книги / Линейная алгебра
..pdfгде д(х2, ... , хп) — квадратичная форма уже только от переменных
#2) ***>
Введем новые переменные по правилу |
|
|
||
2/1 |
= |
<*11* 1+ |
+а1пхп, |
|
2/2 |
= |
«2, |
|
|
Уп |
= |
• |
|
|
В новых переменных квадратичная форма / |
примет вид |
|||
Дг/1 , 1/2> . . . . |
Уп) = -7-J /1 + у(уг, |
уз, .... Уп)- |
||
|
|
Он |
|
|
С квадратичной формой д можно поступать аналогично. Не более чем через п—1 шагов придем к каноническому виду квадратичной формы /. Результирующее преобразование переменных будет равно произ ведению последовательно выполненных преобразований переменных. Пусть Q - его матрица, А - матрица квадратичной формы, С - диа гональная матрица полученного канонического вида. Тогда формула (7.12) из п.7.3, принимает вид С = QTAQ.
Пример. Методом Лагранжа привести к каноническому виду ква дратичную форму
f(x 1, Д?2, Хп) = 2X1X2 + 2хххз - 6X2X3
и указать невырожденное преобразование переменных, осуществля ющее такое преобразование квадратичной формы.
Решение. В данной квадратичной форме отсутствуют члены с ква дратами переменных, но есть, например, член 2х\Х2. Поэтому совер шим сначала невырожденное преобразование переменных
XI = y i +2/2, *2 = У1 -У2 |
Хз = Уз |
|||
с матрицей |
|
1 |
0 |
' |
' |
1 |
|||
Q1 = |
1 |
-1 |
0 |
|
, |
0 |
0 |
1 |
|
Врезультате получим,
/= 2у \ - 2yl - 4у1у3 + 8у2уз-
Здесь коэффициент при у\ отличен от нуля. Поэтому можно выде лить полный квадрат по у\:
Введем новые переменные по правилу
*1 = 2yi - 2у3, *i = у2, *з = Уз,
т.е. совершим преобразование переменных
1
У1 = 2*1 + *з, У1 = *2, Уз = *з
сматрицей
Вновых переменных квадратичная форма / принимает вид
Вквадратичной форме
д - - 2 z\ + 8z2z3 - 2*1
выделим полный квадрат по *2:
/ = |
^ ( - 2 * 2 + 4z3 ) 2 + 62 |
$. |
Введем новые переменные по правилу
* 1 = *1 , * 2 = —2*2 + 4*з, * 3 = *3 ,
т.е. совершим преобразование переменных
*1=^1, |
*2 = —2^1 + ^ 2 , |
*з= ^ з |
с матрицей
В новых переменных квадратичная форма / уже имеет канонический вид
/ = 2 *1 —2*2 + 6 ^3 -
Линейное преобразование переменных, сразу приводящее квадрат
тичную форму / |
к полученному виду, имеет матрицу |
|
|
||||||
Q = Q1Q2Q3 = |
/ 1 |
1 |
0 \ / |
1/2 |
0 |
—1 |
1 |
0 |
0 \ |
1 |
- 1 0 |
|
0 |
1 |
о |
0 |
- 1/2 |
2 = |
|
|
\ о о 1 / \ о о 1 |
0 |
0 |
1/ |
|||||
|
|
/ |
1/2 - 1 /2 |
|
3 \ |
|
|
|
|
|
|
= |
1/2 |
1/2 |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
V |
0 |
0 |
|
1 / |
|
|
|
т.е. определяется формулами |
|
|
|
|
|
|
|||
|
( |
XI |
4*1 |
— |
|
+ |
3*з, |
|
|
|
*2 |
2*1 |
+ |
2*2 |
|
*3, |
|
|
|
|
ЯЗ |
|
|
|
|
*3 |
|
|
Столбцы матрицы Q этого преобразования переменных, т.е. векторы
el = ез = (з, - 1 , 1)Т
составляют канонический базис квадратичной формы / .
