книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях
..pdfто для определения неизвестного вектора и получаем уравнение
— М ир2 + Си = 0, |
(2.47) |
или |
(2.48) |
| С — р2М |[ я = 0. |
Уравнение (2.48) имеет отличное от нуля решение при условии,
что |
(2.49) |
det JС — р2М | = 0. |
Уравнение (2.49) дает возможность определить частоты коле баний системы pt. Зная частоты, находим соответствующие этим частотам векторы u t из алгебраических однородных уравнений (считая, что все частоты различны и отличны от нуля)
\ С - р 2М \ т = Ъ. |
(2.50) |
Из общей теории линейных алгебраических уравнений известно, что система (2.50) имеет решение, зависящее от произвольного множителя. Например, из систем уравнений (2.50) можно п — 1 компонент вектора u t выразить через первую компоненту я*,, т. е.
|
ии = киип , (/ = |
2, ... , |
п). |
(2.51) |
|
Каждому корню |
p t соответствует |
вектор |
решения |
|
|
|
Xi = |
Ut CQSpit, |
|
|
|
где компоненты |
вектора u t |
определяются |
по формулам |
(2.51). |
Первую компоненту uit вектора я г можно взять любой и, в част
ности, |
равной единице. Покажем, что векторы я г удовлетворяют |
|||||||
условию ортогональности. |
следует |
|
|
|
|
|
||
Из |
соотношения |
(2.51) |
|
|
|
|
|
|
и для |
вектора us |
Сас = р^Ми. |
|
|
|
(2.52) |
||
Cttj = р^Мау |
|
|
|
(2.53) |
||||
|
|
|
|
|
||||
Умножим скалярно выражение (2.52) на вектор |
а выражение |
|||||||
(2.53) |
на вектор я г |
и запишем разность |
|
|
|
|
||
|
{ C a i u ) ) |
— ( C u J u i ) = P 2i ( M |
a |
t a 3 ) ~ P % |
M a ] u |
i ) - |
(2-54) |
|
Так как матрица жесткостей С симметрична, то С = |
Сг, где |
|||||||
Ст — транспонированная |
матрица, |
и |
левая |
часть |
равенства |
(2.54) равна нулю. Правую часть можно преобразовать к виду (учитывая, что М — М г)
(р2 _ р2)(М и ^ |
) = 0. |
(2.55) |
Так как р\ Ф /?/, то из соотношения (2.55) следует условие |
|
|
(Mthaj) = 0; |
j), |
(2.56) |
51
которое наЗы&ается условием Ортогональности векторов ttj и а*.
Составим |
из |
компонент векторов u t матрицу U |
|
||
|
|
« и |
. • ■ |
« i n |
|
|
|
W2 1 |
. ■ ■ |
« a n |
|
|
|
« П 1 |
• ■ ■ |
«ПП |
|
и рассмотрим |
преобразование |
|
|
|
|
|
|
х ■= Uq , |
|
|
|
где q — вектор |
новых неизвестных. |
|
|
|
|
Вектор |
q |
удовлетворяет уравнению |
|
||
|
|
MUq + CUq — |
(2.57) |
||
Умножим |
уравнение (2.57) на |
транспонированную |
матрицу |
||
|
|
■UrMUq1 + U,rCUq = UfrB1f 1. |
(2.58) |
Можно показать, что матрицы UTMU и UTCU [с учетом условия ортогональности (2.56) ] являются диагональными
1 Л М и = М 1 '\ UrCU = C<'l
Диагональные элементы матриц М (,) и С<'> соответственно равны
m ‘i 1] и%ту,
'2V1 2
—piZjUjimj.
