книги / Физика колебаний

Из этих уравнений нетрудно найти связь токов и напряжений в отраженной и падающей волнах и их значения на нагрузке Z:

Посмотрим, что же отсюда следует.

1. Если линия оканчивается нагрузкой с импедансом, равным волновому сопротивлению самой линии (Z = Z0 ), то отраженной

волны нет (линия, как говорят, согласована), и вся энергия, переносимая волной, поглощается на нагрузке. Таким образом, при Z = Z0 волна, бегущая вдоль оси X , ведет себя так, как будто линия передачи бесконечно длинная.

2. Если концы линии передачи замкнуты накоротко, то Z = 0. Отсюда U =U+ +U− = 0. Следовательно, U+ = −U−, т.е. происходит полное отражение волны напряжения с изменением фазы на π. При таких условиях, как известно, должны возникать стоячие волны. Покажем это. В любой точке x линии мы можем представить две рассматриваемые волны напряжения в виде

251

в пространстве друг относительно друга на π/ 2. Кроме того, множитель (−i) в выражении для напряжения показывает, что и во времени

напряжение отстает по фазе от тока на π/ 2. Так как во всех точках линии напряжение сдвинуто по фазе относительно тока на π/ 2 как в пространстве, так и во времени, то средняя выделяемая мощность равна нулю и энергия никуда не переносится. Это и есть признак стоячей волны. Перенос энергии происходит только от узла к пучности и наоборот. Узлы напряжения и тока расположены вдоль линии так, как показано на рис. 7.17, причем ток I всегда максимален там, где U = 0, и наоборот. Наиболее сильные колебания тока и напряже-

ния в линии возникают при тех же условиях, что и во всякой стоячей волне. Например, если на обоих концах линии пучности напряжения (концы разомкнуты), то это происходит тогда, когда в линии укладывается целое число полуволн. Данное обстоятельство используется как для демонстрации самих стоячих волн в системе Лехера, так и для определения длины волны.

252

Взаключение данного раздела рассмотрим роль сопротивления

влинии передачи. Мы учтем это сопротивление, полагая, что линия

передачи содержит последовательно включенный резистор R0

(в омах на единицу длины) и параллельный, шунтирующий резистор между проводами, который будем задавать проводимостью (она обратна сопротивлению). Эту проводимость, имеющую размерность сименс на метр, обозначим Y0. Модель короткого элемента линии

передачи, имеющего длину dx, приведена на рис. 7.18.

Рис. 7.18

В нее входит резистор с сопротивлением R0dx, соединенный последовательно с индуктивностью L0dx, и резистор с проводимостью Y0dx, шунтирующий конденсатор с емкостью C0dx. В данной

ситуации возможен ток не только вдоль линии, но и поперек нее. Временнýю зависимость напряжения и тока, как и ранее, пред-

ставим в виде

U =U0eiωt , I = I0eiωt .

Поэтому

L0 ∂∂It = iωL0 I, C0 ∂∂Ut = iωC0U.

Теперь изменения напряжения и тока на элементе линии длиной dx определяются уравнениями

253

и B – постоянные. Таким образом, полное выражения для U , учитывающее временную и координатную зависимости, можно представить как

U (x,t) = (Ae−γx + Beγx )eiωt

или, поскольку γ =β+ik,

254

Данное выражение описывает две волны: одна бежит вправо, и ее амплитуда уменьшается соответственно множителю e−βx , а другая бежит влево, и ее амплитуда уменьшается экспоненциально с расстоянием соответственно множителю eβx . Величины β и k, входящие в формулу γ =β+ik, являются коэффициентом затухания

волны и ее волновым числом.

Ток I изменяется точно так же. И поскольку мощность равна IU , то потери энергии за счет джоулева тепла изменяются с рас-

стоянием как e−2βx. Когда свойства линии передачи являются чисто индуктивными или емкостными, мы имеем чисто волновое уравнение с решениями в виде синуса или косинуса. Введение же сопротивления или элемента потерь приводит к экспоненциальному затуханию с расстоянием вдоль линии передачи.

