книги из ГПНТБ / Теплов Л. Очерки о кибернетике

Лу с единственным и множественным было и особое двойственное число. У западных племен островов Торресова пролива уже в наше время путе­ шественники обнаружили наличие всего двух имен числительных: «урапун» — один и «окоза» — два. Три на их языке звучало так: «окоза —

уяснить принцип записи и чтения чисел двоичного счета. Что представ­

Все дело сводится к тому, чтобы запомнить ряд степеней числа де­ сять и делить на них поочередно данное число, записывая в каждом раз­ ряде результаты деления, а остаток деля затем на меньшую степень.

Теперь представим, что код в 15 двоичных знаков

100110000110110

■есть двоичное число; не двоичная запись десятеричного числа, как было раньше, а настоящее число, построенное по типу счета у островитян Торресова пролива. Как его понять?

Сначала выпишем степени числа два, причем запись степеней будет

и с любого большего числа.

Для ясности числа записаны нами в десятеричной системе, привыч­ ной и легко оцениваемой. Как же этот ряд был бы выражен в двоичных числах? Естественно, так:

Иначе говоря, 215 в двоичной записи будет единицей с 15 нулями, 214 — единицей с 14 нулями, 22 = 4 — единицей с двумя нулями, 21= 2 — единицей с одним нулем и 2°= 1— просто единицей.

189

Чтобы не выдумывать особых знаков для двоичного счета и вместе с тем не путать двоичную запись с десятеричной, не следует читать 10 или 100 в двоичном счете, как «десять», «сто»; надо говорить: «один— нуль», «один — нуль — нуль», так как эти числа не «десять» и «сто», а «два» и «четыре».

Чтобы перевести приведенное выше двоичное число 100110000110110 в десятеричную запись и оценить его величину, можно под каждый знак подставить степени двойки в десятеричной записи.

Читаем с конца: в числе нет единиц, есть двойка, четверка, нет вось­ мерок, есть «шестнадцатка» и т. д. Считаем с начала:

16 384 + 2 048 + 1 024 + 32 + 16 + 4 + 2 = 19 510.

Итак, чтобы прочесть сообщение, содержащееся в двоичном числе, имеющем 15 знаков, берем четырнадцатую степень двойки— 16 384 и считаем, что она в числе содержится. Далее читаем: «тринадцатой сте­ пени нет, двенадцатой нет, одиннадцатая и десятая степени есть, девя­ той, восьмой, седьмой и шестой степеней нет, пятая и четвертая есть». В конце записи нет смысла оперировать степенями, и мы говорим про­ сто: восьмерок нет, есть четверка и двойка.

Если бы где-нибудь существовали выдуманные Свифтом разумные и добродетельные лошади гуигнгнмы, у них наверняка утвердилась бы двоичная арифметика. У них, однопалых, при счете на копыте заминка наступала бы уже после единицы: копыто отогнуто — нуль, загнуто — единица; двойку пришлось бы загибать на копыте другой ноги, разгибая одновременно первое копыто. На своих четырех копытах гуигнгнмматематик мог бы считать до числа 1111 по его записи или 15 — по нашей.

Кажется странным, что мы довольно сложным и не сразу понятным

«Вычисление с помощью двоек в вознаграждение его длиннот яв­ ляется для науки основным и порождает новые открытия... При сведе­ нии чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудес­

ный порядок».

Лейбниц был в полном восторге от исследованной им способности двоичной системы передавать любые числа. Он приказал в честь ее вы­ бить медаль с латинской надписью: «Чтобы вывести из ничего все, до­ статочно единицы». Лаплас ехидно рассказывает, что Лейбниц возвел двоичную арифметику в некое мистическое обоснование религии и даже советовал одному иезуиту, преподававшему математику в Китае, с ее помощью обратить в христианство китайского императора.

При действиях с десятичными числами вычислитель должен знать

190

не только правила, но и довольно длинные таблицы сложения и умножения. Вряд ли ко­ му в детстве заучивание таблицы умножения доставляло удовольствие, а таблица сложе­ ния однозначных чисел прошла без мытарств только потому, что мы запоминаем ее в тече­ ние долгого времени и порознь каждый ре­ зультат. Действительно, откуда мы узнаем, что 4+3 = 7? Этот результат надо или заучить, или выводить каждый раз заново, пересчиты­ вая группами числа натурального ряда.

