книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

где

0 fyz III (в) =•= COS ~ Y .

Напряжение ст2 = 0 при плоском напряженном состоянии и аг = р, (а* + оу) при плоской деформации (р — коэффициент Пуассона). Коэффициенты Ki, Кц и Кщ зависят от способа на­ гружения, формы, размеров и расположения трещины. Для определения этих коэффициентов имеется обширная справочная литература, например, [28].

Рассмотрим три частных случая:

1) нормальный отрыв (рис. 5.5, а), в этом случае Ki = о у ^ nl\

Кц= Кш = О-

2)нормальный (продольный) сдвиг (рис. 5.5, б), в этом случае

= т -/"я/.

Мгновенное разрушение произойдет в том случае, когда экви­

достигнет критического значения К*. Функция (5.13) либо подле­ жит экспериментальному определению, либо строится аналогично

171

рии прочности), и гипотеза нормального сдвига, когда направле­ ние развития трещины и расчетный коэффициент интенсивности определяются наибольшим касательным напряжением (аналог третьей теории прочности).

Долговечность (живучесть) элементов конструкций с трещи­ нами зависит от скорости их роста. В общем случае эта скорость зависит от уровня напряжений и длины трещины

Скорость роста трещины часто можно выразить в зависимости от коэффициента интенсивности напряжений:

dlldm — ф (К ).

Хорошую согласованность с экспериментом дает следующая зависимость:

Ф (/С) - СК'1П(1 — R) Кс — К ),

где

(Хщах— К min (при ^ m in > 0 )t

К

IXmax (при /Cniin ^ 0 );

R = Хт1пЖтах>

С, п, Кс — параметры.

Если не учитывать асимметрию циклов нагружения, то за­ висимость (5.14) может быть записана в следующем виде:

где а и п — параметры трещиностойкости материала.

При испытаниях в лабораторных условиях для всех марок сталей п 4, сс = (1,6 ... 3,2) 10-18 мм7/кгс4.

Знание прочностных характеристик материалов и характери­ стик процессов нагружения позволяет провести полный расчет прочностной надежности конструкции. При этом могут быть опре­ делены:

1) вероятности. однократного превышения действующими на­ пряжениями своих опасных значений (предела прочности или пре­ дела текучести) и (или) определено соответствующее этой вероят­ ности время нагружения;

2)вероятностные характеристики накопленного к некоторому моменту времени усталостного повреждения, или усталостная долговечность конструкции, определяемая по моменту появле­ ния усталостной трещины;

3)для заданных моментов времени вероятности превышения коэффициентами интенсивностей напряжений своих опасных зна­ чений, или долговечность конструкции, определяемая по моменту полного разрушения.

Первый вид расчета называют вероятностным статическим рас­ четом конструкции, второй — вероятностным расчетом усталост­ ной долговечности, третий — вероятностным расчетом живучести.

172

30. Вероятностная оценка статической прочности при однократном нагружении

Если нагрузка представляет собой единичное случайное по величине воздействие, а механические характеристики материала также являются случайными, то за меру прочности элемента конструкции целесообразно принять вероятность выполнения условия статической прочности. Эту вероятность можно опреде­ лить следующим образом. Пусть f (а) и / (о*) — плотности рас­ пределения вероятностей действующих и опасных для материала конструкции напряжений соответственно. Тогда вероятность того, что действующие напряжения превысят опасный уровень,

Надежность конструкции

Если плотность распределения действующих и опасных на­ пряжений подчиняется нормальному распределению, то

где а, а , S'i,'а' ^с*S? — средние значения и дисперсии действующих и опасных

для материала конструкции напряжений;

Ф(х) JГе—1‘dtm

Когда опасные и ожидаемые в конструкции напряжения под­ чиняются усеченным законам распределения, т. е. являются огра­ ниченными сверху и снизу, тогда

<*2. ai*> ° 2# — наименьшие и наибольшие значения действующих и опасных

напряжений соответственно.

173

предложены Н. С. Стрелецким для оценки так называемой га­ рантии неразрушимости.

Между вероятностью разрушения и коэффициентом запаса прочности, играющего в настоящее время роль общепринятой в машиностроении меры прочностной надежности, имеется не­ которое соответствие. Определим коэффициент запаса прочности как отношение средних значений опасных для материала конструк­

(5.19)1 нет однозначного соответствия. При одном и том же коэф­ фициенте запаса в зависимости от коэффициентов вариации дей­ ствующих и опасных для материала конструкций напряжений получаем различные значения вероятности разрушения, т. е. приходим к различным оценкам надежности конструкции. От­ сюда следует, что коэффициент запаса прочности в виде соот­ ношения (5.19) не может, вообще говоря, быть принят в качестве единственной меры прочностной надежности конструкций. Од­ нако если коэффициент запаса прочности принять п = oJa, то при случайных значениях 0* и ст величина п также будет слу­ чайной, но уже, так же как и мера надежности, определяемая по формуле (5.17), будет однозначно определять надежность кон­ струкции.

