книги / Линейная алгебра
..pdfб) Система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
{ ^ - = «ц® ! + ... + aini „ ,
(5.13)
=атх 1+ •••+ Onn*m
вматричной форме записывается в виде
^ = А Х , |
где X = (* i,.. •,*п)Т |
А = (оу). |
(5.14) |
Ее решение, удовлетворяющее начальным условиям |
|
||
П |
=0 ~ (®Ю, •••, ®по) — Хо, |
|
(5.15) |
находится по формуле |
|
|
|
|
X = eAtX 0. |
|
(5.16) |
Если матрицу eAt представить по формуле (5.8) из п.5.3 в виде спектрального разложения
eAt = Y f t k i + iZk2 + •••+ |
(5.17) |
к = 1 |
|
то решение (5.16) системы (5.13), удовлетворяющее начальным усло виям (5.15), примет вид
X = + •••+ t ^ Z knh]e ^ | Хо. (5.18)
Заметим, что если в качестве Хо брать Хо = (ci,C2, .. .,Сп), где ci, С2, ..., сп - произвольные постоянные, то формулы (5.16), (5.18) дают общее решение системы (5.13).
Пример 1. Найти решение системы
{ 4jLL = боя + 2х2 + 2х3,
= - 2 * i + 2*2,
¥= 2х3,
удовлетворяющее начальным условиям |
|
|
®ilt=o = |
^ |
If=о |
Реш ение. В матричной форме данная система записывается в виде
f = - .
где
а начальные условия в виде X\t=0 = X Q = (0 ,1 ,1)Т
Для того, чтобы воспользоваться формулой (5.16), нужно знать матрицу ем . Вычислим ее. В примере 4 п. 3.6 был найден мини мальный многочлен у>(А) = (А — 4)2(А — 2) матрицы А . За опреде ляющий многочлен ф(Х) интерполяционого многочлена Р(А) примем
ф{А) = (р(А) = (А — 4)2(А — 2). Тогда по формулам (5.3) из п. 5.1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
« А ) = 3 ^ 1 = (Л- 4 )* |
|
|||
и по формуле (5.5) из п.5.1 для функции /(А ) = еА< |
|
||||||||
Р(А) |
= |
[ап + <*12(^ — 4)](А — 2) + a2i(A — 4)2 = |
|
||||||
|
= |
[\*“ + |
^ 4t(21 |
- 1)(А - |
4)](А - |
2) + |е«(А - 4)2, |
|
||
так как по формулам (5.4) из п.5.1 |
|
|
|
|
|||||
аи |
= |
«At |
|
е4‘ |
|
( |
е А< |
V |
е |
А — 2 м |
- ~ г - |
“ 12 = |
(х ^ |
|
)х=4 = Т ( 2 , - |
1 )' |
|||
|
|
|
|||||||
C*2l |
= |
„At |
|
.21 |
|
|
|
|
|
(Х -4 У А=2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полагая eAt = Р(А), получаем |
|
|
|
|
|
||||
= ^e -[E + \ ( 2 t - l ) ( A - 4 E ) ] ( A - 2 E ) + ^ ( A - 4 E ) 2 = |
|
||||||||
|
|
'(2< + 1)е4‘ |
2<е4‘ |
|
2<е4‘ |
|
|||
|
|
—2<e4t |
|
(1 - |
2<)е4‘ |
(1 - 2<)е4‘ - е2‘ |
|
||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь по формуле (5.16) находим
4<е4‘
X = eAtX0 = I (2 - 4*)е4‘ - е2*
.2 1
Если воспользоваться формулой (5.18), то сначала следует найти ком поненты матрицы А. Для этого по формуле (5.8) из п.5.3 для любой функции /(Л ), определенной на спектре матрицы А , получаем
f(A ) = f(4)Zn + f'(4)Z12 + f(2)Z21. |
(5.19) |
Полагая в этом разложении поочередно /(А ) = 1, |
/(А ) = А — 4, |
/(А) = (А — 4)2, приходим к системе |
|
( %и + ^21 = Е,
<Z\2 — 2Z21 = А —4Е,
{4Z21 = ( A - 4 E ) 2,
из которой находим
|
/1 0 0 \ |
/ 2 |
2 |
2 \ |
/0 0 0 \ |
|||
Zn = |
0 1 |
