книги из ГПНТБ / Детали из стеклопластика в судовом машиностроении

Более высокой симметрией, чем ортогональная, обладают мате­ риалы, у которых все оси, лежащие в одной из плоскостей симметрии, эквивалентны друг другу. Плоскость, проходящая через эти оси, является в этом случае плоскостью изотропии. Такие материалы называются п о п е р е ч н о (трансверсально)-и з о т р о п н ы м и или т р а н с т р о п н ы м и .

Опытные данные позволяют рассматривать все конструкционные материалы в некоторых пределах как упругие и подчиняющиеся закону Гука. Аппроксимация экспериментальных данных законом линейной упругости (законом Гука) приводит при одноосном напря­ женном состоянии для изотропного материала к общеизвестной

где а — нормальное напряжение; е — относительная продольная деформация; Е — модуль упругости, характеризующий упругую деформативность изотропного материала.

При трехосном напряженном состоянии, определяемом тремя главными напряжениями или шестью компонентами тензора напря­ жений в произвольных осях X, у и г, закон Гука принимает вид

Щраг

где р — коэффициент поперечной деформации (Пуассона); G — мо­ дуль сдвига. Здесь составляющие напряжений и деформаций отне­ сены к некоторым декартовым прямоугольным осям координат х, у и г, а упругая деформативность изотропного тела определяется

Для анизотропных тел закон Гука имеет другой вид в связи с тем, что величина деформаций зависит не только от величины действу­ ющих напряжений, но и от направления их действия в мате­ риале.

59

Пусть теперь оси координат х, у и z совпадают с направлениями осей симметрии ортотропного материала. Закон Гука в этом случае может быть представлен вместо (39) следующими формулами:

(41)

Іху

У х у

Уху

lyz

Ууг = ' Gyz

Угх —

которые отличаются от формул (39), в сущности, только тем, что величины характеристик Е, р и G имеют свое значение для каждого направления в материале, что и обозначено соответствующими индек­ сами. Первый индекс у р означает направление действующего напря­ жения, второй — направление деформации. Экспериментально уста­ новлены особенности упругой деформации анизотропных тел, опро­ кидывающие обычные представления. Так, для простого одноосного растяжения в направлении произвольно расположенной оси х' в анизотропном материале получим

упругости, модуль сдвига и коэффициент поперечной деформации материала в соответствующих направлениях, причем первый индекс при коэффициентах р и здесь означает направление напряжения,

чину угловой деформации (сдвига) при действии одних только нор­ мальных напряжений. Обобщенный закон Гука для общего случая произвольной ориентации осей в анизотропном материале приведен, например, в [5].

60

Как следует из формул (42), в анизотропных материалах нормаль­ ные напряжения, действующие в произвольном направлении, вы­ зывают не только продольные, но и угловые деформации, а каса­ тельные напряжения в свою очередь могут быть причиной не только угловых, но и продольных деформаций. Таким образом, отсутствие изменения угла между двумя взаимно перпендикулярными площад­ ками еще не означает отсутствия касательных напряжений на этих площадках, т. е. направление главных деформаций в анизотропных материалах не совпадает с направлением главных напряжений. Оси эллипсоида деформаций только в том случае совпадают с осями эллипсоида напряжений в ортотропном материале, если главные

например в случае гидростатического давления, при котором ох = =' оу = ог = о, а тху = хуг = %гх = 0. Если тело изотропно, то и упругие деформации при этом напряженном состоянии будут одинаковыми во всех направлениях (упругое уменьшение объема при неизменной форме тела). В анизотропном теле, подвергнутом всестороннему сжатию или растяжению, изменение размеров в раз­ ных направлениях не будет одинаковым, поэтому форма тела изме­ нится.

Закон Гука или закон линейной упругости для анизотропного

относительная деформация; oik — напряжения; сіЫт — упругие по­ стоянные, характеризующие материал и определяемые эксперимен­ тально.

Предполагается, что в формуле (43) производится суммирование по индексам, встречающимся дважды в правой части формулы, т. е. по индексам і и k. Знак суммирования в сокращенной записи

£=1 k = l

Вобщем случае ацизотропии (без элементов симметрии) материала или в случае ортотропного материала, если напряжения действуют не по главным осям анизотропии, тензор упругих постоянных со­ держит 21 компоненту. В исходных (главных) осях симметрии отлич­

ными от нуля для ортотропного материала могут быть только те компоненты, у которых индексы по крайней мере равны попарно, т. е. всего 9 компонент.