Вычислитель, если он захочет пользовать­ ся двоичным счетом, может забыть всю таб­ лицу умножения и все результаты сложения, кроме самых простых результатов — правил:

выводятся автоматически при действиях. По­ этому о двоичной арифметике говорят, что это арифметика, при которой не надо считать. Че­ ловек, который привык к двоичной арифмети­ ке, оценивает числа ее и не нуждается в пере­ счете на десятичные цифры, мог бы свободно решать любые системы уравнений и в то же время оставаться в полном неведении о том, что дважды два — четыре.

Применение двоичного кода не единствен­ ное усовершенствование, которое можно сде­ лать в арифметике. Здесь формальная слож­ ность преобразований, например, иногда не со­ ответствует их значению, их ценности:

имеют разное значение, то настоящее, то обратное. Для непривычного человека код Грея представляет собой головоломку, но машины опери­ руют с ним безукоризненно: у них нет традиций и предрассудков.

В двоичном коде отсутствуют запрещенные комбинации, любая по­ следовательность нулей и единиц есть одно и только одно число. Коли­ чество информации в двоичном числе равно стольким битам, сколько знаков в нем.

191

Но ценность распределена по этим знакам неравномерно. Первые знаки более содержательны, чем последние, как, впрочем, к в десятичном

числе^ Это обстоятельство легко обнаруживается при исследовании чисел

на устойчивость к помехам. Как мы уже знаем, повышение содержатель­ ности сказывается в том, что данная информация легче и сильнее пор­ тится при неизбежных ошибках и сбоях. Предположим, что число 85021 569 потерпело искажения — один раз в первом знаке, другой в по­ следнем:

25 021 569 и 85 021 564.

Одинаковы ли последствия этого искажения? Конечно, нет. В пер­ вом случае величина ошибки составляет 60 миллионов, а во втором —■ всего 5 единиц. И такие неопределенности, как

?5 021 569 и 85 021 56?,

весьма различны между собой: неопределенность первой из них несрав­ ненно выше.

Это показывает, что существуют пути для повышения содержатель­ ности кодов, даже если они формально не избыточны. Обычное округле­ ние является подступом к ним. Практически удобно вместо числа 85 021 569 оперировать близким к нему числом 85 000 000 и вместо двоичного числа 110110101010 — числом 110000000000. Информация тут, несомнен­ но, теряется, но за счет малоценных, последних выборов. А в получен­ ном коде вновь выплывают длинные ряды одинаковых знаков — верный признак избыточности. В десятичной системе мы знаем, как их ликвиди­ ровать: вместо 85 000 000 мы пишем:

85106, или, условно, 6/85,

где первая цифра есть «порядок» числа, общий показатель его абсолют­ ной величины, применительно к системе счета. Такая же условность поз­ волит нам двоичное число 110000000000 записать так:

1010/ 11.

Здесь первое выражение до черты есть порядок, количество пустых после округления разрядов числа— двоичное десять; а следующие. 11 есть значащая часть его — двоичное три (в десятичном счете это число

Такая форма числа называется «полулогарифмической». Она позво­ лила, допустив небольшую неточность в младших разрядах, вместо две­ надцати знаков использовать только шесть.

Кроме того, у числа есть знак — плюс или минус. Чтобы не вводить лишних рисунков-знаков, условимся, что плюс мы обозначаем единицей, а минус — нулем.

192

Тогда в полулогарифмической двоичной записи числа прибавится спереди еще один член — показатель знака:

1/ 1010/ 11,

а если установлено, сколько сигналов отводится на показатель знака, порядок и значащую часть, черточки опускают и записывают просто:

1101011.

Такой код может содержать еще большую информацию о числе и его свойствах, в частности наименования предметов счета. Так собствен­ но «число» постепенно растворяется в информации о явлении вообще, выраженной в двоичном коде.