Учитывая формулу (7.12) из п. 7.3. изменения матрицы квадра тичной формы и тот факт, что симметрическая матрица является матрицей квадратичной формы, доказанное утверждение можно пе рефразировать для матриц следующим образом:
для лю бой сим м етрической матрицы А сущ ествует та кая невырож денная матрица Q, ч т о QTAQ - диагональ ная матрица.
При построении такой матрицы Q следует по матрице А составить квадратичную форму, привести ее к каноническому виду и указать преобразование переменных, осуществляющее это приведение формы к каноническому виду. Матрица этого преобразования переменных и будет искомой. Так, в силу предыдущего примера, для симметри ческой матрицы
|
0 |
1 |
1 |
А = |
1 |
0 |
- 3 |
|
1 |
- 3 |
0 |
квадратичной формы / .
Для нормального вида квадратичной формы выполняется следую щий закон инерции:
Число положительных и число отрицательных квадратов в нор мальном виде, к которому приводится квадратичная форма не вырожденным линейным преобразованием переменных, не зави сит от выбора этого преобразования переменных.
Число положительных квадратов в нормальном виде квадратич ной формы называют ее положительным индексом инерции и обозначают через i+ ; число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы — ее отрицательны м индексом инер ции и обозначают через г_. Очевидно, что i+ + = г. Разность между числом положительных и числом отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы, т.е. i+ — г_, называют си г натурой квадратичной ф орм ы и обозначают через 8. Если из вестны i+ и i- , то определяются г = t+ + г_ и s = — i _ . Обратно, если известны ранг г и сигнатура s квадратичной формы, то из со отношений г = i+ + i _ , s = г+ — г_ определяются i+ и г_
Две квадратичные формы эквивалентны между собой тогда и толь ко тогда, когда они могут быть приведены к одинаковому нормаль ному виду. Поэтому из закона инерции вытекает такой признак эквивалентности квадратичны х ф орм :
Две квадратичные формы тогда и только тогда эквивалентны между собой, когда равны их ранги и сигнатуры.
Для матриц закон инерции квадратичных форм перефразируется следующим образом:
Для любой симметрической матрицы А существует такая не вырожденная матрица Q, что QTAQ — диагональная матрица, на диагонали которой располагаются единицы со знаком + или
—и нули. Количество единиц со знаком + и единиц со знаком
—не зависит от выбора матрицы Q.
При построении матрицы Q, удовлетворяющей этому утвержде нию, следует по матрице А составить квадратичную форму, привести ее к нормальному виду и найти матрицу Q линейного преобразова ния переменных, осуществляющего приведение квадратичной формы к нормальному виду.
7.6.Знакоопределенные квадратичны е ф орм ы
Квадратичную форму /( х i, ®2>•.., хп) называют положительно (отрицательно) определенной или полож ительно (отрицательно знакопостоянной, если она при любых х = (®i, Х2, ..., хп)т ф 0 принимает положительные (отрицательные) значения, т.е. если при всех х ф 0
хтАх > 0 (хтАх < 0).
Бели же при всех х квадратичная форма принимает значения
хтАх > 0 (хтАх < 0),
то ее называют полож ительно (отри цательно) полуопределенной или неотрицательной (неполож ительной).
Квадратичную форму, принимающую как положительные, так и отрицательные значения, называют неопределенной или знакопере менной.
Если квадратичная форма /( х i , Х2, ... , х„) - положительно опре деленная, то, очевидно, квадратичная форма —/( х i , Х2, . . . , хп) - от рицательно определенная.
У положительно определенной формы все коэффициенты при кваг дратах переменных, определитель матрицы квадратичной формы и все характеристические числа этой матрицы положительны.
Приведем два признака положительной (отрицательной) опреде ленности квадратичных форм.
1. Д л я того чтобы квадратичная форма /( х i, х г ,.. . , хп) была по ложительно (отрицательно ) определенной, необходимо и до статочно, чтобы она приводилась к каноническому виду, со стоящему из п членов с положительными (отрицательными) коэффициентами, или, что то же самое, чтобы она приводи лась к нормальному виду с п положительными (отрицатель ными) квадратами.
