книги / Методы обеспечения надежности изделий машиностроения

Оценки параметров, полученные методом максимального прав­ доподобия, являются состоятельными, эффективными и имеют минимальную дисперсию.

Рассмотрим применение метода максимального правдоподо­ бия для непрерывного распределения с одним неизвестным пара­ метром. Из непрерывных распределений наиболее употребительно

показательное.

Пример 9.13. Предположим, что проводят испытания на долго­ вечность п изделий. Эти испытания прекращают, если все из­ делия отказали. Времена наработки до отказа изделий обозначим через Т1, Т2у ..., Тп. Допустим, что время наработки до от­ каза имеет показательное распределение с плотностью вероятно­

где Т= 1/Х — среднее значение наработки на отказ. Функцию правдоподобия запишем в виде

L(tu t2, ... , tn, X) = Гехр(^ — X]Г /,)

ИЛИ

InL = п\пК — X

/=1

Найдем частную производную от данной функции по пара­ метру К:

d\nL

dX T - I > i=1

Предположив, что d\nLdX = 0, получим

/= 1

I

Метод максимального правдоподобия применим и к дискрет-, ным распределениям. Рассмотрим это на примере.

263

Пример 9.14. Пусть х (появление или отсутствие отказа) имеет биномиальное распределение, а р рассматривается как оцениваемый параметр, тогда функция правдоподобия запишется в виде

L(XX, X2, . . ,х п- р ) = П р ' ( 1 - р) Х‘ = рХх‘ (1 — р)

i = I

При биномиальном распределении *, = 0 или х,= 1. После логарифмирования имеем

InL = (2*,) 1пр + (я — SJC,-) 1п (1 - р).

Найдем частную производную от данной функции по пара­ метру р:

лениям с двумя неизвестными параметрами рассмотрим на при­ мере закона нормального распределения. Запишем плотность нормального распределения в виде функции

,0г- * Л - k # ]

Функция максимального правдоподобия будем выглядеть сле­ дующим образом:

i = 1

Теперь запишем условия нахождения параметров р, и а2. Первое условие:

Так как а2> 0, то

хг

264

Второе условие:

среднее квадратическое отклонение параметра.

9.7. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛ ЕНИЯ МЕТОДОМ ПРИРАВНИВАНИЯ МОМЕНТОВ

Метод моментов является самым общим методом точеч­ ной оценки неизвестных параметров распределения (предложен

К. Пирсоном). Этот метод нашел широкое применение в статисти­ ке, поскольку он позволяет довольно просто получить резуль­ таты без использования вычислительной техники, в то время как метод максимального правдоподобия требует громоздких вычисле­ ний на ЭВМ.

Суть этого метода состоит в том, чтобы приравнять выбо­ рочное среднее значение параметра и его дисперсию к среднему значению и дисперсии теоретической функции распределения. Математически это можно записать так:

1=1

В зависимости от того, сколько неизвестных параметров вхо­ дит в предполагаемую теоретическую функцию распределения, бе­ рут такое же число уравнений. Для получения оценок параметров распределения составляют столько уравнений, сколько неизвест­ ных параметров. Оценки, получаемые с помощью метода моментов, не являются наилучшими с точки зрения их эффективности. Однако их можно использовать в качестве первых приближений. Рассмотрим на примере нахождение оценок параметров распреде­ ления методом моментов.

Пример 9.15. Испытаниям подвергалось десять домкратов, причем испытания проводились до отказа каждого домкрата при наработках: 50, 60, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 110 ч. Предположим, что наработку до отказа можно описать законом гамма-рас­ пределения с плотностью вероятности:

f(t, X, а) = Ха tn - I е - > . /

г (а)

265

Найти оценки параметров распределения.

Р е ш е н и е . Для определения оценок параметров распредения воспользуемся методом моментов. Для этого найдем сред­ нее значение параметра и его среднее квадратическое откло­ нение по результатам испытаний:

Математическое ожидание для гамма-распределения M[t] =

=а / Х . Дисперсия выражается зависимостью вида а2 = а / Х 2 При­

равняем теоретические и статистические значения и найдем оцен­ ки параметров:

9.8. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В предыдущих параграфах этой главы были рассмот­ рены методы нахождения оценок параметров распределения. Од­ нако какими бы хорошими свойствами эти оценки не обладали, все-таки бывает недостаточным характеризовать качество и на­ дежность изделий только с помощью оценок. Следует отметить, что оценки максимального правдоподобия обычно сходятся к нормальному распределению при увеличении объема выборки. Пусть у — установленный доверительный уровень. Поставим за­ дачу определить интервал значений параметра X, границы ко­

266

каково бы ни было истинное значение X. Исходя из нормального распределения параметра X, можно записать

Отсюда верхняя граница для параметра Xопределится по формуле

Аналогично нижняя доверительная граница будет равна

где w(1+Y)/2 — квантиль функции нормального распределения бе­ рется из табл. 1 приложения; а — оценка среднего квадратичес­ кого отклонения; п — объем выборки.

Дисперсия оценки максимального правдоподобия

где L — функция максимального правдоподобия; X — оценивае­ мый параметр.

Таким образом, полученные доверительные границы оценок параметров распределения могут быть использованы при нахож­ дении доверительных границ функции надежности их подста­ новкой в эту функцию, если она зависит от одного неизвестного параметра. В том же случае, если функция надежности зависит от двух или большего числа параметров, то мы можем найти ее точечную оценку, подставив точечные оценки неизвестных па­ раметров в функцию надежности. Однако в общем случае, ког­ да имеется более одного неизвестного параметра, нельзя под­ ставлять доверительные пределы данных параметров непосред­ ственно в выражение надежности с целью получения доверитель­ ного интервала последней.

