книги из ГПНТБ / Михайлов, Ю. Я. Электромагнитные колебания лекции

Таким обоазои, получается колебание частотой, равной по-

амплитудой, которая изменяется с частотой, -равной полураз-

которые изображены на рис.6 . При увеличении разности частот слагаемых колебаний ч астота’Ьиений"возрастает.

§ 5 . Понятие о сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний

Если точка колеблется вдоль <ЮЯ Ох по закону

X

Рис. 7

то, исключая из них время, получаем траекторию двинения точки в виде:

дет составлять некоторый угол с осью Ох . При различных частотах слагаемых колебаний точка описывает на плоскости сложные фигуры, называемые фигурами Лиссажу. При этом ока­ зывается, что отношение числа точек пересечения фигуры Лиссажу с осями Ох и Oÿ равно отношению частот слагаемых колебаний.

Задача 8 . Определите, при каких условиях движение точ­ ки по эллипсу или окружности будет происходить по ходу стрелки часов или в противоположном направлении.

ІЬ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ОДИНОЧНОМ КОНТУРЕ

§ I . Гармонические колебания в электрическом контуре

Рассмотрим колебательный контур, состоящий иэ конденса­ тора электроемкостью С и катушки индуктивностью L ,в ко­ тором сопротивление проводников исчезающие мало (рис.1 0 ).

А

ÏÎÙ

г т

V

L

Рис. 10

Зарядим конденсатор от генератора электродвижущей силой& ,

- К -

го

Для того чтобы найти зависимость колеблющихся величин

U , у и і от времени, нужно составить и решить дифферен­ циальное уравнение колебаний. Согласно второму вакону Кирх­ гофа алгебраическая сумма падений напряжения в контуре рав­ на алгебраической сумме действующих в нем электродвижущих сил. Падение напряжения происходит на пластинах конденса­

новки последнего выражения в уравнение (2) получим:

(3)

Это есть однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, которое описывает колебания заряда на пластинах конденсатора. Сравнивая это уравнение с уравнением (8) главы I , находим, что коэффициент IJLC равен со2 , т .е . квадрату собственной частоты колебаний. Следовательно, уравнение (8) можно записать в виде:

<*>

Так как . £ ^СІГ , то подстановка этого значения в уравнение (4) даст такое же дифференциальное уравнение, описывающее колебания разности потенциалов на пластинах конденсатора:

+ О)*«Г-0

"I И, наконец, если еще pas продифференцировать по време­

ни травнѳяие (2 ), то получим дифференциальное уравнение дліг колебаний силы тока в контуре:

22

Решением дифференциального уравнения называется такая функцият(в данном случае это сила тока как функция време­ ни) і= , что подстановка в уравнение этой функции и ее производных обращает его в тождество при любых значениях постоянных коэффициентов. В курсе математического анализа показывается, что решением уравнения (6) служит функция

т .е . і является гармонической функцией времени. В решении уравнения (7) і 0 и - произвольные постоянные, которые надо определить из начальных условий, C0Q - частота гармо­ нических колебаний, которая равна

жение на пластинах конденсатора уравновешивается электро­ движущей силой самоиндукции, возникающей в катушке контура, то

С.Ь

Подставляя в уравнение (7) найденные значения началь­ ной фазы и амплитуды, получим:

Решение дифференциального уравнения (5) можно записать так же, как и решение уравнения (6 ):

V" atU0 sia(coD +<р) .

2ч

Рас. I I

u a

где X - катимое с о ч и ш и и контура, а

соответственно индуктивное и емкостное реактивные сопротив­ ления. Из уравнения (14) вытекает, что реактивное сопротивхѳние контура равно нули. Халев из уравнения (I) следует, что

Величина р называется волвовш сопротивлением, или характеристикой контура.

25