книги / Физика колебаний

Отсюда вытекает, что в линейной и нелинейной диссипативных системах невозможен автоколебательный процесс. Для осуществления такого процесса функция диссипации N(t) должна быть знако-

переменной. При этом в течение одной части периода происходит пополнение колебательной энергии (что можно описать с помощью понятия отрицательного сопротивления), в течение другой его части – уменьшение энергии. Тогда можно обеспечить энергетический баланс. Если, к примеру, считать, что в электрической колебательной системе сопротивление зависит от протекающего через него тока R = R(I ), то для реализации автоколебаний необходимо потребовать,

чтобы функция R(I ) I 2 была знакопеременной. Только в этом слу-

чае можно выполнить условие (5.1), а для этого необходимо, чтобы знакопеременной была функция R(I ).

По поводу формы автоколебаний можно сделать некоторые предварительные физически обоснованные предположения. Если колебательная система (рис. 5.1) представляет добротный колебательный контур и в системе происходят автоколебания, то эти колебания будут близки к гармоническим; свойства цепи обратной связи лишь в небольшой степени повлияют на форму колебаний и в основном она служит только для пополнения колебательной энергии в течение части периода автоколебаний. Если при наличии автоколебаний разорвать цепь обратной связи, то в системе будут наблюдаться затухающие колебания. Автоколебательные системы, удовлетворяющие таким условиям, будем называть автоколебательными системами осцилляторного (томсоновского) типа. В осцилляторных системах потери энергии за период, а следовательно, и величина добавляемой энергии значительно меньше запаса энергии, накопленной в основной колебательной системе.

Если же колебательная система представляет собой апериодический контур, состоящий в основном из RL- или RC-элементов, то форма автоколебаний существенно зависит от свойств цепи обратной связи. Если в такой колебательной системе выполнены условия самовозбуждения, то форма генерируемых колебаний, как правило, да-

161

лека от синусоидальной, а период колебаний связан со временем релаксации системы (хотя в некоторых случаях подбором параметров автоколебательной системы можно заставить ее генерировать колебания, близкие к гармоническим). Такие автоколебательные системы принято называть релаксационными. В них после разрыва канала, по которому восполняются потери, колебания апериодически затухают независимо от формы этих колебаний до разрыва цепи обратной связи. Таким образом, в релаксационных автоколебательных системах происходит 100%-й обмен энергии (рассеиваемой на пополняемую) в течение каждого периода автоколебаний.

Как уже отмечалось, для получения автоколебаний в системе необходимо, чтобы функция диссипации была знакопеременной. В механических колебательных системах с трением данная ситуация может быть реализована, если зависимость силы трения от скорости имеет так называемый падающий участок. В обычных системах с трением коэффициент затухания β, входящий в уравнение движе-

ния вида

x + 2βx +ω02 x = 0,

является всегда положительной величиной. Это соответствует тому, что на преодоление сил трения расходуется энергия. Если бы значение β было отрицательным, то энергия системы возрастала бы

и «трение» в этом случае являлось источником энергии. Ясно, что в системе, не обладающей собственным источником энергии, это не возможно, поэтому β всегда положительно. Но если система об-

ладает собственным резервуаром энергии, то, вообще говоря, можно допустить, что β < 0 и что энергия системы возрастает за счет «тре-

ния». Конечно, это уже не будет трение в обычном смысле. Но поскольку оно характеризуется тем же членом дифференциального уравнения (βx), что и обычное трение, о нем говорят как об «отри-

цательном трении» и «отрицательном сопротивлении».

Рассмотрим простейший пример – груз на быстродвижущейся ленте (рис. 5.2). Сила трения ленты о груз есть некоторая, вообще

162

порциональными первой степени скорости с коэффициентом пропорциональности r, то уравнение движения груза массы m запишется как

mx + rx + rx = F (v0 − x).