Если можно найти среднее значение и дисперсию оценки на­ дежности, то приближенные доверительные пределы функции надежности получим, воспользовавшись общей закономерностью, согласно которой при большом объеме выборки оценка надеж­ ности распределена по закону, близкому к нормальному. Для этого находят среднее значение оценки надежности и ее диспер­ сию, а затем определяют доверительные пределы так же, как и для параметров нормального распределения. Подробно о нахож­ дении нижней доверительной границы для функции надежно­ сти изложено в подразделе 9.3.

267

9.9. ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОЙ БУМАГИ

Вид функции распределения устанавливают и графи­ ческим методом, нанося полученные экспериментальные данные на вероятностную бумагу. Графический способ проверки гипотез с помощью вероятностной бумаги был разработан в 1914 г. аме­ риканским инженером А. Хозеном. Суть построения состоит в следующем. На вероятностной бумаге в прямоугольной системе координат по оси ординат наносят шкалу, соответствующую функ­ ции закона распределения (нормальное распределение, экспо­ ненциальное, распределение Вейбулла и т. д.), а по оси абсцисс — линейную или логарифмическую шкалу.

Основная идея графического метода состоит в том, что подбираю.т такую непрерывную замену координат, при которой гра­ фик функции распределения становится прямой линией. При по­ строении вероятностных бумаг необходимо строить шкалы для функции распределения F(x). Эти шкалы, как правило, являют­ ся неравномерными. При построении вероятностных бумаг для нормального и экспоненциального распределений шкала слу­ чайного аргумента не подвергается преобразованиям — она оста­ ется равномерной; для распределений Вейбулла и логарифми­ чески нормального распределения случайный аргумент подвер­ гается логарифмическому преобразованию.

Вероятностные бумаги используют для решения двух задач. Во-первых, для проверки согласия эмпирического распределения с теоретическим. В этом случае полученные результаты испы­ таний в виде точек располагаются на вероятностной бумаге близ­ ко к прямой линии. Это свидетельствует о согласии опытных данных с тем законом распределения, для которого построена вероятностная бумага. Во-вторых, с помощью вероятностной бумаги можно определить оценки параметров распределения по углу наклона прямой и по отрезкам, которые она отсекает на осях координат.

Вероятностную бумагу для нормального распределения стро­ ят следующим образом. На оси абсцисс откладывают равно­ мерную шкалу для аргумента х, а по оси ординат — значение квантили иа и надписывают величину F(x) (поэтому шкала на оси ординат получается неравномерной). Область изменения аргумен­ та х определяет разность

268

Пусть ширина графика равна L (измеряется в миллимет­ рах). Тогда значения х на оси абсцисс следует откладывать при помощи соотношения

ложения) для иа наименьшее значение будет —3,09 и наибольшее + 3,09. Поэтому уравнение для SF при длине шкалы L = 160 мм

Ha рис. 9.3 показана схема построения графика функции распределения на вероятностной бумаге. Прямая пересекает ось

Р и с . 9.3 . Г р а ф и к ф у н к ц и и н о р м а л ь н о г о р а с п р е ­ д е л е н и я н а в е р о я т н о с т н о й б у м а г е

к следующему. Прологарифмируем уравнение для функции рас­ пределения вида

ной бумаги с использованием экспоненциального закона рас­ пределения по оси абсцисс для аргумента х откладывают равно­ мерную шкалу, по оси ординат для функции F(x) — значения логарифмической функции — In [1 — F{x)]. В результате получают неравномерную шкалу по оси ординат. Минимальное значение

Для построения шкалы х случайного аргумента можно вос­ пользоваться уравнением (9.106). Схема построения графика функции экспоненциального распределения показана на рис. 9.4.

С учетом уравнений (9.111), (9.112) и (9.106) параметр А, на­ ходят, используя выражение

дважды уравнение функции распределения и в результате получим

у = 1п[— 1n(1 - F (* ))]= 6 1 n -^ -= 2,3036(lg*-lga), (9.114)

где

функция распределения Вейбулла.

270

Рис. 9.4. График функции экс­ поненциального распределения на вероятностной бумаге

Из уравнения (9.114) следует, что величина у линейно зави­ сит от \ех. Поэтому вероятностную бумагу строят так: на оси абс­ цисс(горизонтальнаяось) откладываютлогарифмическую шкалу по уравнению

где kx — масштабный фактор.

На оси ординат откладываем у, но проставляем у оси функ­ цию F(x). Принимая 0,001 ^ F ( * ) ^ 0,999, находим f/min= —6,91 и

Уmax== 1»93, т. е. размах величины у равен 8,84. Поэтому уравне­ ние для S F можно записать следующим образом:

Схема построения графика функции распределения Вейбулла показана на рис. 9.5.

Из уравнения (9.114) следует, что у = 0 при х = а. Поэтому величину х = а находят в точке пересечения прямой с осью абс­ цисс. Для нахождения значения b предположим, что в уравне­ нии (9.114) х=1. Тогда

У\ = — 2,30361ga. Точку х = \ находят в начале координат.

271

Рис. 9.5. График функции закона рас­ пределения Вейбулла на вероятностной бумаге

Для л о г а р и ф м и ч е с к и н о р м а л ь н о г о з а к о н а р а с ­ п р е д е л е н и я уравнение прямой (рис. 9.6) выглядит так:

График функции логарифмически нормального распределения приведен на рис. 9.6.

Схема построения прямолинейного графика состоит в следую­ щем. На вертикальной оси откладывают значения S F, вычислен­

Рис. 9.6. График функции логарифмиче­ ски нормального распределения на ве­ роятностной бумаге

272