1 , Z12 = |
- 2 |
- 2 |
- 2 |
, Z2i = |
0 |
0 - 1 ] |
|
\0 0 0 / |
V 0 |
0 |
0 / |
\0 0 1 / |
|||
Теперь по формуле (5.18) имеем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
/ |
4/е4* |
|
\ |
X = |
{[Z n |
+ tZ12]eAi + Z21e2t} Х 0 = |
I (2 - 4*)e« - |
е2‘ |
1 |
|||
в) Для системы неоднородных дифференциальных уравнений с по строенными коэффициентами
|
|
dX |
|
(5.20) |
|
где |
|
dt = AX + f, |
|
||
|
|
|
|
||
* = |
( * ! , . . . , * „ )т , A = {ati), / = (/i |
/п (* »Т. |
|
||
решение, удовлетворяющее начальным условиям |
|
|
|||
|
|
*|<=0 = Хо, |
|
(5.21) |
|
находится по любой из следующих формул: |
|
|
|||
X |
= |
ем Xo + J eA(‘ - r)/(r)d r, |
v |
(5.22) |
|
X |
|
|
(5.23) |
||
= |
*^к2 + •••+ *Пк 1^fcnfc]eAfct| Хо + |
||||
|
|||||
+ jt ед(*-т>/(г)</т
П ример 2. Найти решение системы |
||
%■ |
= |
6X1 + 2х2 + 2х3 + а е 4 , |
{# |
= |
—2xi +2x2, |
= |
2х3, |
|
удовлетворяющее начальным условиям X\t=Q = Х$ = (0 ,1 ,1)Т
Реш ение. |
Выражение |
|
|
ел*х о |
= ( X ) [ ^ i + ^ f c 2 + ... + <n’," % n k]eA*1| x 0 = |
||
|
,fc=l |
|
|
|
/ |
4<е4‘ |
\ |
|
= I (2 - |
4*)е4‘ - |
ё2< 1 , |
входящее в формулы (5.22), (5.23), найдено в предыдущем примере. Чтобы вычислить интеграл, входящий в эти формулы, составим сна чала спектральное разложение для матрицы еА(*~т\ Для этого в фор муле (5.19) положим /(А ) = еА^” т). Тогда получим
e M t - T ) = e4(t-r)Z n + _ T)e*(t-r)Zl2 + e2(*-T)Z2i . (5.24)
Матрицы Zkj также найдены в предыдущем примере. Теперь нужный интеграл распишется в виде
t |
t |
J еА(г~т^f(r)dr = Zn J e4^” T^ /(r)d r+ |
|
о |
0 |
t |
t |
+Z 12 J (t - |
r)e4^ " T^/(r)dr + Z 21 J e2(t“ T)/ ( <r)dr. |
о |
о |
Вычислим интегралы, стоящие в правой части этого равенства:
|
= J e4{t~T )y |
0 jdT= |
ate4t ' |
|
|
|
О |
|
|
||
|
|
|
О |
|
|
j(t - |
T)e4^~T^f(r)dr = J ( t - |
r)e4(,_T) ( |
4т0' |
dr J= |
jatJa4t^0' |
о |
о |
\ |
n |
|
n |
J e2(‘ - T)/(r)d r = J e2(‘ - T) ( 0Ca ^dr = fe 2t(e2t — 1)
Таким образом, |
|
|
|
|
t |
|
ate4* |
|
|
JeA(*-T)/(r )d r = |
Zn |
О |
+ %12 |
|
о |
|
О |
|
ate4‘ (l + 1) |
+Z21 |
/ f e 2‘ (e2* |
1)\ |
||
I |
о |
О |
—at2e4* |
|
|
V |
|
О |
|
Следовательно, искомое решение
/ |
4te4* |
\ |
ate4*(l + t) |
X = |
(2 - 4t)e4* - e2‘ |
j + |
—at2e4‘ |
Глава 6
Евклидовы и унитарные пространства
6.1.Определение евклидова п ростран ства . М атрица Грама
Говорят, что в n-мерном действительном линейном пространстве Х п определена операция скалярного умнож ения в ек тор ов, если любой паре векторов х и у из Х п поставлено в соответствие действи тельное число, которое называется скалярным произведением век т о р о в х и у и обозначается символом (ж, у), и если для любых х, у} z из Х п и любого действительного числа а выполняются следующие аксиомы:
1)(Х>У) = (у>х) у
2)(х + y,z) = (x,z) + (y,z),
3)(ах,у) = а -(х,у),
4)(х, х) > 0 при х ф 0 и (х, х) = 0 при х = 0.
