книги / Прикладной статистический анализ в горном деле (Многомерная математическая статистика)

ния. Невысокая связь этого компонента с координатой X (r = – 0,34) свидетельствует о возможной локализации зоны замещения вдоль направления X. Аналогичный тренд зависимости хлористого магния существует и с высотной отметкой, которая, в свою очередь, имеет высокую корреляцию с координатой Х (r = 0,7). Этим и обусловлено наличие остаточной корреляции MgCl2 от высотной отметки (r = 0,19). Поскольку этот компонент не представляет основной состав руды и имеет ограниченную локализацию, его можно убрать из анализа.

Таблица 5.11

Матрицы корреляций: вверху – исходная; слева – воспроизведенная; справа – остаточных корреляций

Следующее по величине значение в матрице остаточных корреляций составляет 0,17, это зависимость KCl (сильвинитовая руда) и NaCl (вмещающие породы – каменная соль) объясняется следующим. Пласт сильвинита на некоторых участках имеет складки. В процессе отбойки руды комбайн не может следовать строго в пределах толщи пласта. Отклонение от горизонтали у комбайна допускается в пределах 8–12 градусов, а складки встречаются крутые. На складчатых участках пласта комбайн отбивает и вмещающие породы, которые представлены камен-

151

ной солью. Чем больше в сечении комбайна каменной соли, тем меньше попадает хлористого калия. В исходной матрице эта обратно пропорциональная зависимость с корреляцией r = – 0,47 зафиксирована в верхней части табл. 5.11. Остальные остаточные корреляции несущественны, что свидетельствует о возможности получения коэффициентов корреляций с достаточной точностью, опираясь на основные факторы.

Особый интерес вызывают значения корреляции на диагонали матриц воспроизведенных и остаточных корреляций. Так, в первой высокие значения имеют переменные KCl, HO, NaCl, GDA и UP_BORDER. Они потратили от 0,77 до 0,98 дис-

персии этих признаков на объяснение латентных переменных, а остаточная величина необъяснённой дисперсии невелика и составляет значения от 0,02 до 0,23. В меньшей степени использована дисперсия хлорида магния, её остаток от единицы 0,42. Это ещё один довод в пользу отказа от этой переменной.

Выполним расчёты ФА без хлорида магния (табл. 5.12– 5.14). Таблица общностей имеет минимальное значение у хлористого калия (табл. 5.12).

Таблица 5.12

Значения общностей

В программе можно вывести значения каждого фактора, для этого можно нажать кнопку «Значения факторов». При этом значения выводятся в отдельную таблицу (табл. 5.15), впоследствии можно скопировать их в пустые столбцы исходных дан-

152

ных с наименованиями F1, F2, F3. Следующая кнопка – «Сохранить значения» – позволяет сохранить их в таблицу исходных данных.

Таблица 5.13

Собственные значения

Таблица 5.14

Факторные нагрузки: слева – без вращения, справа – с вращением факторов

Также можно будет рассчитать значения факторных переменных командой «Значения» – «Коэффициенты факторов», записав формулу в соответствующей шапке пустого столбца (к примеру, для первого фактора):

F1 = 0,135245·KCL – 0,382174 ∙ HO – 0,243827∙NACl –

– 0,193830 ∙ X – 0,208841·UP_BORDE + 0,387864·GDA.

153

Таблица 5.15 Значения факторов по каждой латентной переменной

Вычислим значения факторных переменных и построим матрицу корреляций с исходными переменными факторного анализа (табл. 5.16). Из матрицы видно, что факторы не коррелируют друг с другом.

Таблица 5.16

Матрица парных корреляций исходных и факторных переменных

Обращают на себя внимание примерно одинаковые значения корреляции факторов F1, F2, F3 c факторными нагрузками

154

исходных переменных из таблицы. Вместе с тем корреляции между самими факторами отсутствуют.

Таким образом, из представленных для анализа переменных можно выделить три фактора, первый из которых в совокупности представляет вероятность проявления газодинамических явлений. Второй фактор – геопространственный, а третий – химические компоненты. По первому из них получено, что они объясняют 32 % общей дисперсии, по второму – 30 %, а по третьему 25 %. Это свидетельствует о том, что руководству предприятия требуется обратить самое серьезное внимание на исследование выбросоопасности пластов.