7.5.Волноводы. Граничная частота

искорость волн в волноводе

Как уже отмечалось в предыдущем разделе, на частотах до нескольких тысяч мегагерц электромагнитные сигналы передаются по коаксиальным линиям. При дальнейшем повышении частоты из коаксиального кабеля можно убрать центральный провод, и полая труба – волновод – начинает передавать сигналы ничуть не хуже. Это выглядит очень странно, если пользоваться представлением о передающей линии, как о распределенных индуктивности и емкости. Но ведь известно, что внутри пустой металлической трубы могут распространяться электромагнитные волны. Если труба прямая, то через нее все видно! Значит электромагнитные волны больших частот через трубу, бесспорно, проходят.

Начнем с волновода в виде прямоугольной трубы, ее проще всего анализировать. Запустим в нее электромагнитную волну, например, с помощью «антенны», подключенной к генератору высокочастотных сигналов через коаксиальный кабель. Какого типа волны могут существовать в прямоугольной трубе? Выберем оси координат

255

Такое поле подходит к горизонтальным стенкам перпендикулярно, и при правильном выборе kx не будет иметь составляющих, параллельных вертикальным стенкам. Для этого, очевидно, необходимо потребовать, чтобы полволны sin kx x укладывалось по ширине волновода

kxa = nπ (n =1, 2, 3, ...).

Значения n большие единицы представляют сложные конфигурации полей, поэтому ограничимся самым простым случаем n =1, т.е. kxa = π, откуда находим разрешенное значение kx:

kx = πa .

Наконец, наше электрическое поле должно удовлетворять волновому уравнению для электромагнитной волны в пустом пространстве

Заметим, что из данного уравнения не следует, что скорость электромагнитной волны в волноводе равна c. Она была бы равна c, но при отсутствии проводящих стенок волновода. Найдем производ-

257

Если Ey не обращается всюду в нуль, то это уравнение выполняется всегда, если

является законом дисперсии для волн, распространяющихся в волноводе. Отсюда сразу следует, что волны разной частоты распространяются с разной скоростью. В данном случае дисперсия волн в волноводе связана с наличием в нем собственного пространственного масштаба – конечной ширины волновода a. Если a →∞, то дисперсия исчезает, и сигналы любой формы будут распространяться без искажения с одинаковой скоростью, равной скорости света в вакууме.

Найдем длину волны, бегущей в волноводе:

Эта длина волны, конечно, отличается от длины волны той же частоты, но в пустом пространстве λ0 = 2πc / ω. Их связь определяется формулой

258

т.е. волна, попавшая в волновод, как бы растягивается по сравнению с волной в пустом пространстве.

Рассмотрим теперь выражения для kz:

тоты значение kz также уменьшается до тех пор, пока ω не сравняется с ωc = πc / a. При дальнейшем уменьшении частоты значение kz становится чисто мнимым числом kz = ±ik, где k – действительное положительное число

Если теперь вернуться к (7.26), то для Ey следует писать

Ey = E0 sin kx x e±kzeiωt ,

т.е. мы приходим к полю, которое колеблется во времени как exp(iωt), а по оси Z меняется как exp(±kz). Конечно, знак перед k

следует выбирать так, чтобы поле экспоненциально убывало при удалении от источника (он обязан быть в волноводе). Итак, при частотах ниже ωc = πc / a волны вдоль волновода не распространяются, осциллирующее поле проникает в волновод лишь на расстояние порядка 1/ k. По этой причине частоту ωc называют граничной частотой волновода. Если ω<< ωc , поле проникает только на глубину l a / π, т.е. на треть ширины волновода.

259

Фазовая скорость волн в волноводе

Это выражение для фазовой скорости удобно переписать с учетом значения граничной частоты

Отсюда следует, что для частот выше граничной (для которых и существует бегущая волна) значение фазовой скорости больше скорости света. В этом нет ничего удивительного, так как фазовая скорость означает только то, как быстро перемещаются узлы волн, а не энергия или информация. Чтобы узнать, как быстро движутся сигналы в волноводе, необходимо найти групповую скорость u:

света.

Групповая скорость волн – это также скорость, с какой энергия

тромагнитного поля ( wH – объемная плотность магнитной энергии, wE – электрической). Так как волна бегущая, то wH = wE . Если среднее квадратичное значение напряженности электрического поля в волноводе равно E , то

260