Из второй и третьей аксиом следует, что любую конечную линейную комбинацию векторов можно умножать скалярно на другую линей ную комбинацию векторов по правилу, аналогичному правилу умно жения многочлена на многочлен, т.е. по формуле
к |
|
|
|
|
( |
|
Pj bj |
otil3j (а,-, bj). |
(6 ‘1) |
^ у aiai5^ 1 |
||||
<=i |
j=i |
|
|
|
Действительное линейное n-мерное пространство, в котором опр^ делено скалярное умножение векторов, называют n-мерныМ евкл^_ довы м п ростран ством и обозначают через Еп. При любом п дей ствительное n-мерное линейное пространство можно многими спое^ бами превратить в евклидово пространство. Если в пространстве ^ фиксирован базис ei, ег, . . е„, то любые векторы х и у имеют в н^м разложения
n |
n |
иформула (6.1) для векторов х и у дает
пп
|
(х )У)= |
У |
! |
(е*) ej ) |
( 6.2) |
|
»=1i=l |
|
|
||
или в матричном виде |
|
|
|
|
|
|
(х,у) = |
1 ТГу, |
(6.3) |
||
где положено |
|
|
|
|
|
=(*1,*2,. ••,*п)Т, |
|
|
У=(У1,У2, •••»Уп)Т, |
||
011 |
|
|
( |
(ei, ej) |
(ei,e„) |
Уп1 |
9пп / |
|
\(en,ei) |
(еп, еп) |
|
Матрицу Г называют матрицей Грама базиса ei, ег, . . еп. Аналогично определяют матрицу Грама для любой конечной системы векторов ai, о>2у . . а*. Она симметрическая, так как (а,-,а; ) = (а;*,а«). Определитель матрицы Грама любой линейно независимой системы векторов положителен, а линейно зависимой системы векто ров равен нулю. Поэтому все главные диагональные миноры матрицы Грама базиса ei, в2, ..., еп положительны, как определители матриц Грама линейно независимых подсистем системы векторов ei, ег,
еп.
Для задания в линейном пространстве Х п скалярного произведе ния векторов при фиксированном базисе ei, в2, ..., еп нужно в фор муле (6.3) взять в качестве матрицы Г какую-либо симметрическую матрицу порядка п с положительными главными диагональными ми норами (положительно определенную симметрическую матрицу). На пример, в линейном пространстве скалярное произведение произ вольных векторов х = (® i,ж2, хз,х^)ти у = (yi, уг,Уз,У4)т , заданных координатами в фиксированном базисе ei, в2, ез, 64, можно ввести по правилу
f У1 \
!/2
(ж, у) = а?т з/ = ( * 1,Х 2,* з ,* 4)
Уз
\у* /
= *1У1 + *21/2 + *3!/3 + ®4У4, |
(6.4) |
т.е. полагая в формуле (6.3) матрицу Г равной единичной матрице четвертого порядка, а можно и другими способами, например, по формуле
(г, у) = хт Гу = xiJ/1 - |
x i2/2 ~ x2yi + 2х2у2 ~ |
||||
— Х2УЗ — ХзУз + 2х з2/з — ®32/4 — ®4j/3 + 2X42/4, |
|||||
т.е. полагая в формуле (6.3) |
|
|
|
|
|
1 |
- 1 |
0 |
0 |
\ |
|
- 1 |
2 |
- 1 |
|||
0 |
|
||||
0 |
- 1 |
2 |
- 1 |
|
|
0 |
0 |
- 1 |
2 |
/ |
|
|
|
|
|||
Возможны и другие правила задания в X 4 скалярного произведе ния векторов. Но каждый раз матрица Г должна быть симметриче ской положительно определенной.