Стоящий справа постоянный член определяет только смещение положения равновесия в направлении движения ленты. Что же касается коэффициента r + F′(v0 ), находящегося при x, то его знак

и величина зависят от вида характеристики трения. Величина F′(v0 ) определяет крутизну данной характеристики и в случае падающей характеристики трения F′(v0 ) < 0. Если характеристика трения в области v0 спадает достаточно круто, то r + F′(v0 ) < 0 и уравне-

ние (5.2) описывает систему с «отрицательным трением». На практике этот случай реализуется довольно часто, так как характеристики трения сухих поверхностей имеют обычно вид, изображенный на рис. 5.3, и, значит, почти всегда имеют вначале, при малых скоростях, более или менее значительный участок крутого падения. В этой области рассмотренное устройство и будет представлять линейную систему с отрицательным трением.

163

vках. На этих участках путем принудительного поддержания определенного

чивается появление в системе дифференциального отрицательного сопротивления (dI / dU )−1 . Такими

падающими характеристиками обладают туннельные диоды, газоразрядные приборы, многосеточные электронные лампы, тиристоры, диоды Ганна, джозефсоновские сверхпроводящие переходы и др. На рис. 5.4, а приведена вольт-амперная характеристика туннельного диода – так называемая характеристика N-типа, а на рис. 5.4, б – вольт-амперная характеристика газоразрядного прибора S-типа.

В случае параллельного подсоединения нелинейного двухполюсника с отрицательным дифференциальным сопротивлением к параллельному контуру (рис. 5.5, а) необходимо использовать элемент с характеристикой N-типа, так как общим для всех элементов такой

164

колебательной системы является напряжение U. Для такой системы нетрудно получить

Здесь dIN / dU – дифференциальная проводимость нелинейного эле-

мента с падающей характеристикой, называемая также крутизной характеристики и обозначаемая S(U ).

Если на нелинейный элемент подать напряжение, при котором попадаем на падающий участок вольт-амперной характеристики, то при соответствующей крутизне характеристики в определенной области изменения напряжения можно добиться условия

что эквивалентно наличию отрицательного сопротивления.

При последовательном соединении элементов L, C, R0 (рис. 5.5, б) и нелинейного двухполюсника с характеристикой S-типа общим для них является ток I = IS и для него нетрудно получить

165

L dIdt + R0 I + C1 ∫ Idt +US (I ) = 0,

где US -напряжение на элементе S-типа. После дифференцирования по времени получаем

Отсюда видно, что подбором дополнительного тока I0 , обеспе-

чивающего в рабочей точке падающую характеристику с соответствующей крутизной, можно добиться условия

R0 + dUdIS < 0,

эквивалентного наличию отрицательного сопротивления.

Заметим, что и для параллельного контура и для последовательного создание неустойчивого состояния равновесия с отрицательным сопротивлением требует введения в систему дополнительных источников напряжения или тока.

Прекрасным примером электрической системы с отрицательным сопротивлением, в которой возможно установление автоколебаний, является классический генератор Ван-дер-Поля. Он включает в себя электронную лампу, колебательный контур и цепь обратной связи между сеткой и анодом. На рис. 5.6 представлена схема генератора Ван-дер-Поля с контуром в цепи анода (рис. 5.6, а) и контуром в цепи сетки (рис. 5.6, б). Чтобы понять, как формируется здесь отрицательное сопротивление, обратимся к схеме с колебательным контуром, включенным в цепь сетки (рис. 5.6, б). Если для простоты пренебречь сеточным током, то для данного контура можем записать

I = −CdU / dt, RI =U − LdI / dt −MdIаdt. Величина M – взаимная ин-

дуктивность, MdIа / dt – ЭДС, которая вводится в контур под воздействием анодного тока Iа, протекающего по катушке в цепи анода, U – напряжение на конденсаторе. Из этих уравнений следует

166

только от U (на самом деле анодный ток зависит довольно сложным образом от напряжения на сетке и анодного напряжения, мы же для

Если задать такое расположение катушек, при котором взаимная индуктивность будет положительной и достаточно большой, то можно получить значение коэффициента RC −MS отрицательным, что и будет соответствовать отрицательному сопротивлению.

