книги / Линейная алгебра

О траж ением называют оператор, переводящий каждый вектор пространства Еп в симметричный ему вектор относительно (п — 1)- мерной плоскости. При этом обязательно есть векторы, которые ме­ няют лишь направление на противоположное. Такие векторы явля­ ются определяющ ими векторам и данного отражения. Они коллинеарны разности любого вектора и его образа. Если выбрать в Еп ортонормированный базис e j, е^, ..., е® такой, что е\ является одним из определяющих векторов отражения, то матрица отражения в этом базисе (см. п. 3.2) будет иметь вид

1 /

к — й столбец

Матрицу (6.33) отражения можно представить в виде

\aeV41 2

где Е - единичная матрица порядка n, с*е\ - один из определяющих векторов отражения.

В произвольном ортонормированном базисе е евклидова простран­ ства Еп рассматриваемое отражение будет иметь матрицу

где v - столбец координат определяющего вектора рассматриваемого отражения в базисе е.

Отражение с матрицей (6.35) в иностранной литературе называют также преобразованием Хаусхолдера. Матрица (6.35) является симметрической и ортогональной, т.е. удовлетворяет условиям Н =

ят = я -1.

с помощью отражений к треугольному виду.

Чтобы получить нули в первом столбце матрицы А ниже главной

вложим ее в правый нижний угол единичной матрицы третьего по­ рядка, т.е. составим матрицу U\ = # 1 (матрица U\ совпадает с ма­ трицей # i, потому что в качестве вектора х взят весь первый столбец матрицы А) и найдем матрицу

Для того, чтобы в матрице А\ получить нули ниже главной диагонали во втором столбце, отобразим вектор х = (0, —3)т в вектор х' = = (—1®|, 0)т Для этого положим z = (1, 0)т ,

v = x — х' = х + \x\z = (0, - 3 ) т + 3(1, 0)т = (3, - 3 ) т ,

составим матрицу

тт „ 2vvT Hi — Е -----j—ту

1«12

вложим ее в правый нижнии угол единичной матрицы третьего по­ рядка, т.е. составим матрицу

— ортогональная матрица.

подобную данной. Так поступают и при приведении произвольной квадратной матрицы А к подобной матрице почти треугольного вида (см.[3], с. 182-184]). В этом случае на г-м шаге получают матрицу А{ = HiAi-iH l“ 1 = HiAi-iHi (г = 1 , 2, ..., fc), подобную матрице AQ = А. Процесс продолжают до получения матрицы нужного вида. Например, чтобы привести матрицу

А=

кподобной матрице почти треугольного вида, сначала получим нули

в позициях аз1 и 041. Для этого возьмем х = (1, 2, 2)т , z = (1, О, 0)т и построим вектор v = х + \x\z = (4, 2, 2)т и матрицу

Вложим матрицу Н\ в правый нижний угол единичной матрицы че­ твертого порядка. Тогда получим матрицу

Теперь получим нуль в позиции 042- Для этого возьмем х = (3, 4)т , z = (1 , 0)т и построим v = х + \x\z = (8, 4)т и матрицу

Вложим матрицу Н2 в правый нижний угол единичной матрицы че­

1 2 - 1 3 0 7

Матрица А2 уже нужного вида - почти треугольная и подобна дан­ ной.

Если не требуется, чтобы упрощенная матрица была подобной ис­ ходной, то отражения можно применять последовательно к столбцам и строкам. Для примера приведем матрицу

к двухдиагональной форме. Сначала получим нули в позициях а2\ и аз1. С этой целью возьмем х = (50, 50, 25)т , z = (1 , 0, 0)т Построим вектор v = х — \х\z = (—25, 50 25)т и матрицу

Затем найдем матрицу

Теперь получим нуль в позиции 013. Для этого возьмем векторы х = (— — |)т и z = (1,0)т Построим вектор v = х — \х\z = = (— |» — |)т и матрицу

Вложим матрицу Н2 в правый нижний угол единичной матрицы

третьего порядка. Тогда получим матрицу

и найдем матрицу

Осталось получить нуль в позиции 032. Для этого возьмем х =

=— |)т и так же, как матрицу Vi, построим матрицу

и найдем матрицу

A3 = U2A2 =

Матрица Аз уже нужного вида - двухдиагональная.

Для любого ортогонального оператора ^>, действующего в евкли­ довом пространстве ЕП) существует в Еп ортонормированный базис, в котором матрица А оператора <р имеет следующий канонический

12*

Здесь по главной диагонали располагаются действительные собствен­ ные значения оператора <ри клетки второго порядка вида

соответствующие парам сопряженных комплексных корней Aj = = otj+ify и Aj = otj — i(3j характеристического многочлена оператора

<Р-

На матричном языке это свойство означает, что любая ортого­ нальная матрица А приводится некоторой ортогональной матрицей Т к каноническому виду В, т.е. имеет место равенство

Т~1АТ = В.

Пользуясь только что приведенным свойством ортогональных опе­ раторов, нетрудно показать, что всякий ортогональный оператор может быть представлен как произведение некоторого числа про­ стых вращений и отражений.

Построение ортогонального базиса в Еп, в котором матрица ор­ тогонального оператора имеет канонический вид, проиллюстрируем на следующем конкретном примере.

П ример 5. Ортогональный оператор <р в ортонормированном ба­ зисе е имеет ортогональную матрицу

Построить базис, в котором оператор р имеет матрицу В канониче­ ского вида и найти матрицу В.

Решение. Характеристический многочлен

оператора (р имеет корни Ai = 1, Аг.з = ^ ± i %*

При А = 1 система (А - АЕ)Х = 0 имеет ФСР, состоящую из одного решения, например, из решения х = (1, 1, 1)т Нормируя его, получим вектор

х