книги из ГПНТБ / Бешелев, С. Д. Экспертные оценки

Вп, вероятности которых известны; пусть известны только условные вероятности Р (А/В<) события A (£=1,2,. . ., /г). Тогда полная вероятность этого события будет

Р(А)=^Р(В,)ХР(А1В{). i = i

Если некоторое событие В вызывается действием ка­ кой-либо из т причин Аъ А2,. . ., Ат, то существует фор­ мула, позволяющая вычислить вероятность того, что

Эта формула, известная под названием теоремы Байеса, имеет много практических применений, в том числе и в методах экспертных оценок.

Теорема Байеса позволяет определить условные веро­ ятности при так называемом обратном анализе, например когда рассчитывается вероятность определенного исхода для раннего из двух зависимых событий при данном исходе второго события. Изменение направления анализа по­ зволяет принять во внимание дополнительные сведения, проверять и исправлять значения вероятностей, отно­ сящихся к важному для принятия решения исходу. Так, используя априорные оценки вероятностей различ­ ных гипотез, полученные от экспертов, можно рассчи­ тывать" "после каждого нового события апостериорные вероятности этих гипотез.

Смысл двух использованных выше терминов — «апри­ орная» и «апостериорная» вероятность — заключается в следующем. Так как сущность байесовского подхода состоит в изменении значения вероятности на основе более поздних сведений, то вероятность, связанная с ис­ ходом, при "отсутствии каких-либо сведений о зависимых событиях называется априорной. Если же значение такой вероятности изменяется в связи со знанием исхода зави­ симого события, то полученная величина называется апостериорной вероятностью.

В качестве примера такого подхода рассмотрим еле- . дующую игру. Пусть имеются две урны с белыми и крас~

70

ными шарами Ах и А2. Число белых шаров в первой урне составляет 50% от йх общего количества, а во второй урне — 30% . Игра заключается в том, что вы выбираете урну в зависимости от того, какой стороной упадет под­ брасываемая вами монета («орлом» или «решкой»), а за­ тем вынимаете из отобранной урны шар. Мне известен состав шаров в урнах, но я не знаю, из какой урны вы извлекли шар, и я должен угадать это, учитывая его цвет. Если я ошибусь, выигрыш будет ваш, если угадаю — мой.

Поставьте себя на мое место. Мне известно, что верояность извлечения шара из обеих урн равна половине, поскольку это решается подбрасыванием монеты. Таким

пользуясь теоремой Байеса, я могу вычислить апостери­

Таким образом, исходя из расчетов на основе теоремы Байеса, мне выгоднее назвать урну Аг, поскольку моя догадка будет правильной в пяти случаях из восьми.

Аналогичным об_разом, если вынутый вами шар ока­ жется красным, то и в этом случае, рассчитав апостериор­ ные вероятности, как показано ниже:

71

я также могу назвать наиболее предпочтительную урну. Очевидно, что в этом случае мне выгоднее назвать урну А2.

Мы еще вернемся к байесовскому подходу при выве­ дении основных правил приписания оценок событиям с помощью экспертов. Подробное описание различных применений этого подхода для решения ряда практи­ ческих задач дано в работе У. Морисса 4 .

Индивидуальные оценки экспертов, как отмечалось в начале этого раздела, являются отражением неизвест­ ного нам вакона распределения какой-либо переменной. Поэтому кратко остановимся на понятии закона распре­ деления.

Пусть имеется числовая переменная X, которая может принимать значения хх, х2,. . ., хк,. . ., хп. Если каждому значению хк можно поставить в соответствие вероятность рк так, чтобы она изменялась от нуля до единицы, а сумма вероятностей была равна единице, то в этом случае пере­ менная X представляет случайную величину, а соответ­ ствие {хк, рк) определяет закон распределения случайной величины.

Множество элементов, подлежащих исследованию, в ма­ тематической статистике называют совокупностью. В ста­ тистическом анализе термин «генеральная совокупность» используется для обозначения всех элементов, которые соответствуют некоторому явлению; термин «выборка» означает часть генеральной совокупности. Ряд оценок, полученных от группы экспертов, обычно рассматри­ вается как некоторая выборка пз генеральной совокуп­ ности, а групповая экспертная оценка — как результат анализа этой выборки.

Использование оценок экспертов как выборки из не­ которой совокупности в случаях, когда нет возможности произвести непосредственные измерения и расчеты, мо­ жет быть оправдано не только тем, что если эти оценки включают какие-либо ошибки, то они взаимно компен-. сируются. Во многих случаях замена индивидуальных экспертных оценок единым показателем может помочь точнее предсказать общую характеристику исследуемой совокупности.

Закон распределения случайной величины может быть охарактеризован с помощью параметров. Например, сред-

' У. Моррис. Наука об управлении. Байесовский подход. М., 1971.

72

характера исследуемой проблемы и полученного распре- - деления индивидуальных оценок правильно выбрать спо­ соб расчета групповой, о^обш^днож^оценки.

1-~ Пусть имеется ряд нёсгруппированных экспертных оценок ж1 ( хг,. . ., хп. Простейший способ нахождения

73

обобщенной оценки состоит в вычислении средней ариф­ метической X:

it

2 X i

Иногда каждой экспертной оценке приписывается определенный вес, например в зависимости от ее значи­ мости. В таких случаях можно рассчитать взвешенную среднюю арифметическую (среднюю взвешенную) по формуле

оценки сгруппированы в виде ряда распределений, имею­ щего М интервалов, то для расчета средней применяется формула

х = ^ ,

где М — число интервалов, /,. — число оценок в г-м ин­ тервале.