Автоколебания в таком генераторе устанавливаются следующим образом. Случайно возникшие в LCR -контуре малые колебания через катушку индуктивности L′ управляют анодным током лампы, который при соответствующем взаимном расположении L и L′ уси-

167

ливает колебания в контуре (взаимное расположение катушек L и L′ определяет знак коэффициента взаимной индукции M ). При условии, что потери в контуре меньше, чем вносимая в контур энергия, амплитуда колебаний в контуре нарастает. С увеличением амплитуды колебаний, вследствие нелинейной зависимости анодного тока от напряжения на сетке лампы, поступающая в контур энергия уменьшается и при некоторой амплитуде колебаний сравнивается с потерями. В результате устанавливается режим стационарных периодических колебаний, в котором все потери энергии компенсирует анодная батарея. Из уравнения (5.4) видно, что для установления режима стационарных периодических колебаний необходимо выпол-

нение так называемого условия самовозбуждения

R < MSC .

Если же имеет место неравенство R > MS / C, то колебания в контуре затухают медленнее, чем в отсутствие обратной связи. Это ослабление затухания малых колебаний обратной связью называют регенерацией колебательного контура.

Рассмотренный нами применительно к генератору Ван-дер-Поля режим возникновения автоколебаний, не требующий начального толчка, называется режимом мягкого возбуждения. Для генераторов с одной степенью свободы такому режиму соответствует фазовый портрет, представленный на рис. 5.7, а.

1

а б

Рис. 5.7

168

Встречаются также системы с жестким возбуждением автоколебаний. В таких системах колебания самопроизвольно нарастают с некоторой начальной амплитуды. Для перехода систем с жестким возбуждением в режим стационарной генерации необходимо начальное возбуждение с амплитудой, большей некоторого критического значения. Фазовый портрет такого генератора приведен на рис. 5.7, б (1 – устойчивый предельный цикл, 2 – неустойчивый предельный цикл). Видно, что для выхода траектории на устойчивый предельный цикл начальная точка на фазовой плоскости должна лежать вне области притяжения устойчивого состояния равновесия. Отсюда ясен и физический смысл неустойчивых предельных циклов: они служат границей между областями начальных условий, из которых система стремится к различным устойчивым режимам движения (на фазовой плоскости таким движениям соответствуют притягивающие траектории – аттракторы, например, устойчивые состояния равновесия или предельные циклы).

Размеры предельного цикла определяют амплитуду автоколебаний генератора, время движения изображающей точки по циклу (период), а форма предельного цикла – форму колебаний. Таким образом, задача об исследовании периодических автоколебаний в системе сводится к задаче нахождения предельных циклов в фазовом пространстве и определении их параметров.

5.2. Уравнение Ван-дер-Поля. Зависимость формы автоколебаний от параметров системы

Для получения дифференциального уравнения автоколебаний обратимся к уравнению (5.4). Данное уравнение является нелинейным, так как крутизна характеристики лампы S(U ) = dIа / dU может зависеть от напряжения на сетке U достаточно сложным образом. Обычно экспериментальную зависимость анодного тока Iа от сеточного напряжения U (рис. 5.8) аппроксимируют полиномом либо третьей степени

Iа (U ) = Iа0 + S1U −S3U 3 ,

169

Iа либо пятой степени

стью характеристики лампы относительно ее рабочей точки. Постоянные S1 > 0, S3 > 0 и S5 > 0, так как только в этом случае наступает реальный режим насыщения анодного тока (в нашей аппроксимации это соответствует загибу кривой Iа (U ), на рис. 5.8 это отражено

пунктирной линией, но до этой точки обычно не доходят, используя только среднюю часть рабочей характеристики). Нетрудно убедиться, что в случае кубической аппроксимации Iа (U ) крутизна характе-

ристики монотонно уменьшается вплоть до тока насыщения. Этот случай, как мы убедимся, соответствует мягкому режиму возбуждения автоколебаний. При аппроксимации Iа (U ) полиномом пятой

степени крутизна характеристики вначале возрастает до максимума и только потом начинается ее спад – это будет соответствовать жесткому режиму возбуждения автоколебаний.

Ограничимся пока кубической зависимостью Iа (U ). Тогда подставляя выражение (5.5) в уравнение (5.4), получаем

U −β(1−αU 2 )U +ω02U = 0,

где β = (MS1 − RC )/ LC, α = 3S3M / (RC − MS1 ), ω0 =1/ LC. Величина параметра β показывает, насколько сильно возбужден генератор (при β < 0 условия возбуждения не выполнены). Величина α харак-

170