61

Т а б л и ц а 7

Технические упругие постоянные в осях симметрии ортотропного материала

В табл. 7 выписаны 12 компонент тензора упругих постоянных ортотропного материала в главных осях анизотропии х, у и г. Здесь обязательны три соотношения:

с учетом которых число независимых постоянных в табл. 7 остается равным девяти. Связь между цифровым (тензорным) и буквенным (техническим) обозначениями упругих постоянных в главных осях анизотропии ортотропного материала имеет следующий вид:

62

где E — модуль упругости при растяжении или сжатии в направлен нии оси, указанной в индексе; G — модуль сдвига при действии касательных напряжений по площадкам, параллельным одной и перпендикулярным другой из осей, указанных в индексе; р — коэффициент поперечной деформации. Первые шесть равенств (45) можно коротко записать в таком виде:

В табл. 8 упругие постоянные ортотропного материала пред­ ставлены в другом виде, не содержащем коэффициентов поперечной деформации р. Здесь индексы у скобок означают плоскость симме­ трии, к которой относятся величины, стоящие в скобках. Индексы у обозначений модуля упругости Е и модуля сдвига G указывают на ориентацию соответствующего направления в плоскости симметрии. Ориентация связана с величиной угла а = 0, 90 или 45°, который отсчитывается от направления одной из осей симметрии (х, у или г). Так, модули упругости Е 0, Ем и Еіъ определяются для направлений, составляющих с осью наибольшей жесткости в данной плоскости симметрии углы а, равные соответственно 0, 90 и 45°. Модуль сдвига G0соответствует случаю изменения прямого угла между осями симметрии, а G45 — между диагональными направлениями, лежащими в той же плоскости (см. также далее формулы (47)).

Полный комплекс характеристик упругости ортотропного материала состоит из 9 независимых друг от друга величин (упругих постоянных), подлежащих экспериментальному определе­ нию. Эти величины перечислены в формулах (45) и в табл. 7 и 8. Зная девять величин упругих постоянных в главных осях симметрии ортотропного материала, можно вычислить величину любой постоян­ ной для произвольного направления, что необходимо при определе­ нии деформаций в том случае, когда направление действующих на­ пряжений не совпадает с направлением осей симметрии. Обычно для этого случая даются формулы пересчета, содержащие одновре­ менно различные упругие постоянные. Для общего случая соответ­ ствующие формулы приведены, например, в работах [5, 28].

В главе III приведены поверхности, построенные по этим форму­ лам (с применением ЭВМ) и изображающие изменение величин Е, G и р в зависимости от направлений в анизотропных стеклопластиках.

Следует отметить, что коэффициенты концентрации напряжений в стеклопластиках сильно зависят от анизотропии упругих свойств и от ориентации действующих усилий по отношению к главным осям анизотропии. Теоретические коэффициенты концентрации при некоторой ориентации действующих усилий получаются значи­ тельно более высокими, чем для изотропных материалов.

Одним из возможных способов снижения концентрации напря­ жений около отверстий и надрезов является уменьшение степени упругой анизотропии материала вблизи очага концентрации. Поверх­ ности анизотропии модулей упругости несут информацию, необхо-

63

Технические упругие постоянные в осях симметрии ортотропного материала

И н д е к с ы н а п р я ж е н и й

димую для решения этой задачи. Появляется возможность конструи­ ровать армированный материал с переменной анизотропией, исходя из задачи оптимизации прочности детали.

Более простой вид формулы пересчета упругих постоянных имеют для плоской задачи. Положим, что поворот осей происходит вокруг оси z, т. е. в плоскости ху.

Введем следующие упрощенные обозначения (см. также табл. 8):

Соответствующие формулы пересчета для плоской задачи имеют

Формулы (47) мшКно применять для любой из трех плоскостей симметрии, отсчитывая угол а в этой плоскости от одной из осей симметрии (х, у или г соответственно).

Приведем формулу, связывающую между собой модули Е и G для ортотропных тел, сохранив эти же обозначения:

На рис. 27 показаны схемы ориентировки касательных напряже­ ний т при чистом сдвиге, отвечающем модулям сдвига Gxy = G0

и Gfy = Gib. При сдвиге по площадкам симметрии, параллельным осям х и у (рис. 27, а), по формуле (48) определяется модуль G0

в плоскости ху. При Сдвиге по площадкам, составляющим С оСЯмй симметрии х и у углы по 45° (рис. 27, б), по формуле (49) опреде­ ляется модуль G45 в п л о с к о с т и ху. В качестве оси х может быть вы­ брано, например, направление преимущественного армирования в плоскости листа слоистого стеклопластика.

Если угол а =j=45°, то схема ориентировки касательных напря­ жений (рис. 27, б) отвечает величине G , определяемой по формуле (47), причем поворот напряженного Состояния чистого сдвига про­ исходит вокруг оси г, а угол а отсчитывается в плоскости ху от оси х. Если напряженное состояние чистого сдвига поворачивать вокруг оси у Так, чтобы одна площадка действия касательных напряжений

Рис. 27. Ориентировка касательных напряжений при определении модуля сдвига: а — G в плоскости ху, б — G^ в диагональной плоскости; в — Gyz в плоскости уг.