Оценки, полученные от экспертов, могут быть упоря­ дочены, т. е. расположены в порядке возрастания или убывания какого-либо важного свойства (признака). В слу­ чае, когда необходимо установить значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда, рассчитывают медиану. Медиана делит ряд так, чтобы число оценок с ббльшим значением и число оценок с мень­ шим значением были одинаковы. Так, если имеется не­ четное число оценок х, равное 2/г+1, то (ге-И)-я по по­ рядку нарастания оценка будет соответствовать медиане упорядоченного ряда. Если же число оценок четное, то за медиану обычно принимают среднюю арифметичес­ кую п-ж^ж (гс-И)-й оценок.

74

Исторически математическое ожидание возникло при исследовании азартных игр. Предположим, что мы выби­ раем между играми А и В. Анализ правил этих игр при­ водит пас к-двум распределениям вероятностей выигрыша,

изображенным в виде графиков на рис. 6. Априори трудно определить, какому из двух распределений следует отдать предпочтение.

Выбирая игру В, мы устраняем возможность слишком малых выигрышей, но в то же время лишаемся и надежды на крупный выигрыш. Вводя же понятие математического ожидания, мы характеризуем наши распределения двумя точками ХА И ХВ, расположенными на прямой выигрышей ж, и тем самым получаем возможность выбрать однозначное решение.

Из теорем теории вероятностей известно, что математи­ ческое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий каждой из величин и что матема­ тическое ожидание произведения случайной величины на какое-либо число равно произведению математического ожидания случайной величины на это число.

Если дана случайная величина X, можно рассмотреть функцию от нее / ( X ) , которая также является случайной

76

величиной, и вычислить математическое ожидание этой функции. В частном случае, когда / (X) представляет собой некоторую степень X, получают параметры, кото­ рые называются моментами случайной величины. На прак­ тике часто приходится пользоваться так называемыми центральными моментами, т. е. моментами случайной величины X — Е (X).

Первый центральный момент всегда равен нулю. Вто- 1 рой момент относительно среднего является показателем j рассеяния и называется дисперсией. Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратическим откло­ нением а и вычисляется по формуле

где п — число оценок, х — средняя арифметическая. * Расчет среднего квадратического отклонения вместе со средней арифметической дает более полное представле­

ние об исследуемой совокупности экспертных оценок^ j Следует помнить, что, группируя оценки, полученные

от экспертов, в какой-либо ряд распределения и исполь­ зуя в качестве обобщающей характеристики параметры этого распределения, мы полегчаем возможность оценить групповое мнение, но всегда вынуждены расплачиваться за это потерей некоторой доли информации. Поэтому, прибегая к тем или иным статистическим приемам мате­ матической обработки информации, полученной от экспер­

исследуемых явлений, меняется форма, в которой эксперт может представить свое суждение. Оценки той или иной характеристики, полученные от эксперта (группы экспертов), ~~ могут быть представлены, например, в виде ряда распре­ деления их как интервал, внутри которого, по предполо­ жению, находится исследуемая характеристика, или же в виде точечной оценки. Однако вне зависимости от формы, оценки должны обладать свойством непротиворечивости. Это означает прежде всего, что должны быть соблюдены основные правила приписания вероятностных оценок собы­ тиям. К рассказу об этих правилах мы и приступаем.

77

Основные правила прпппсания вероятностных оценок событиям

Основой экспертных методов должна быть система непро­ тиворечивых правил, позволяющих использовать мнения экспертов для выбора наиболее предпочтительных ре­ шений. В предыдущем разделе было показано, что в прин­ ципе такие правила могут базироваться на понятиях, аксиомах и теоремах теории вероятностей и математи­ ческой статистики. Установим теперь правила,I обеспечи­ вающие приписание обоснованных вероятностных оценок, необходимых для выбора решений в условиях неопре­ деленности.

С этой целью рассмотрим простой пример. Предполо­ жим, что нужно выбрать один из двух билетов лотереи, которая разыгрывается следующим образом. Вынимаются из урны четыре шара разного цвета: красный полосатый, красный в крапинку, зеленый полосатый и зеленый в кра­

78

Второй билет дает тот же выигрыш, если вынутый шар окажется зеленым в крапинку. В табл. 4 показаны усло­ вия выигрыша по билетам № 1 и 2.

^* Анализируя таблицу, можно отметить, что при соблю­ дении условий лотереи возникают затруднения в случае, если будет вынут красный полосатый шар, ибо тогда события «красный» и «полосатый» будут учтены дважды. А следовательно, и вес, который мы приписываем этому событию, также будет учтен дважды при оценке возмож­ ных действий.

Для того чтобы избежать этого затрудения, сгруп­

А, В или С, происходит, это означает, что ни одно другое событие этого перечня произойти не может. События таких перечней называются взаимоисключающими.

Возможность различения событий и классификации их

простыми. Очевидно, например, что в рассматриваемой задаче все четыре события перечня А являются простыми.

Любой ряд простых событий можно представить в виде точек. В диаграмме на рис. 7 так показаны события пе­ речня А.

События «красный» или «полосатый» можно тогда представить как ..соответствующие группы точек, харак­ теризующих простые события. События «красный» и

79