Вскалярной форме из уравнения (2.58) получаем
rt |
& + ffai = 2), e<Jv (0/ |
( 2 t |
) * |
(2-59) |
|
|
|
|
|
где glv = ^ uh]bjv> bjv — элементы матрицы |
В ь |
которые в общем |
случае |
|
£1 |
t. |
|
|
|
могут зависеть от |
|
|
|
Введенные новые неизвестные q-t называются главными коор динатами. Решение уравнения (2.59) при нулевых начальных ус
ловиях имеет вид
t
|
4i = |
7 7 1 sla pl |
|
т) |
|
|
|
1 о |
|
|
|
|
|
d i v |
= |
e,v |
И *4», |
|
|
|
|
|
/=• |
Зная |
находим решение исходного уравнения (2.45): |
||||
|
|
/I |
t |
Г |
а |
|
|
|
|
|
fvd%. (2.61) |
|
i — 1 |
v = l 0 Lt- = i |
52
Метод главных координат позволяет получить решение в ко нечном виде, что весьма удобно при исследовании влияния от дельных параметров системы на процесс в целом. Изложенный метод был применен к системе уравнений [или векторному урав нению (2.45) ], не содержащей сил сопротивления. При наличии сил сопротивления, пропорциональных скорости, уравнение движе ния системы (2.33) после замены х на Uq и умножения на транспо нированную матрицу Uт принимает вид
U'MUq + V TBUq -f U'CUq = IP В , f x.
Так как матрицы (JTM U и UTCU диагональные, то возможны два случая, когда матрица UTBU — В('> диагональна. Матрица В диагональна и ее элементы пропорциональны соответствующим диагональным элементам матрицы М, т. е.
Ьи — 2птц, |
(2.62) |
где 2п — коэффициент пропорциональности. |
|
Во втором случае элементы матрицы В пропорциональны эле ментам матрицы С
Ь ц = X a tJ. |
(2.63) |
Если условия (2.62) и (2.63) не выполняются, то уравнения относительно qt оказываются .связанными и упрощения при ре шении этот метод не дает. Так как распределение сил трения является практически неизвестным, а известен только интеграль ный эффект действия сил трения, то можно принять любую гипо тезу о распределении сил трения, эффект действия которых экви валентен интегральному эффекту. Поэтому естественно предполо
жить, что сила |
трения |
распределена так, |
что выполняется одно |
||
из условий (2.62) или (2.63). |
(2.63) имеем |
|
|||
В частности, при выполнении условий |
|
||||
<7v + 2ni4i + |
вJ v (О/ ( Д |
« V / ) > |
(2.64) |
||
где 2м. = Хр? |
|
|
|
|
|
о;* |
|
|
|
|
|
Решение уравнения (2.64) имеет вид |
|
|
|
||
qt — |
(Cl0 cos ptt -j- С{2с) sinpti) -j- |
|
|||
+ ~ |
J e “ "‘(' “ T> sinpt (t — т) |
|
|
(2.65) |
|
|
|
\ V |
~ |
\ |
|
|
где |
aiv = £ f » l y 2 , u%m/ j '» |
|
|
|
или в векторной форме записи |
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
q = /С<«>(t) Ci + /С<2)С2 + j К (t - |
v) A f d x , |
(2.66) |
53
где (t), К {2) (t) и К ( t — т) — диагональные матрицы с элементами, соот ветственно равными
, (1) |
—Hit |
cos p i \ |
,(2 ) |
— rt;t . |
||
klt |
= |
е |
ku |
— e |
sm p i; |
|
|
|
kxl = e |
я,<< |
T) sin p £- (i — T). |
Матрица А имеет вид
#12 • ■■ aln
A —
# n l # n 2 • • • # n n
Определив <7г, находим компоненты вектора х [решения исход ного уравнения (2.33) ] в аналитической форме записи
/ ь гг
~ 2 |
^klQl\ |
%h = |
2 |
|
|
i = l |
|
|
£ = 1 |
|
|
п |
|
|
|
|
|
2fc== S U |
b f i i , |
(6 = |
1 , |
, я). |
(2.67) |
£= 1
Вматричной форме записи решение уравнения (2.34) может быть представлено в виде
г = |
' х |
= [/(1)^0), |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
= |
и |
0 |
„(О - |
Я |
|
|
|
0 |
и |
ч |
— |
Я |
|
Воспользовавшись выражением (2.66) и производной от него, |
||||||
получим |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = /С<3>0 + |
J К {4) (t, |
т) /< ‘) di, |
(2.68) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
/(■(3) _ |
„(1) |
/С(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л<*> Л dx |
|
О |
|
|||
/с<4>= г/а> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ К А dx |
|
|
|
Ci |
|
|
о |
|
|
|
; |
/ а >= |
/ |
|
|
|
|
Са |
/ |
|
|
Запись решения в форме (2.68) удобна, когда требуется полу чить вектор состояния системы (координаты и их первые произ
54
водные) в аналитической форме записи и когда вектор 2 входит в расчетные соотношения. Соответствующие частные случаи будут рассмотрены далее.
