сложных циклов в процессе или сложность его структуры. Для определения средней круговой частоты про­ цесса по нулям и экстремумам получаем

Для дисперсии числа выбросов за уровень х в течение вре­ мени i получаем следующее соотношение, вытекающее из фор­ мулы (4.71):

D {п (0) = я {хН) - {п (лг/0)2 +

+ 0

134

где К (т) — корреляционная функция процесса х (i)\

П -ХМ т))К(т) + К (т)КМт).

g ( x ) = | i - К Ч * ) ) (л:2 ( о ) - / с 2 (т)} +

+ 2 \ к 2(0) - к ('С)К (т)} к 2(т) + ^ (т ) .

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМУМОВ

Подставив в формулу (4.48) значение плотности / (х, 0, х), матрица моментов которой задана соотношением (1.36), и произ­ ведя необходимые преобразования, получим следующее выраже­ ние для плотности распределения максимальных значений про­ цесса нагружения:

Последнее соотношение можно получить также из следующих рассуждений.

Среднее число максимумов процесса1, находящихся в интер­ вале х ... (х Дх), при больших значениях х равно приращению среднего числа выбросов за уровни х и х + Дх:

ДД = п (х) — п (х + Дх).

Отношение этого приращения к среднему числу всех макси­ мумов пм равно вероятности обнаружить максимум в интервале

135

Ах. Разделив эту величину на Ах, получаем следующее выраже­ ние для плотности распределения больших максимумов

позволяет оценить распределение больших максимумов и для негауссовских процессов.

Найдем теперь распределение положительных максимумов. Оно может быть записано в следующем виде:

Первые два момента распределения положительных макси­ мумов могут быть записаны в следующем виде:

Зависимости статистических характеристик распределений ма­ ксимумов и положительных максимумов от параметра k при­ ведены на рис. 4.6.

Для процессов с простой структурой (узкополосных процес­ сов) k = 1 и распределение максимумов переходит в распреде­ ление Рэлея.

<б+>

s«*2>

,

Рис. 4.6. Моменты распределения максимумов:

а — первые моменты; б — вторые моменты

136

СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ТОЧЕК ПЕРЕГИБА В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ПРОЦЕССА, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ТОЧКАМ ПЕРЕГИБА

Для Гауссовских процессов совместную плотность второй и третьей производных и совместную плотность распределения процесса и его второй и третьей производной при второй произ­ водной, равной нулю, можно записать в следующем виде:

значением, равным нулю, и дисперсией, изменяющейся от нуля (узкополосные процессы, п01пэ = 1) до значения, равного диспер­ сии процесса К (0) (широкополосные процессы, п01по 0).

СРЕДНЯЯ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ВЫБРОСОВ И СРЕДНИЙ ИНТЕРВАЛ МЕЖДУ НИМИ

Среднюю длительность выбросов процесса х (I) на уровне х0 вычисляем по формуле (4.73). Подставляя в нее нормальную функцию распределения и среднее число выбросов для Гауссов­ ского процесса (4.92), получаем

(4.106)

— оо

137

Аналогично для средней длительности интервала между выбро­ сами на уровне х0 имеем

тэ —- лсГх/о^.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ МЕЖДУ ЭКСТРЕМУМАМИ И НУЛЯМИ

Подставляя плотность f (0, x 0t 0 ,^ , т), матрица моментов ко­ торой выписана в виде соотношения (1.40), в формулу (4.55), получаем следующее выражение для плотности распределения времени между соседними экстремумами для Гауссовских про* цессов:

Аналогично получаем плотность распределения времени между нулями процесса. Для этого в формулу (4.68) при k — 1 под­ ставляем значение плотности / ( 0 ,х 0, 0, x lf т), которая задается матрицей моментов (1.39). После преобразований получаем

Соотношения (4.109) и (4.110) неприменимы при больших т. Однако выше было показано, что при т -*• сю можно считать за­

138

коны распределения / (т). и р (т) следующими экспоненциальным зависимостям, параметры которых определяются соотношениями (4.62)—(4.64).

Интересно отметить, что при т ->• оо из соотношений (4.109) и (4.110) следуют пределы

Из проведенного анализа видно, что задачи о нахождении распределений интервалов времени между соседними нулями и соседними экстремумами к настоящему времени не имеют точных эффективных решений. Для ориентировочных оценок этих рас­ пределений может быть использовано распределение Рэлея

где параметр распределения сг определяется по средним значениям интервалов времени между нулями т0 и экстремумами тэ:

| Y 2/я т0 I 1/"2/ят0

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМАХОВ

Размахи — это приращения процесса между двумя соседними экстремумами. Для построения их распределения необходимо вначале записать совместную плотность распределения двух со­ седних экстремумов и времени между ними. Подставляя в соот­ ношение (4.54) совместную плотность распределения процесса и его первых двух производных для двух моментов времени (ма­ трица корреляционных моментов этого распределения получается из соотношения (1.35) при k = 2) получаем:

139