w = 2wE = 2 12 ε0 E 2 .
И для мощности, передаваемой по волноводу, получаем
P = ε0 E |
2 |
|
ω 2 |
|
c 1− |
c |
S. |
|
|
|
ω |
|
Эта мощность может быть очень велика – именно для этого и применяют волноводы.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Метод медленно меняющихся амплитуд (метод усреднения)
1–9. Найти зависимость частоты колебаний от амплитуды для
системы, |
описываемой |
уравнением |
вида |
|
x +ω2 x = µf (x), где |
0 <µ <<1 – малый параметр, а функция f (x) |
|
задана следующими |
уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
f |
0 |
при |
x ≤1, |
2. |
f (x) = |
0 |
при |
|
x ≤1, |
(x) = |
при |
x >1. |
|
|
−1 при x >1. |
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
0 |
при |
x ≤1, |
|
|
−1 при |
|
x < −1, |
3. |
f |
4. |
f (x) = |
|
|
при |
|
x |
|
≤1, |
(x) = |
при |
x >1. |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
при |
|
x >1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x −1 |
при |
|
x < −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
при |
|
x |
|
≤1, |
6. |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 2x |
|
|
|
f (x) = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
x >1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
x(1− x2 ) |
|
|
|
|
7. |
f (x) = x3 − x5. |
|
|
|
|
8. |
f (x) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.f (x) = −sh x, (sh – гиперболический синус).
10.Найти зависимость частоты от ам-
плитуды в колебательном контуре с нелиней- |
|
L |
I |
С |
|
ной индуктивностью (рис. З.1). Потокосцеп- |
|
|
|
ление и ток в катушке связаны соотношением |
|
|
|
|
LI = Φ +αΦ3 (потерями энергии пренебречь). |
|
|
Рис. З.1 |
|
|
|
|
|
Устойчивость состояний равновесия
Здесь и далее характеристики нелинейных элементов приведены в прил. 1. Методы составления уравнений рассмотрены в прил. 2.
11. Найти условия возбуждения лампового генератора с контуром в цепи анода (рис. З.2). В плоскости параметров
h = L0 / L, R выделить область возбуждения
(сеточным током и реакцией анодного напряжения пренебречь).
12. Найти условия возбуждения лампового генератора с контуром в цепи сетки
(рис. З.3). В плоскости параметров h = L0 / L,
R выделить область возбуждения (сеточным током и реакцией анодного напряжения пренебречь).
13. Найти условия возбуждения лампового генератора с контуром в цепи катода
(рис. З.4). В плоскости параметров h = L0 / L,
R выделить область возбуждения. Определить зависимость частоты колебаний от величины омического сопротивления (сеточным током и реакцией анодного напряжения пре-
небречь). Рис. З.4 14. Найти условия возбуждения тран-
зисторного генератора с контуром в цепи коллектора (рис. З.5). Для случая kсв =1 в плоскости параметров h, δ выделить область воз-
буждения |
(kсв = M / LL0 , |
δ = R |
C / L, |
|
h = L0 / L ). |
Как изменятся |
условия |
воз- |
|
буждения, если не учитывать ток базы? Реак- |
Рис. З.5 |
цией коллекторного напряжения пренебречь.
15. Найти условия возбуждения транзисторного генератора с контуром в цепи базы (рис. З.6). В плоскости параметров h, δ выделить область возбуждения
(δ = R C / L, h = L0 / L ). Реакцией кол-
лекторного напряжения пренебречь. (Сравнить результат с ответом к задаче 14.)
16. Найти условия возбуждения генератора на транзисторе с заземленной базой и с контуром в цепи коллектора (рис. З.7). Для случая kсв =1 в плоскости
параметров h, δ выделить область возбуждения (δ = R C / L, h = L0 / L ). Реак-
цией коллекторного напряжения пренебречь.
17.Найти условия возбуждения и частоту колебаний генератора
сконтуром в цепи эмиттера (рис. З.8). В плоскости параметров h, δ
выделить область возбуждения (δ = R |
C / L, h = |
L0 / L ). Реакцией |
коллекторного напряжения пренебречь. |
|
|
18. Найти условия возбуждения |
генератора |
на транзисторе |
(рис. З.9). В плоскости параметров h, kсв выделить область возбуж-
дения (h = L0 / L , kсв = M / LэLк ). Найти условия существования
области возбуждения.
19. Найти условия возбуждения и частоту колебаний генератора
на транзисторе (рис. З.10). В плоскости параметров |
h, kсв выделить |
область возбуждения |
и вывести условия ее |
существования |
(h = Lб / Lк , kсв = M / |
LбLк ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. З.8 |
Рис. З.9 |
Рис. З.10 |
20. Найти условия устойчивости состояния равновесия, находящегося на падающем участке вольт-амперной характеристики туннельного диода (рис. З.11). В плоскости параметров Gдиф, R выде-
лить область устойчивости ( Gдиф – дифференциальная проводимость
туннельного диода).