У многих народов европейские исследователи застали еще не закон­ ченным процесс обобщения, приводящий к счету. Племена чимшинов (Британская Колумбия), кроме обычных чисел, имели особые числа для плоских, круглых, длинных предметов, мер, лодок и людей.

Все дедуктивные модели, в том числе и разные алгебры, возникли тогда, когда методами индукции удалось сделать обозримым тот ре­ зультат, к которому должны быть направлены аксиоматические построе­ ния. «Практическая деятельность человека,— говорит В. И. Ленин,— миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторе­ нию разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значе­ ние аксиом».

Арифметика, алгебра, геометрия, лингвистика — все науки возникли в процессе индуктивного обобщения трудового опыта. Но рано или позд­ но наступает такой момент, когда в поисках точности, полноты и непро­ тиворечивости ученые начинают строить дедуктивную систему чисел, фи­ гур, языка, поведения — и она оборачивается содержательным истолко­ ванием одной из алгебр.

Так, с появлением «структурной лингвистики», основанной Ф. де Соссюром, язык стал изучаться, как кодовая система, которая хотя и вклю­ чает огромное количество случайных, шумовых компонентов, но все-та­ ки имеет в основе некоторую алгебру, и ее можно построить формаль­ ным способом — с помощью аксиом и строгих правил вывода.

Подобный, но более длинный путь прошла и логика. Из наблюдений над разными языками, из практики перевода было выяснено, что за от­ ношениями слов, зависящими от языка, скрываются более общие отно­ шения, определяющие смысл речи, т. е. информацию, остающуюся неиз­ менной при переводе из одного языкового кода в другой.

Первой логической формой является п о н я т и е — то, что обозна­ чают посредством слов. Указывая на стакан, русский, немец и китаец произнесут разные звуки, но понимают они под этими звуками одно и то же — стакан. Если каждый из них на родном языке скажет, что ста­ кан «стоит», то и в этом случае разными словами будет выражено одно понятие «стоять».

питья, и с общей формой цилиндрических предметов. Между различны­ ми явлениями в мире всегда существует некоторое сходство, возможная связь,—■мысль находит ее и выражает понятием. Рост жизненного опы­ та ребенка заключается прежде всего в изменении понятий, во все на­ растающем соответствии их богатству свойств реального мира. Разбив стакан и получив за это нагоняй от родителей, ребенок меняет содержа­ ние этого понятия, более четко выделяя такой его признак, как хруп­ кость, непрочность, тогда как прозрачность стакана, интересовавшая его прежде, отходит на второй план.

В логике четко устанавливается деление понятий на общие, соот­ ветствующие целым классам предметов, и единичные, на конкретные и абстрактные, сравнимые и несравнимые. В этом делении появляется ши­ роко используемый традиционной логикой прием дихотомии ■— разделе­ ния на два класса.

Однако простое выражение понятий совершенно непонятно. В нор­ мальной мысли понятия соединяются в высказывания или с у ж д е н и я , устанавливающие связи между понятиями. Суждения дихотомически де­

лятся на истинные и ложные.

Иногда суждения не требуют ни-развития, ни доказательств. Сооб­ щив, что «стакан разбился», ребенок считает ситуацию исчерпанной и факт достаточно ясным. Со временем он постигает, однако, что в мире есть причины и следствия, он начинает рассуждать, связывать высказы­ вания в цепи, обычно соответствующие типу: «если А, то Б». Например: «Если стакан держать некрепко, то он упадет; а если упадет, то разо­ бьется; и если разобьется, то накажут...» Не вдаваясь в обоснованностьродительской воли и педагогическую уместность наказания, ребеноксвязывает ощутительную опасность его, обнаруживающуюся в конце це­ почки рассуждений, с реальной ситуацией (ведь он сам держит стакан в руке) и, получив драгоценную возможность предвидеть ход событий, крепче сжимает стакан ручонкой.

