книги / Методы обеспечения надежности изделий машиностроения

Рис. 5.5. Д инам ика изменения уп рав­ ляю щ их воздействий U

бец положительным или отрицательным (рис. 5.5). Следова­ тельно, управляющие воздействия определены в явном виде для заданного срока отработки и требуемого значения выходной характеристики. Полученные решения удовлетворяют следующим двум условиям: они обеспечивают заданную динамику изменения выходной характеристики и являются наиболее близкими (при использовании метода наименьших квадратов) к значениям па­ раметров желаемого закона управления.

Так как при получении решения ограничения на управляю­ щие воздействия не учитывались, то может оказаться, что не­

которые из расчетных значений параметров управления физи­ чески нереализуемы. Поэтому расчетные значения необходимо сравнить с допустимыми значениями, и в случае, если хотя бы одно из требований не выполняется, провести корректировку желаемой динамики изменения выходной характеристики y(t) или параметров желаемого закона управления, после чего рас­ чет повторяют до получения приемлемых значений параметров управления.

Полученное решение задачи позволяет определить оптималь­ ные управляющие воздействия при заданной динамике изменения выходной характеристики U = f ( а, к, /) изделия, желаемом зако­ не управления 1)'=ц>(Ву У, t) и наложении ограничений на управ­

ление ( U < t/доп) и срок отработки ( Т ^ Т Л0П).

Рассмотренная модель позволяет определить управляющие воздействия в явном аналитическом виде при переходе от об­ щей системы нелинейных дифференциальных уравнений к системе линейных дифференциальных уравнений, когда управление осу­ ществляется по накопленному суммарному изменению выходной характеристики, а не по изменению по k-й производной от вы­ ходной характеристики. Следовательно, полученные параметры управления являются непрерывными функциями времени и обеспечивают заданную динамику развития выходной характери-

141

стики Y(t). На практике доработки проводят в дискретные мо­ менты времени, поэтому они могут быть получены как соответ­ ствующие точки на непрерывной кривой.

В разработанной математической модели (5.88) учтена стохастическая природа исходных данных, полученных в резуль­ тате статистического оценивания, при котором каждое следую­ щее значение параметра управления получают на основ'ании только новой поправки к уже полученному значению параметра, т. е. коэффициенты матрицы состояния изменяются благодаря приращению к значению параметра состояния А6 ,/.

В этой модели роль конструктора сводится к следующему. На э т а п е п р о е к т и р о в а н и я значения расчетных парамет­ ров, полученные при прочностных, тепловых, электрических и дру­ гих расчетах, а также расчетах надежности, сводят в таблицу расчетных значений параметров в виде матрицы и вектора вы­ ходной характеристики (например, надежности). Исходя из практических соображений, выбирают закон управления, а жела­ емую динамику выходной характеристики определяют, исполь­ зуя расчеты надежности этой характеристики в виде наработок на отказ, интенсивности отказов, вероятности безотказной работы и т. д., представленной как изменение функции во времени за

заданный срок отработки. Полученные на основе расчетных дан­ ных параметры управления в случае их нереализуемости корректируют, проводя дополнительные расчеты при изменении соответствующих расчетных параметров или изменяя динамику выходной характеристики, а также корректируя срок отработки.

На э т а п е о т р а б о т к и , когда изделие проходит испытание или эксплуатируется и соответственно появляются отказы, роль конструктора сводится к следующему.

Составляют таблицу исходных данных в виде параметров состояния, значения которых получены как расчетами до про­ ведения доработок, так и опытных данных по отказам и нара­ боткам на отказ исполнительных механизмов и изделия в целом на некоторый момент времени. В соответствии с этапами про­ ектирования выбирают закон управления, а желаемую динамику изменения выходной характеристики задают с учетом получен­ ных результатов испытаний.,

До проведения доработки корректируют параметры отказав­ шего элемента, узла, а также элементов и узлов, связанных с отказавшим функциональной зависимостью и корреляционной связью. После чего с учетом выбранного закона управления и желаемой динамики развития выходной характеристики, а также с учетом проведенных изменений параметров (элементов матрицы) состояния определяют в явном виде управляющие воз­ действия. В случае, если полученные значения параметров управления превышают допустимые, корректируют техническую документацию и продолжают испытания. Если после проведения

142

испытаний доработанного узла или системы в объеме, равном тому же, который они прошли до доработки, отказ по данному виду доработки не возникает, то доработку считают эффективной. В случае, если отказ по данному типу доработки повторяется, то отказавший элемент, узел или пульт заменяют на конструк­ тивно новый и процедуру испытаний повторяют.

5.9. МЕТОДИКА ОЦЕНКИ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Приводимая методика позволяет учесть активные управляющие воздействия при отработке и тем самым решает в активной постановке задачи управления процессом совер­ шенствования изделия при направленном улучшении его харак­ теристик.

В основу методики положены теоретические разработки (см. параграф 5.8), а также использованы результаты исследований, приведенные в работе [22]. В качестве желаемой динамики изменения выходной характеристики (функции надежности) принят закон распределения Вейбулла, который является уни­ версальным, так как при различных значениях параметров распределения он превращается в другие виды распределений

Тогда заданные условия изменения выходной характеристики в процессе отработки можно записать как решения дифферен­ циального уравнения

(5.91)

где Y = ata ~ 'е _х/а

Эти условия должны быть обеспечены в результате выбора управляющих воздействий, т. е. выбора вектора управления U(t). Практика показывает, что успех в реализации программы отработки, заданной в виде уравнения (5.91), обеспечивается благодаря определенным приращениям ДU(t) вектора управления, т. е. если желаемый закон управления пропорционален интегралу от изменения выходной характеристики. Следует отметить, что выбор желаемого закона управления позволяет определить не­ обходимые параметры управления с использованием накоплен­ ного изменения выходной характеристики и одновременно учиты­ вать суммарное воздействие всех параметров управлений, дей­ ствующих прямым и косвенным образом на суммарное изменение выходной характеристики в целом.