Использование коэффициента запаса как меры надежности в таком виде не исключается, но в отличие от меры надежности, определяемой по формуле (5.17), коэффициент запаса непосред­ ственно не связан с ожидаемым числом разрушений.

174

Если элемент конструкции имеет начальную трещину, то его надежность также определяют соотношением (5.17), где действу­ ющие и опасные напряжения заменяют на соответствующие коэф­ фициенты интенсивностей напряжений.

31. Вероятностная оценка статической прочности и усталостной долговечности

при стационарных потоках нагрузок

Для случайных процессов нагружения задача оценки вероят­ ности неразрушения в заданное время сводится к вероятности того, что за это время наибольшее значение процесса нагружения (абсолютный максимум этого процесса) не превысит опасного для материала конструкции уровня (предела текучести или пре­ дела прочности). Построение распределения абсолютного макси­ мума для стационарного потока статистически независимых на­ грузок дано в п. 18.

Вероятность неразрушения конструкции за время Т (принима­ емая за меру ее прочностной надежности) на основании соотно­

гружения за время Т\ [ (о„) — плотность распределения опасных напряжений.

Если поток нагрузок характеризуется функциями распреде­ лений интервалов времени между нагружениями, интенсивности нагружений и опасных напряжений вида F (t) = 1 — exp (—р/); Р (о) = 1 — ехр (—Яо); F (a*) = 1 — ехр [—р (а* — <т0) ] при a* ss о0 и F (о*) = 0 при а* < а0, где р, X, а, а0 — параметры распределений, то на основании соотношений (4.8)*и (5.21) полу­ чаем

kX + p — m

Рассмотрим теперь задачу об оценке усталостной долговеч­ ности конструкций. В общем случае функцию распределения долговечности определяют по известным функциям распределения интервалов времени между нагружениями и единичного усталост­ ного повреждения соотношением (4.33). Первая”из этих функций задана непосредственно по условию задачи, а вторую находят по заданной функции распределения интенсивности единичного

175

повреждения и заданному закону накопления усталостного пов­ реждения как функцию распределения функции со случайным аргументом.

Асимптотическую оценку для плотности распределения дол­ говечности определяют соотношением (4.38), в котором параметры распределения находят по среднему значению единичного уста­ лостного повреждения и его дисперсии

оо

Среднее значение долговечности, ее дисперсию и коэффициент вариации определяют по формулам (4.39)—(4.41).

Сформулируем теперь задачу оценки живучести. Пусть задана

ности напряжений, при котором происходит окончательное раз­ рушение, К*. Процесс нагружения аг порождает процессы роста трещины li и изменения во времени коэффициента интенсивности напряжений Ki- Требуется определить момент времени Т (живу­

где с — коэффициент, учитывающий форму и расположение трещины.

Аналогично расчету статической прочности расчет живучести сводится к определению абсолютного максимума процесса, опи­ санного соотношением (5.24). Однако в силу того, что длина трещины постепенно возрастает, этот процесс уже не будет ста­ ционарным даже при стационарном процессе нагружения. Пусть Ft (К) — функция распределения коэффициента интенсивности напряжений при i-ом нагружении. Тогда функция распределения абсолютного максимума процесса (5.24), соответствующая неко­ торому времени нагружения t, при условии, что за это время про­ изойдет ровно г нагружений, будет

176

Практическое использование формулы (5.25) связано с вычис; лительными трудностями, поэтому воспользуемся приближенным соотношением (4.11), которое запишем здесь с учетом нестационарности коэффициента интенсивности напряжений

0 при К<Ко t

где Fx (К) — функция распределения коэффициента интенсивности напряжений для момента времени х\ Ко — корень уравнения

J{1 ~~Fx{K)\dx I.

о

Долговечность (живучесть) конструкции Т определяется из

где P# — заданный уровень надежности.

Таким образом, задача расчета живучести сводится к опреде­ лению функции распределения коэффициента интенсивности для любого момента времени. Если скорость роста трещины принять в форме закона (5.15), то для рассматриваемого случая имеет место равенство

где р = ас", 1Т — длина трещины к моменту лого по счету нагружения.

Отсюда

Вероятностные свойства суммы, входящей в эту формулу, были описаны в п. 19, что позволяет определить вероятностные свойства величины lt . Подставляя соотношение (5.28) в формулу (5.24), определяем коэффициент интенсивности напряжений. При п = 4 получаем

саг

i = 1

Рассматривая Кт как функцию входящих в него случайных аргументов, стандартными методами теории вероятностей вы­ числяем его функцию распределения и все его вероятностные

177

характеристики. В частности, среднее значение коэффициента ин­ тенсивности напряжений к моменту времени t

где I и сг — средние значения интервала времени между нагружениями и дей­ ствующего напряжения.