Логика делит такие цепи рассуждений на умозаключения, классиче­

Б выпадает, цепь последовательностей «если—то», называемых и м п л и ­ к а ц и я м и , становится короче. Развертывая силлогизм, мы не получим новой информации, сообщения о новом факте, но силлогизмы делают коллекцию наших суждений о фактах экономнее, содержательнее.

В руководствах по логике с глубокой древности построение умоза­ ключения поясняется выводом, печальным для некоего человека с древ­ неримским именем Кай:

Все люди смертны Кай — человек.

Следовательно, Кай — смертен.

194

В течение сотен лет образованный человек был обязан знать на­ изусть все девятнадцать звукосочетаний от «барбара» до «фресисон» — Последнего модуса четвертой фигуры. Старинный • школяр без труда объяснил бы, что силлогизм о смертности Кая включает три понятия: Кай —■А, смертность — Б, человек (или люди) — В, и построен по пер­ вой фигуре, модус «барбара», тогда как силлогизм о Кае-собаке отно­ сится ко второй фигуре. Но во второй фигуре запрещен модус типа ААА

и разрешены только четыре других — ЕАЕ, АЕЕ, ЕИО, АОО, а потому не доказано, что Кай — собака.

Школьная логика; имела крайне ограниченное житейское примене­ ние. Тот же школяр в своих обычных рассуждениях никогда не прибе­ гал к модусам- и фигура-м силлогизмов для проверки их правильности. Он рассуждал, как поет птица,— не зная нот. Всякий человек, пожелав­ ший бы, поминутно проверять себя, так ли он рассуждает, как это пред­ писывает логика, попал бы в положение сороконожки, которая однажды задумалась: «А в какой последовательности я передвигаю все свои со­

тики.

Юристов интересовала возможность однозначно выводить следствия, пригодные для конкретных случаев практики, из категорической инфор­ мации государственных законов.

Философы хотели увидеть за логическими знаками сущность мысли: как это загадочное явление природы относится ко всей остальной при­ роде? Почему возможно предсказание, почему выводы мысли совпадают с тем, что затем действительно наблюдается?'

Математики занялись всерьез логикой, когда обнаружили, что их хваленый, безукоризненно точный дедуктивный аппарат дает осечки, вроде той, которая обнаружилась в деле Протагора и его ученика. К се­ редине XIX века великий английский математик Джорж Буль (1815— 1864) вывел для логических построений особую алгебру, которую назы­ вают теперь «булевой ,-алгеброй», формальной или символической логи­ кой. Главный труд Буля «Исследование законов мышления» вышел из печати в 1854 г.

Д. Буль и продолжатели его дела Э. Шредер, Г. Фреге, П. Порецкий, Г. Рассел, Д. Гильберт сказали: вот у нас есть знаки, буквы, символы. Мы будем наделять их разными свойствами и переменять по разным правилам, стремясь к одному: чтобы в конце получилось похожее на то, что есть в логике, ощущаемой под покровом человеческих языков. Одна- »ко наше формальное «высказывание» или «понятие» мы пока не будем отождествлять с настоящими. Мы найдем наименьшее количество про­ извольных, нами самими выдуманных законов, а об их соответствии ре­ альным свойствам логики будем судить, когда создается вся модель по общему сходству.

Так на страницах книг появились буквы А, Б, В, наделяемые таки­ ми свойствами, которые имеют высказывания: «снег белый», «снег чер­

196

ный», «дважды два — пять», «корова — насекомое», «один и один — два».

Поскольку дихотомическое деление этих высказываний дает нам две группы: ложные и истинные высказывания, то буквам были присвоены критерии истинности и ложности, например 1 и 0.

Далее, по примеру обычной алгебры, были введены знаки отноше­ ний между «высказываниями»-буквами, например:

и многие другие, которые мы тут упоминать не будем.

При их помощи простые «высказывания» А, Б, В можно связывать в сложные типа А -> В, Б V В. Сложные высказывания также могут быть истинными или ложными, а эта истинность или ложность зависит от двух причин: от выбранного отношения и от значений истинности про­ стых высказываний. Установлено, например, что конъюнкция двух вы­ сказываний истинна только при истинности их обоих, а во всех осталь­ ных случаях ложна; и наоборот, дизъюнкция двух высказываний истин­ на всегда, кроме случая, где ложны оба высказывания. Эти свойства не выведены при помощи каких-либо опытов; напротив, они сами опреде­ ляют, что такое конъюнкция и дизъюнкция.