Зависимость отклонений выходной характеристики Y(t) от параметров управлений определим в регрессионной форме ли­ нейным соотношением

143

г

Таким образом, управляющие воздействия для заданной динамики развития выходной характеристики, выраженной в форме распределения Вейбулла, находят, используя выражение

144

Из формулы (5.96) следует, что при / = 0 вектор управления

является ли произведение /-й строки матрицы В + на столбец Y(t) положительным или отрицательным. При выводе формулы (5.96) предполагалось, что матрица В, а следовательно, и матрица В+, известны точно. В действительности матрица В, имеющая смысл таблицы коэффициентов регрессии (5.93), неизвестна и под­ лежит оцениванию.

М е т о д и к а о ц е н к и п с е в д о о б р а т н о й м а т р и ц ы В+ сводится к следующему. На основании выбранного закона управ­

Второй шаг. Берем экспериментальные или расчетные дан­ ные для y\(t)=y\ и сводим в таблицу, записав уравнение (5.93) для каждой строки (табл. 5.4). ■'

Третий шаг. На основании исходных данных табл. 5.4 запишем

ЬI m

Четвертый шаг. Методом наименьших квадратов находим вектор

145

О)

5.4. Табличная форма записи исходных данных первого уравнения

Рассмотрим второе уравнение.

Первый шаг:

У2 (0 = Ьп (и, (0 - и?) + Ь22 {и2 (t) - и ° 2) + + ь2т(ит(t) и°т).

Агорой шаг. Полученные экспериментальные или расчетные данное для y2(t) = y2 сведем в таблицу, записав уравнение (5 .9 3 ) для Каждой строки (табл. 5.5).

Третий шаг. На основании исходных данных табл. 5.5 запишем

X ^ 2 2 = [и - и°]ь9.

^ 2 m

Четвертый^шаг. Методом наименьших квадратов определяем вектор

147

Далее находим оценку матрицы В:

На основании полученной оценки матрицы В с помощью алгоритма Гревиля по стандартной программе определяем оценку псевдообратной матрицы

У\

Ё = [и - и°У у1 = [ t / - ^ ° ] W ] +

Ут

В частном случае, когда выходную характеристику опреде­ ляют для отрабатываемого изделия в пелом, транспонирован­ ную матрицу [YJ записывают в виде вектора YT При этом оценку псевдообратной матрицы также представляют в виде вектора B ±s В случае, если отработку всех исполнительных узлов, ме­ ханизмов, пультов и т. д. проводят в составе изделия, то оценка псевдообратной матрицы несколько упрощается и сводится к следующему. Выберем п моментов времени tiy представив со­

Используя метод наименьших квадратов, найдем оценку матрицы. В по формуле

s - [ i r t « , W - « ? r ] +

Далее по алгоритму Гревиля по стандартной программе на ЭВМ определим оценку псевдообратной матрицы

8 + +

В этом случае для получения оценки матрицы В используют

опытные данные {щ{и) и ц/), полученные по предыстории. В со­ ответствии с желаемым законом управления, пропорциональным интегралу от изменения выходной характеристики, значения yj(ti) приближенно рассчитывают по формуле

148

О

где / = 1 , пг; i = 1 , п\ Д

Каждую строку «>(</) получают из соответствующего столб­ ца, г. е. транспонированием матрйцы исходных данных. Для нахождения оценки псевдообратной матрицы аналогично опре­ деляет транспонированную матрицу [ы$/) — u^J, при этом строку получают из соответствующего столбца, в котором каждый элемент может быть определен как разность между следующим и первым элементами данного столбца. Полученную оценку псевд00братной матрицы в дальнейшем используют как постоян­ ную матрицу для определения параметров управлений, под­ ставив ее в (5.97).

изменяется пропорцирнально ускорению изменения параметров

где ы? начальное значение скорости изменения параметра управления;

149

т

$ e ~ " r p(/)d< = -±-(l - е- ° ') Г р(/).

о

После интегрирования (5.103)

Для нахождения вектора управления интегрируем (5.104):

т

U( t ) = U° + u4t + В + \ ± ( 1 - e - D' ) r p(/)d/, (5.105)

о

где U 0 — начальное значение параметра управления. Интегрирование (5.105) приводит к уравнению

При заданном сроке отработки Т выражение (5.106) пре­ образуется следующим образом:

U( t ) = U° + и®* + В + Т [t — Т (l — е_ т ) ] г р(/). (5.107)

Рассмотренная математическая модель отработки может быть использована также при наложении ограничений как на выход­ ную характеристику, так и на параметры управления.

При наложении ограничений на выходную характеристику для желаемого закона управления, пропорционального скорости изменения параметров, управляющие воздействия определяют из системы уравнений:

где Т — заданный период; В + — псевдообратная матрица па­ раметров управления; U ' 0 — начальное значение параметра управления по ограничениям; С+ — псевдообратная матрица параметров ограничений; Утр(Л — требуемое значение выходной характеристики.

Для нахождения управляющих воздействий при наложе­ нии ограничений непосредственно на управления используют соотношение вида

150