Рассмотрим случай, когда F (К) подчиняется экспоненциаль­ ному закону распределения.

В этом случае

х (1 + - | / a)j при /С > /С0.

Используя соотношение (5.30) в уравнении (5.27), определяем живучесть конструкции.

В общем случае аналитическое решение задачи оценки живу­ чести затруднительно. Здесь весьма эффективными могут стать методы математического моделирования на ЭВМ процессов роста трещин и изменения коэффициентов интенсивностей напряжений

[ 8 ].

32. Вероятностная оценка статической прочности и усталостной долговечности

при стационарных случайных колебаниях

При случайных колебаниях, так же как и при потоках стати­ стически независимых воздействий, вероятность разрушения, т. е. вероятность того, что за некоторое время t действующие на­ пряжения превысят опасный уровень о-*, определяется вероят­ ностью, того, что абсолютный максимум процесса превысит этот уровень. Различные оценки для функции распределения абсо­ лютного максимума для случайных колебаний приведены в п. 23 и 24. При подстановке в эти оценки вместо абсолютного макси­ мума процесса значения «опасного» напряжения (предела проч­ ности или предела текучести) приходим к различным оценкам для вероятности неразрушения, или, что то же самое, к оценкам прочностной надежности конструкции по условию статического разрушения.

178

Рис. 5.7. Методы схематизации случайных процессов (а—д— этапы исклю­ чения промежуточных циклов при методе полных циклов)

При расчете усталостной долговечности необходимо иметь сведения о закономерностях накопления усталостных поврежде­ ний и о параметрах процесса, принимаемых за характеристики циклов нагружения. Будем использовать линейную гипотезу накопления повреждений. Для выбора амплитуды и среднего зна­ чения повреждений необходимо провести «схематизацию» про­ цесса, основанную на рассмотрении экстремумов. В настоящее время в инженерной практике применяется более десятка таких схематизаций [12]. Рассмотрим главные из них (рис. 5.7).

МЕТОД ПРЕВЫШЕНИЙ (ВЫБРОСОВ)

Число амплитуд в некотором малом интервале подсчитывают как приращение числа выбросов за уровни, определяющие задан­ ный интервал. Среднее значение цикла нагружения принимается равным нулю.

МЕТОД ЭКСТРЕМУМОВ

За амплитуды напряжений принимают все максимумы про­ цесса, а за расчетную частоту — среднее число максимумов в еди­ ницу времени. Среднее напряжение цикла принимают равным

179

нулю. Методическая трудность, связанная с необходимостью учета отрицательных максимумов в качестве амплитуд напряжений, может быть устранена, если принять за амплитуды напряжений только положительные максимумы, а за расчетную частоту — среднее число положительных максимумов в единицу времени. Схематизация процесса в этом случае заключается в переносе по­ ложительных минимумов и отрицательных максимумов на ну­ левую линию. Отсюда следует, что метод максимумов должен давать самую нижнюю оценку долговечности.

МЕТОД РАЗМАХОВ

За расчетную амплитуду напряжений принимают половину при­ ращения случайного процесса, соответствующего двум соседним экстремумам, а за расчетную частоту — среднее число одноимен­ ных экстремумов в единицу времени. Среднее напряжение цикла принимают равным нулю. По сравнению с другими методами схематизации этот метод при расчете усталостной долговечности дает самые завышенные результаты.

МЕТОД УКРУПНЕННЫХ РАЗМАХОВ

За расчетную амплитуду напряжений принимают половину приращения случайного процесса при переходе от одного экстре­ мума к такому последующему экстремуму (не обязательно со­ седнему), при котором величина усталостного повреждения по­ лучается большей, чем сумма усталостных повреждений на про­ межуточных размахах.

МЕТОД п о л н ы х ц и к л о в

За амплитуды напряжений принимают половины приращений процесса между двумя соседними экстремумами при постепенном исключении из заданного процесса промежуточных циклов со все более и более высокими амплитудами. Схематизация ведется

ределяют их число. Затем операция повторяется, и определяют число амплитуд меньших величин а2, аэ и т. д. Таким образом удается учесть все циклы процесса нагружения (рис. 5.7, а—д).

МЕТОД РАЗМАХОВ С УЧЕТОМ СРЕДНЕГО

Этот метод является обобщением метода размахов, когда вместе с амплитудным учитывают среднее значение напряжений.

Решение вопроса о том, какому из методов схематизации необходимо отдать в конкретных случаях предпочтение, зависит от структуры рассматриваемых процессов. Если эти процессы заданы непосредственно осциллограммами, то метод схематизации, дающий наилучший результат, легко установить по их виду.

180