21. Найти условия устойчивости состояния равновесия, находящегося на падающем участке вольт-амперной характеристики туннельных диодов для схемы, представленной на рис. З.12. В плоскости параметров Gдиф, R выделить область устойчивости. Считать,
что диоды идентичны.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. З.11 |
Рис. З.12 |
Рис. З.13 |
22.Найти условия возбуждения блокинг-генератора (рис. З.13).
Вплоскости параметров (h, ) для kсв = 1 выделить область возбуж-
265
дения ( h = L / L0 , µ – статический коэффициент усиления лампы,
сеточным током пренебречь).
23. Найти условия возбуждения генератора на электронной лампе (рис. З.14). В плоскости параметров δ = S L / C и δ0 = R C / L
выделить область возбуждения (сеточным током и реакцией анодного напряжения пренебречь).
Рис. З.14 Рис. З.15
24. Найти условия устойчивости состояния равновесия, находящегося на падающем участке вольт-амперной характеристики динисторов для схемы, представленной на рис. З.15. В плоскости параметров R, Rдиф выделить область устойчивости (Rдиф – абсолютная
величина дифференциального сопротивления динистора).
Релаксационные (разрывные) колебания
25–34. Провести разбиение фазовой плоскости на фазовые траектории, полагая 0 < µ <<1:
25. µ dx |
= x(1− x2 )− y, |
dy |
= x. |
dt |
|
dt |
|
|
26. |
µ dx |
= x(1− x2 )− y, |
dy |
= x −2 y. |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
µ dx |
= −y − x(2 −3x2 |
+ x4 ), |
dy = x. |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
28. |
µ dx |
= −y − x(x2 −5)(x2 −1), |
dy |
= x. |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
29. |
µ dy = −y x2 |
+ 2 |
( y +1)( y −5) |
, |
dx = x |
( y −1), |
x ≥ 0, y ≥ 0. |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
µ dy = −y x2 |
+ 2 |
( y +1)( y −5) |
, |
dx = x |
(xy −1), |
x ≥ 0, y ≥ 0. |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31. |
µ dy |
= y 1− y2 − |
(x − y)2 , |
dx = 3y − x, |
y ≥ 0. |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
32. |
µ dx |
= 2ex −e2 x − y, |
dy |
= x +1. |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
33. |
µ dx |
= 2ex −e2 x − y, |
dy |
= x −1. |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
34. |
µ dx |
= 6ex −e2 x − y, |
dy |
= x +5 − y. |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
35. Рассмотреть |
на |
фазовой |
плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
U , I |
возможные |
качественно |
различные |
|
|
|
разбиения на траектории |
для |
генератора |
|
|
|
на |
туннельном |
диоде |
(рис. З.16), |
где |
|
|
|
µ =CR2 / L <<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36. Рассмотреть |
на |
фазовой |
плоскости |
|
|
|
U , I |
поведение спусковой схемы, |
собранной |
|
|
Рис. З.16 |
на туннельном диоде (рис. З.17, а). Считать |
|
|
|
µ <<1, E1 = const, функция E(t) |
приведена на рис. З.17, б. Каким ус- |
ловиям должны удовлетворять величины E1, E0 , R, τ1 и τ2 , чтобы на
любой (в некоторых пределах) импульс схема откликалась одинаковым импульсом?
40. Груз массой m (рис. З.21, а), укрепленный на двух пружинах жесткостью k, лежит на ленте конвейера, движущейся со скоро-
стью v. Полагать, что µ = mkv2 / F02 <<1, а сила трения между грузом и лентой конвейера, как функция относительной скорости v0 − v, асимптотически уменьшается до некоторого значения F1 (рис. З.21, б).
а |
б |
|
Рис. З.21 |
41. Рассмотреть на фазовой плоско- |
сти U , I: U = (U1 −U2 )/ 2, |
I = (I1 − I2 )/ 2 |
возможные режимы поведения схемы на туннельных диодах (рис. З.22). Считать
µ = CR2 / L <<1, где R – дифференци-
альное сопротивление туннельного диода в точке перегиба вольт-амперной характеристики. (Потоком рассеяния в катушках индуктивности пренебречь).
42. Рассмотреть на фазовой плоскости U , I поведение схемы на динисторе
(рис. З.23). Принять µ = L / (R2C ) <<1.
Найти амплитуду и длительность импульса, генерируемого схемой.