Также существенное влияние на качество руды оказывают геопространственные оставляющие, изменение которых необходимо изучать и уметь прогнозировать.

5.5. Факторные нагрузки, общности и характерности

Ранее отмечалось, что общность – это часть дисперсии переменной, обусловленная действием общих факторов. Характерность – часть ее дисперсии, обусловленная спецификой данной переменной и ошибками измерения. Иначе говоря, общность – это суммарный вклад всех факторов в единичную дисперсию переменной, а характерность – это разность полной единичной дисперсии переменной и ее общности. Общность переменной i равна сумме квадратов ее нагрузок по всем М факторам (по строке факторных нагрузок). В программах чаще всего её вычисляют следующими методами:

1. Способ наибольшей корреляции. В этом случае общность переменной приравнивается наибольшему коэффициенту корреляции данной переменной с остальными и на главной диагонали редуцированной корреляционной матрицы записывается этот коэффициент без учета знака. Этот способ оценки общностей рекомендуется при большом числе переменных, порядка двадцати.

155

2. Способ квадрата коэффициента множественной корреляции. Для общности справедливо неравенство:

(КМК), который известен из регрессионного анализа как коэффициент множественной детерминации (КМД). Значение КМД является мерой дисперсии переменной, общей со всеми переменными исследуемого множества, в то время как общность является мерой дисперсии i-й переменной, обусловленной общими для нескольких переменных факторами. Значения КМК для каждой переменной удобно вычислять с помощью обратной корреляционной матрицы по формуле

где rii 1 – диагональный элемент матрицы, обратной корреляци-

онной матрице. Обратная матрица представлена в табл. 5.17, её диагональные элементы приведены в табл. 5.18.

Таблица 5.17

Матрица, обратная корреляционной

156

Таблица 5.18 Диагональные элементы обратной матрицы

В табл. 5.20 общность вычислена двумя способами. Наиболее близки к единице её значения у GDA и HO. Они тесно связаны друг с другом, о чём свидетельствует высокая кореляция – минус 0,95 (табл. 5.19). Следом идёт фактор геопространства, но у него уже общие переменные имеют вклад 0,533, немногим более половины. Корреляция высотной отметки с координатой Х также меньше и равна 0,71. У химических компонентов эта величина ещё меньше. Даже если эта модель построена корректно, мы не можем ожидать, что выделенные общие факторы будут содержать всю дисперсию в переменных. Они будут содержать только ту часть, которая принадлежит общим факторам и распределена по нескольким переменным.

Таблица 5.19 Матрица парных коэффициентов корреляций

157

Общности и характерности совместно полностью представляют дисперсии признаков, равные единице. Для шести переменных можно записать:

h2j d 2j = 3,454017 + 2,545983 = 6.

Тогда от общей дисперсии общности объясняют

3,454017 : 6∙100 = 57,6 %, а характерности 2,545983 : 6∙100 = = 42,4 %.

159

6. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

6.1.Случайная функция

6.1.1.Общие понятия

Впредыдущих разделах наблюдаемые данные рассматривались как случайные величины без учета порядка их появления во времени или пространстве. Если пространственно-временные характеристики и присутствовали в данных, они рассматривались как традиционные переменные, причём при перемешивании строк в данных результаты анализа не изменялись. Вместе с тем в математике и горной промышленности используется большой класс функций, в которых применяются результаты измерений величин во времени или пространстве. Например, при обработке профильной линии наблюдательных станций наклон рассчитывается как разность высотных отметок двух соседних реперов. Причём нельзя изменить произвольно последовательность их расположения, в этом случае меняется и результат. На принципе обработки последовательных измерений в пространстве (или во времени) основан и конечно-разностный метод дифференцирования. Собственно, вычисленные наклоны

иесть первая производная от оседаний соседних реперов.

Во многих случаях объект производства может не менять своё местоположение, но у него с течением времени меняются какие-либо свойства. В экономике актуальной является задача изучения характера изменения спроса или стоимости продукта за какой-либо период времени. Например, анализ характера изменения стоимости акции ПАО «Лукойл» за последние годы. В течение многих лет с некоторым промежутком времени в одном и том же месте наблюдают изменение уровня зеркала крупных рек, изменение концентрации солей в рассолосборниках или температуру окружающего воздуха на метеостанции [6; 8; 10]. В приведенных примерах ряд измерений будет функцией

160