Существуют такие связи мыслей, которые при любой постановке настоящих высказываний дают всегда истинные суждения. Три из них со времен Аристотеля считались основными.

Первый из них — з а к о н т о ж д е с т в а — требует, чтобы каждый предмет мысли в течение рассуждений оставался таким, каким он был вначале; он должен быть тождественным самому себе. В символической записи ему соответствует формула

A-v- А; «если А, то А».

Рассуждая о стакане, я могу говорить, что стакан есть стеклянный предмет цилиндрической формы и т. п. Но если вдруг окажется, что под стаканом я понимаю совокупность отдельных кусков стекла, так как ста­ кан во время рассуждений разбился, это будет нарушение закона тож­ дества. Только диалектическому методу доступно рассмотрение явлений в изменении и развитии, а формальная логика строится на призна­ нии их Постоянства, неизменности.

Второй закон — з а к о н п р о т и в о р е ч и я — говорит, что рассуж­ дение, в котором нечто о предмете утверждается, а потом оно же от­ рицается, является недопустимым, т. е.

197

ты его или не бил?» Отвертеться невозможно, надо признаться или от­ казаться. Если данное суждение истинно, то его отрицание будет лож­ ным, а если оно ложно, то отрицание его истинно, т. е.

А V А; «А или не-А».

Диалектический метод, рассматривающий явления природы и обще­ ства глубже, чем обычная логика, отступает при этом от строгости за­ конов противоречия и исключенного третьего, но делает это каждый раз обоснованно, исходя из развития рассматриваемого явления.

Три первых закона логики характеризуют одно из трех логических отношений: импликацию, конъюнкцию и дизъюнкцию. Приняв соответ­ ствующие этим законам формулы за истинные, а также используя неко­ торые дополнительные правила подстановки, мы можем выводить дру­ гие, тоже истинные при всех условиях формулы. В частности, после ряда подстановок и замен из основных законов была выведена формула

/А -ьВ/Д /В->С/->/А ->С /,

которая точно отражает структуру силлогизма. Главное индуктивное до­ стижение логики —■силлогизм — было получено дедуктивным методом!

Для выражения элементарных логических отношений достаточно двух из них, так как третье может быть заменено двумя другими. Раз­ ные ученые выбирали для этого разные пары отношений. Брентано пред­ почел отрицание и конъюнкцию, Фреге — импликацию и отрицание, де Морган — дизъюнкцию и отрицание.

При более тщательных исследованиях было найдено, что три логи­ ческих оператора («не», «и», «или») могут быть сведены даже к одному отношению, и в основе всегда истинных формул могут лежать не три тра­ диционных закона логики, а один-единственный постулат.

Существование универсального «оператора» предсказал еще в 1880 г. математик Чарлз Пирс, но подробно он был исследован в 1913 г. Шеффером. Поэтому он называется «штрихом Шеффера», обозначается косым штрихом, а выражение «А/Б» читается так: «А и Б несовместны». Универсальный постулат был выведен четыре года спустя логиком Нико; он использует штрих Шеффера в качестве единственного оператора.

Выражение_А/А заменяет отрицание А , выражение А/А/Б/Б тогда

равнозначно А/Б или А V Б и т. д. В постулате Нико характеризуются одновременно все основные логические отношения, записанные в виде ряда несовместностей с помощью штриха Шеффера и скобок, указы­ вающих последовательность применения операторов.

Долгое время на штрих Шеффера смотрели как на курьезное, пра­ вильное в принципе, но непрактичное дополнение к обычным обозначе­ ниям операторов, поскольку штрих приводил к более длинным запи­ сям '.1

1 «В качестве курьеза следует упомянуть, что можно обойтись также одним-един- ственным логическим знаком, как это показал Шеффер» (Д. Гильберт и В. Аккерман.

Основы теоретической логики, 1947, стр. 29).

198