Матрица Грама Г' базиса е' и матрица Грама Г базиса е связаны
соотношением |
|
Г = Г ТГГ, |
(6 .5 ) |
где Т — матрица перехода от базиса е к базису е'
6.2 . Длины и углы. О ртогон альн ость. П роцесс ортогонализации
Длиной |х| век тор а х евклидова пространства Еп называют ве
личину |
|
|
1*1 = >/(*!*)• |
(6-б) |
|
Н орм ировать век тор х — значит заменить его вектором |
|
|
хо |
|
(6.7) |
Углом м еж ду векторам и х |
и у евклидова пространства Еп |
|
называют угол tp> определяемый соотношением |
|
|
COS (р = (*.у) |
О < <Р < 7Г. |
(6 .8) |
1*1-Ы ’ |
|
|
Векторы х и у евклидова пространства называют ортогон ал ь ными, если (ж, у) = 0. С истем а век тор ов называется о р т о г о нальной, если в ней все векторы попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и в ней все векторы нормированы. Всякая ортогональная система нену левых векторов линейно независимая.
От любой линейно независимой системы векторов ai, 02, ..., ат евклидова пространства можно перейти к ортогональной сцстеме не нулевых векторов bi, 62, ..., 6m, состоящей также из т векторов. Та кой переход совершается с помощью процесса ортогоналиэации Грам а-Ш м идта. Он состоит в следующем.
Полагают 61 = a i, 62 = <2161 + 0.2 и из условия
(61,62) = (6i;ai6i +02) = c*i(6i,6i) + (61, аг) = 0
находят коэффициент ai = —(61, « 2) / (61,61).
Затем полагают 63 = (3\Ь\ + /?2&2 + аз и из условий
(61.63) |
= |
/?i(6i, 61) + |
(61, аз) = |
0, |
(62.63) |
= |
^2(62,62) + (62, аз) = |
0 |
|
находят коэффициенты |
|
|
|
|
(61, а3) |
_ |
(62, аз) |
|
|
(61, 61) |
|
(62, 62) ’ |
|
|
Так продолжают до тех пор, пока не получат ортогональную систему ненулевых векторов 61, 62, ..., 6т . Если эти векторы нормировать, то придем к ортонормированной системе векторов.
В заключение отметим, что процесс ортогоналиэации ГрамаШмидта применим и к любой линейно зависимой системе векторов ai, 02, ..., am. Тогда на некотором s-м шаге обязательно получится нулевой вектор 6, и во всех последующих шагах процесса, т.е. при конструировании векторов
6/ = a6i + ... + а 8Ьв + •••+ a/_i6/_i + а/,
/ = з + 1,5 + 2, . . . , т , |
(6.9) |
коэффициент а8 каждый раз можно брать любым, например, можно принимать а8 = 0, так как равенство
(6,, 6j) = а 8(Ь8у Ь8) + ... + or/_i(6tf, 6/__i) + (65, a/) — О
для нулевого вектора Ь8 выполняется при любых значениях аа. Ана логично поступают в случае появления других нулевых векторов bj.
В результате процесса Грама-Шмидта, применяемого к линейно зависимой системе векторов ai, аг, . . аш, получится ортогональная система векторов 6i, 62, ••., Ьт , среди которых обязательно будут нулевые векторы.
Пример 1. Применяя процесс ортогонализации Грама-Шмидта
инормирование векторов, ортонормировать систему векторов
ai = (1,1,0,0)т, |
02 |
= (1,0,1,0)т, |
о з = |
(1,0,0,1)т, |
|||
считая, что в |
скалярное произведение определено формулой (6.4) |
||||||
из п. 6.1 . |
|
|
|
|
|
|
|
Реш ение. |
Положим 61 = ai, 62 = <*161 + |
и найдем сс\ из условия |
|||||
|
(61,62) |
= |
ari(6i,6i) + (fri,a2) = 0. |
|
|||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(61, 02) |
|
|
|
|
|
|
|
(61,61) |
2 |
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11 |
|
1 |
|
Л |
|
T |
|
|
|
|
||||
0 2 — — “ Oi + 0 2 — — “ a l + 0 2 — I g |
|
|
|||||
Далее положим 63 = /?i&i + № 2 + 03 и найдем /?i, /?2 из условий |
|||||||
(bi,63) = /?i(6i>6i) + (^1,03) = 0, |
(62,63) = $2(62,62) + (62,03) — 0. |
||||||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
л _ |
-(*!.» аз) _ |
_ 1 |
a |
-(* 2,аз) |
_ 1 |
||
Р1~ |
(Ь ьМ |
“ |
2- |
р2 |
(6з, 62) |
3- |
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
63 = —-6 1 - |
-62 + a3 |
= - - a i |
|
|
1 |
||
дОг + а3 = |
|
3 ’ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормируя векторы 62, 63, придем к ортонормированной системе