При нестационарных колебаниях коэффициенты С\1) и Сг1> можно принять равными нулю. Тогда из соотношения (2.67) получаем
/tj t |
( |
п |
|
|
|
|
|
|
и - % ) |
slnpj (t — т) aiv ifvdx. |
(2.69) |
||
v = L0 |
4 = 1 |
|
|
|
|
|
Из соотношения |
(2.69) следует, |
что |
для систем |
уравнений |
||
с постоянными коэффициентами элементы матрицы К |
(t, т), входя |
|||||
щие в решение (2.42), равны |
|
|
|
|
||
t= 1 |
U |
%) SinPi ^ ~ ^ a'V’ |
^ДЛЯ k==tl] |
n + |
1; 2/I)* |
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя выражение (2.69) no t, получим компоненты вектора х
*ft=2jJ‘lr(S'pfV=10 М = 1 1 е_"г - slnА ^ |
a'vV/ dx |
или |
|
пt
(2.70)
v = l 0
где
|
— |
1 |
Uki |
“ |
— nt U — T) |
. |
, |
|
||
|
|
|
|
1 |
Sin p i (t — %)div |
|
||||
|
|
W= i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятностные характеристики решения (2.69) при известных |
||||||||||
вероятностных |
характеристиках |
случайных |
возмущений |
равны |
||||||
|
|
|
л, |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
тх/е— |
S |
JC vftm/vdT, |
(ПгСп) |
(2.71) |
||||
|
|
|
v — 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
г?1 |
П| |
f |
i t |
|
|
|
|
|
«- S 2 JJCvp(^)Cvh( xi ) Kf vfi(x, x^dxdxlt |
||||||||||
|
|
v = l / = 1 0 |
|
0 |
|
|
|
|
(2.72) |
|
n |
’ |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Cvh = ^ |
|
| u/tte |
" * |
T)sin pi (t — T) atvfv dx. |
|
|||||
i = |
1 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим частные случаи действия на механические системы случайных возмущений, имеющих место в расчетной практике. Пусть случайные силы ./^ лежат в одной плоскости (см. рис. 2.8}, а их числовые значения от времени не зависят. В этом случае ве-
роятностные характеристики / также от времени i не зависят, поэтому из выражений (2.71) и (2.72) получаем
|
ft1 |
|
2 |
|
|
(2.73) |
т хо = |
YA m/v j |
C vp (т ) dx, |
(nL < я ); |
|||
|
■vj= 1 |
0 |
|
|
|
|
/I, |
n, |
/ |
t 11 |
|
(2.74) |
|
Kxpxk " 2 |
XJ ( Kfvfj I |
1 ^Vp fa) |
fal) |
|||
V = ! / = l |
\ |
0 |
0 |
|
|
При действии потока воздуха (см. рис. 2.8) можно считать, что силы f t пропорциональны, т. е.
f i = Pt/i (i = 1, • • •, п),
поэтому из соотношений (2.73) и (2.74) имеем
|
П |
|
|
'% =-= mf(j |
Y Pv J Cv!)dx; |
|
|
|
V — 1 |
|
, |
Kx xk = Dfo j 2 |
■S |
I I ^vpC\-fc |
. |
Lv= i/ = i
где pH— неслучайные множители, зависящие от формы тела (массы пц).