2.К ритери й Сильвестра. Для того чтобы квадратичная форма /(x i, Х2, ..., хп) = хт Лх была положительно определен ной, необходимо и достаточно, чтобы все последовательные угловые миноры матрицы А были положительными, т.е. чтобы
Оц |
012 |
A i = ап > 0 , Аг = |
> 0 |
О21 |
022 |
ап |
<»12 |
013 |
|
Дз = а2\ |
022 |
023 |
Ап = \А\ > 0. |
азг |
032 |
033 |
|
Для того чтобы квадратичная форма f(x \,х2, ..., хп) = хТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки последовательных угловых миноров матрицы А чередовались, начиная со знака минус.
Например, квадратичная форма
/(* 1| *2| ... , хп) = 2*1 + х\ + l l x l - 2*1X2 + 4Ж1®3 - 6*2*3
с матрицей
2 - 1 |
2 |
|
- 1 |
1 |
- 3 |
2 |
-3 |
И |
положительно определенная, так как все угловые миноры матрицы А
А\ = 2, А 2 |
2 |
- 1 |
= 1, Д3 = |
2 |
- 1 |
2 |
1 |
|
1 |
1 - 3 |
|||||||
- 1 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
2 |
- 3 |
11 |
|
положительные.
На практике при выяснении вопроса о положительной (отрица тельной) определенности квадратичной формы целесообразно поль зоваться первым признаком, т.е. приводить квадратичную форму к каноническому (или нормальному) виду и по нему делать заключение. Это объясняется тем, что приведение квадратичной формы к канони ческому (нормальному) виду требует примерно столько же операций, сколько нужно для вычисления лишь одного определителя матрицы квадратичной формы. Кроме того, по каноническому или нормаль ному виду квадратичной формы можно судить о ее неопределенности (если есть положительные и отрицательные квадраты) и полуопределенности (если все члены канонического вида либо положительные, либо отрицательные, но их меньше, чем число переменных в квадра тичной форме), чего нельзя сделать по критерию Сильвестра. На пример, у квадратичной формы
f(x 1 , х2, х3) = 2хгх2+ |
2хгх3 - 6х2х3 |
||
матрица |
0 |
1 |
1 |
|
|||
А = |
1 |
0 |
- 3 |
|
1 |
- 3 |
0 |
Чтобы найти коэффициенты канонического вида квадратичной формы в главных осах, нужно найти собственное значение ма трицы квадратичной формы, причем каждое собственное значе ние берется столько раз, какова его алгебраическая кратность. По найденным собственным значениям Х\, Х2г . . Лп выписыва ется канонический вид квадратичной формы в главных осях:
Aiy? + A2y 2 + - + A „ ^ . |
(7.20) |
При построении канонического ортонормированного базиса ква дратичной формы, т.е. столбцов ортогональной матрицы Q, нужно при каждом А,- построить ФСР системы (А —А%Е)Х = 0. Решения каждой такой ФСР ортонормировать. Полученные таким образом векторы-решения всех ФСР составят искомый базис или, что то же самое, дадут все столбцы матрицы Q. По строкам матрицы Q вы писывается ортогональное преобразование переменных, приводящее квадратичную форму к каноническому виду в главных осях. Поясним это правило на примере.
П ример. Квадратичную форму
f(x 1 , х2, х3) = х\ - 2®2 + |
+ 4X IX 2 - 8X1X3 - 4х2х3 |
привести к главным осям и указать ортогональное преобразование переменных, осуществляющее такое приведение.
Реш ение. Данная квадратичная форма имеет матрицу
Корнями ее характеристического многочлена
1 - |
А |
2 |
- 4 |
|
\А —AJE7|= |
2 |
- 2 - А |
- 2 |
= -А 3 + 27А + 54 |
|
- 4 |
- 2 |
1 - |
А |
являются Ai = 6, А2 = А3 = —3. Поэтому рассматриваемая квадра тичная форма в главных осях имеет канонический вид
/ — §У\ ~ 3у% —Зу|.