книги / Линейная алгебра

В заключение этого параграфа отметим следующие свойства ре­ шений неоднородной и однородной систем линейных уравнений.

1.Сумма любого решения неоднородной системы и любого реше­ ния ее однородной системы является решением неоднородной системы.

2.Разность любых двух решений неоднородной системы является решением ее однородной системы.

3.Общее решение Хц неоднородной системы представляется в ви­ де суммы общего решения Х 0дн ее однородной системы и како­ го-либо частного решения х° неоднородной системы, т.е. имеет место формула

Особо обратим внимание на то, что в теории систем линейных уравнений большую роль играют ранг матрицы и линейная зависи­ мость линейных форм. Если вычисления проводятся с округлениями, то при вычислении ранга матрицы и выяснении вопроса о линейной зависимости линейных форм (см. п. 2.2 и п. 2.3) могут быть допу­ щены ошибки. Это может весьма сильно сказаться на устойчивости решения системы. В таких случаях обычно для нахождения устой­ чивого решения системы применяют метод регуляризации (см. п. 6.15), и в нем соответствующим образом выбирают значение параме­ тра. Некоторые рекомендации по решению систем линейных уравне­ ний на ЭВМ и итерационными методами приводятся в п. 6.19 и в гл.

8.

2.7.Линейные п одпространства

Подмножество L линейного пространства X называют п одп ро­ странством этого пространства, если оно само является линейным пространством по отношению к определенным в X операциям сло­ жения векторов и умножения их на числа. Так, векторы-отрезки, выходящие из начала координат и лежащие на прямой (плоскости) в обычном трехмерном пространстве Хз векторов-отрезков, соста­ вляют одномерное (двумерное) подпространство.

возьмем какой-либо отличный от нуля определитель второго порядка, например, определитель

и положим в общем решении сначала хз = 1, х* = 0, затем а?з = О, Х4 = 1. Соответственно получим частные решения

X ! = (-1 , 0, 1, 0)т , Х 2 = (0, - 1 , О, 1)т ,

составляющие ФСР данной однородной системы уравнений. Эти ре­ шения составляют один из базисов подпространства L.

Если в пространстве X даны линейные подпространства L\, Li, то множество Lo векторов, принадлежащих как к L\, так и к Li, является подпространством в X. Его называют пересечением под­ п ростран ств L\ и Li и обозначают через LQ = L\ П Li.

Линейным подпространством является также и линейная оболочка объединения подпространств L\ и Li. Это подпространство назы­ вают суммой п одп ростран ств L\ и Li и обозначают через L\+ Li. Оно состоит из векторов, которые представляются в виде суммы двух слагаемых, одного из Ь\, другого т Li, ъ только из таких векторов.

Если пересечение L\ C\Li является нулевым подпространством, то сумму L1+ L 2 называют прямой суммой и обозначают через L\®Li.

Понятие пересечения и суммы подпространств распространяется на любое конечное число подпространств. Для размерностей выпол­

Если пространство X является прямой суммой подпространств L\ и Li, то для любого вектора х из X однозначно выполняется соотно­ шение х = х\ + xi, где xi £ Li, xi € Li. При этом х\ называют про­

х на п ростран ство Li параллельно п одп ростран ству L\. Подпространства Lin Li, удовлетворяющие условию X = Li®Li,

называют прямыми дополнениями друг к другу в простран ­ стве X.

Пример 3. В пространстве X построить для подпространства L\ = < fli,a2 >, где ai = (1, 1, 1, 0)т , ai = (1, 0, 1, 0)т , какое-либо

Любая фундаментальная система решений такой системы уравнений дает базис пересечения L\ П Li.

62, 63 составляют базисы соответственно в L\ и Li* Затем составим матрицу

Ранг этой матрицы равен четырем и один из ее базисных миноров располагается на векторах ei, а2, аз, 6i. Следовательно, эти векторы составляют один из базисов суммы L\ + L2.

В пересечение L\ П L2 входят лишь векторы вида

Переходя в уравнении (2.22,/) к покоординатным равенствам, полу­ чим однородную систему уравнений

относительно ot\> 0.2 , Qf3j 0i, 02, 0з• Ее общим решением является решение

(«1 = 03, «2 = о, а3 = 0 2 + Ра, 01 = -/?2 - /?з, /%, Дз)т,

а одну из фундаментальных систем решений составляют решения

(ах = 0, а2 = 0, а3 = 1, Р\ = - 1, 02 = 1, Рз = 0)т,

(ах = 1, а 2 = 0, а 3 = 1, Pi = -1 , 02 = 0, 0з = 1)т

Подставляя эти решения поочередно в (2.22'), или, что то же самое, в (2.22"), получим векторы

1, задание подпространств L\ и L 2 однородными системами и найти какую-либо фундаментальную систему решений объединения этих си­ стем. Проделаем это.

Подпространство L\ имеет векторное уравнение

L\ = t\ai + 12&2 + <заз-

Переходя в нем к покоординатным равенствам, получим для L\ па­ раметрические уравнения

нию х\ — ®2 — S3 + ха = 0, определяющему подпространство Ь\. Ана­ логичным образом получается общее уравнение х\ + S2 — S3 — Х4 = 0, определяющее подпространство Ьз. Поэтому общими уравнениями пересечения L\ П L 2 будет система уравнений

Одну из ФСР этой системы уравнений составляют, например, решеная Xi = (1 , 0, 1, 0)т , Х 2 = (0, 1, 0, 1)т Они дают один из базисов пересечения L\ П 1 >2-