Аналогичные выражения получаем и для вероятностных ха
рактеристик первых производных ick и xk. Полученные выраже ния для вероятностных характеристик компонент вектора реше ний дают возможность определить максимально возможные зна
чения отклонений (Xi) и их первых производных (xlt x t) аналогично тому, как это было изложено в п. 8, где были рассмотрены слу чайные колебания при действии случайных импульсов. Считая, что законы распределения компонент вектора состояния системы x t и их первых производных являются нормальными (при нормаль ных законах распределения / ) , получим следующие выражения для максимально возможных значений решений
f a & )m a x |
~ |
д, ~’ |
f a x ) m a x |
|
Н - |
(• ^lO m ax |
~ |
Шх/г “ I” |
Рассмотрим теперь случай, когда направление внезапно при ложенной постоянной сил /('> случайно (силы / параллельны плоскости хгОх2(см. рис. 2.8, а). В этом случае силы / ( '' удовлетво ряют условиям
(С <')/(0/(0) < 1, (*= 1, . . |
я*). |
(2.75) |
56
Уравнение движения системы для этого случая можно пред ставить в виде (вектор х имеет 2п компонент)
|
'Мх + В х + Сх = |
|
|
(2.76) |
|
Уравнение (2.76) при введении главных координат принимает |
|||||
вид |
|
|
|
|
|
q + |
M ( ' ) - xB ' ' ) ‘q |
|
V ' ( Д £ (0 / |
(':)) . |
|
откуда |
получаем |
(при нулевых начальных |
данных) |
|
|
|
j |
/С (^ — т) (ЛК'»)-1f/T |
J |
|
|
Вектор / (1) имеет только два компонента, отличные от нуля |
|||||
(fx? И |
fxl), поэтому условия (2.75) |
можно |
представить |
в виде |
где обобщенные векторы имеют 2я компонент.
Решение уравнения (2.76), выраженное через главные коор
динаты, |
имеет вид |
n, t |
. |
|
|
(2.77) |
|
|
|
\ U K (t-% )D fW d% , |
|
|
|
i —1О |
|
|
|
Xi |
|
где D = |
[Af<'>]— |
x2 |
|
x = |
|
Xn
Рассмотрим несколько частных задач, возникающих при рас четах систем амортизации объектов, воспринимающих воздействие внезапно приложенных постоянных во времени случайных сил. В ряде случаев требуется определить максимально возможные отклонения некоторой массы т} системы в направлении задан-
57
ного единичного вектора е (рис. 2.9), т. е. требуется определить максимум ска лярного произведения
Jj = (Xj-e) = max,
Рис. 2.9. Определение ма ксимального смещения в заданном направлении
'Ч
где х j — вектор перемещения /-ой массы.
В этом случае решение в форме (2.77) использовать нельзя, так как на напра вление вектора е дают проекции все частные вектора x h, поэтому целесооб разно общее решение х представить в виде отдельных векторов х.