(вертикальная на рис. 27, а, в) оставалась все время параллельной оси у, то после поворота схемы, показанной на рис. 27, а, на угол ß = 90° получается другая ориентировка касательных напряжений, показанная на рис. 27, в и соответствующая модулю Gyz. При пово­ роте схемы (рис. 27, а) вокруг оси у на любой угол ß модуль сдвига определяется по формуле

О ху Gyz

Следует отметить, что формула (40) несправедлива для ортотропного материала. Вместо нее имеет место соотношение (48), широко используемое в практике экспериментального определения модулей сдвига таких ортотропных материалов, как древесина, фанера и стеклопластики. В сущности, метод определения модулей сдвига, основанный на применении формул (48) и (49), можно назвать кос­ венным. Модули сдвига определяются этим методом из опытов на простое растяжение или сжатие соответственно ориентированных образцов.

Упругие свойства транстропного материала определяются пятью независимыми характеристиками в осях симметрии.

66

Соответствующие формулы легко получаются, если в формулах для ортотропного материала заменить, например, все индексы у на X, учитывая, что в плоскости ху свойства одинаковы по всем на­ правлениям. Иначе говоря, для трансверсально-изотропного мате­ риала в табл. 7 нужно принять (если z — ось симметрии беско­ нечного порядка):

(53)

1) исследование зависимости характеристик прочности от ориенти­ ровки усилия по отношению к осям симметрии материала; 2) со­ ставление уравнения (критерия), описывающего прочность при дей­ ствии сложных (двух- и трехосных) напряженных состояний. Обе задачи тесно связаны между собой и должны рассматриваться в со­ вокупности.

При исследовании анизотропии прочности возможны два раз­ личных подхода. Один, впервые использованный В. Фойгтом, осно­ вывается на описании анизотропии характеристик прочности тен­ зорными формулами, аналогичными тем, какие применяются для характеристик упругости анизотропных тел.

Второй подход, впервые предложенный Р. Мизесом, заключается в составлении некоторой квадратичной инвариантной функции, аналогичной упругому потенциалу. Эта функция принимается, в от­ личие от упругого потенциала, постоянной для данного материала независимо от напряженного состояния. Оба подхода в конечном счете приводят к описанию анизотропии характеристик прочности при помощи тензора четвертого ранга, но в первом случае тензор по своей физической размерности получается таким же, как тензор упругих постоянных. При втором подходе получается другая физи­ ческая размерность компонент тензора прочности. Первый (фойгтовский) подход приводит к простым формулам, подтвержденным многочисленными экспериментальными данными и названным в ра­ боте [4] т е н з о р и а л ь н ы м и . Дальнейшее изложение осно­ вывается на допущении об одинаковой физической размерности ком­ понент тензоров упругости и прочности, т. е. на фойгтовском под­ ходе к вопросу. Соответствующая инвариантная функция получается как следствие из тензориальных формул. Второй (мизесовский) подход рассмотрен И. И. Гольденблатом и В. А. Копновым в [21]

ментальным данным и изображающих изменение упругих и прочност­ ных характеристик различных анизотропных конструкционных ма­ териалов в зависимости от ориентировки усилия в материале, пока­ зало, что фигуры эти геометрически подобны и одинаково хорошо аппроксимируются формулами преобразования компонент тензора четвертого ранга. Одинаковая физическая размерность компонент и одинаковый ранг тензора позволяют применить для характеристик прочности такие же формулы, как для упругих постоянных (см. формулы (43) и (46)), и записать тензор прочности в следующем виде:

где в главных осях анизотропии х, у, z компоненты имеют следующие значения:

В формулах (55) и (56) введены следующие обозначения: пределы прочности при растяжении (сжатии) в направлении осей симметрии X, у и z обозначены авх, аву, овг, а в диагональных направлениях, лежащих в плоскостях симметрии и составляющих углы по 45°

по 45°.

Пределы прочности при чистом сдвиге по площадкам, параллель­ ным плоскостям симметрии материала, обозначены гвху, твуг, твгх.

В табл. 9 выражения (56) записаны иначе; обозначения здесь приняты, как в табл. 8. Индексы у скобок обозначают здесь плоскость симметрии материала, в которой а 0 — предел прочности при растя­ жении (сжатии) в направлении первой, а ст90 — в направлении второй из осей, указанных в индексе; сг4В— предел прочности в диагональ­ ном направлении, лежащем в этой же плоскости; т 0 — предел проч­ ности при сдвиге в той же плоскости, при котором касательные напряжения параллельны осям, указанным в индексе у скобки.

68