'
|
X} |
2 |
J К (/)/ Ж |
(fi = |
/«.Ti -Ь ftx,r3), |
(2.78) |
|
|
|
t =i о |
|
|
|
|
|
где |
матрица |
(2X2) |
получающаяся из |
общего |
решения (2.77). |
||
|
Входящие в решение (2.77) вектора f t удовлетворяют условиям |
||||||
|
|
{CMTift) = 1, |
(i = 1 , 2 , . . . , |
пг), |
(2.79) |
||
где |
С^ — матрица |
( 2 X 2 ) . |
|
|
|
= fiift), |
|
|
Если векторы коллинеарны (выполняются условия |
то из соотношений (2.78) и (2.79) получаем следующие формулы:
Рассмотрим частный случай, когда вектор е совпадает с од
ним из векторов базиса \ij\, |
например вектором |
В этом случае |
|
J = х}1= max. |
|
|
|
Или если воспользоваться |
выражением (2.78), то |
|
|
|
n- i t |
|
|
Jn = Xji = (Xjh) = |
S j (K * (p/)/i/p) dr = |
max. |
(2.80) |
|
p = 0 0 |
|
|
При дополнительных условиях (2.79) это приводит к следующему функционалу
h = Jji - 13 М (с <р,/ рЛ ) ~ И- |
(2-81) |
р = 1 |
|
Из соотношения (2.81) получаем уравнения для определения векторов fit, сообщающих максимальное значение функционалу jy для каждого фиксированного момента времени t
dJ1 = о, (Р = 1, . . . , пх)
или
J К* < е л м т - у > > / р==0. |
(2 . 8 2 ) |
58
Соотношения (2.79) и (2.82) дают возможность определить
множители Лагранжа |
|
|
Яр — (С<р))~ 1 f К* <р/> 1Хdr J К* <P/)T! dx, |
(2.83) |
|
о |
о |
|
Определив Яр, из соотношения (2.82) находим
t
(С(р))~ ‘ J K*(p/)/idx
"у/”(C<p)_1) J К* <р/)*1 dxj K*{p!\ d x
Подставив полученные выражения для векторов / р в соотно шение (2.80), получаем максимально возможное значение компо ненты смещения лг;1 для каждого момента времени
/г,
|
|
|
^ |
~ (^Ol)max == £ |
^р, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Р |
1 |
|
|
|
|
Ы ™ |
* - |
£ |
1 |
/ р | ( ) й |
' ,’' > |
л ' ) = 2 |
Ы |
Л 1 . |
(2 .8 4 ) |
||
|
|
Р = 1 |
|
|
\ 0 |
|
/ |
р = |
1 |
|
|
так как (С(р))~* ** |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частном случае, |
когда выполняются |
условия |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
/ р “ |
Ррf u |
|
|
|
(2.85 |
|
на соотношения |
(2,84) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|||
( |
« |
|
|
я |
) |
|
™ |
|
» |
- |
. (286) |
Условия (2.85) выполняются в том случае, если возникающие аэродинамические силы параллельны вектору скорости потока воздуха (когда сосредоточенные массы имеют форму тел вращения
относительно оси ха) или силы имеют одно направление, не сов падающее с направлением вектора потока скорости воздуха, что имеет место, если геометрические формы тел подобны. В этом случае проекции сил зависят от угла а (см. рис. 2.7). Если же гео метрические формы тел различны, то вектора аэродинамических сил fj, действующих на массы ту, имеют различные направления (рис. 2.10), определяемые углами |3Р или случайными углами ар
59
между проекцией вектора f Q на плоскость хх0хз и направлениям оси х х. При случайном напра
влении потока воздуха (и слу чайной, в общем случае, скоро сти потока |ю|) векторы f j слу
чайны как по модулю, так и по направлению (по отношению к оси хх), но считать эти пара
метры статистически независимыми^нельзя, так как углы Рр не случайны. Полученные оконча тельные выражения | для макси мального значения хп анало
гичны выражению (2.19), по этому при определении вероят ностных характеристик (Хд)тах
(при известном законе распределения модуля случайного век тора fx ) получаем
Ш(*Л)шах = C lim a x =
где тj и 5ft определяют так же, как в случае использования соотношения (2.19).
Закон распределения |
(x/i)max = х% |
имеет вид |
|
/а ( * М |
X |
|
|
X |ехр |
4- ехр |
Щ Г |
(2 87) |
|
|
|
Зная закон распределения случайного смещения Хц, можно по правилу трех стандартов определить его возможное максималь* ное значение. '
В общем случае, когда направления сил / р различны, для оп-
ределения максимально возможного смещения (*/i)ffl«x необхо димо предварительно получить закон его распределения, линейно
зависящего от этих сил |
[соотношение (2.64)] при известных за |
конах распределения |
Эта задача осложняется тем, что |
если векторы / р вызваны, например, действием потока воздуха, считать их независимыми нельзя, т. е. закон распределения (*л)тах не является композицией законов распределения / р. Если геометрические формы тел т} мало отличаются от тел вра
щения, то приближенно можно считать, что векторы / р параллель ны, т. е, выполняются условия (2.85). В этом случае максимально
60