книги из ГПНТБ / Михайлов, Ю. Я. Электромагнитные колебания лекции

а» наконец, вернется к начальному значенію. Затем весь про­ цесс і8мененмя величина X повторится снова. Такны образом, при враценмм вектора-аиплмтудн А с постоянной угловой ско­

называется угловой частотой колебаний (измеряется в рад/с),

а ускорение как первую производную от скорости по времени или как вторую производную от смещения по времени:

т .е . ускорение точки в гармоническом колебания пропорцио­ нально ее сиеменмю м направлено в противоположную ему сто­

р ону.

На р яс .І показано, как получить развертку колебаний во

6

времени, называемую также осциллограммой колебаний. Уравне­ ние (I) - есть уравнение этой кривой. Иэ уравнений ( І ) ,( 8 ) ,

(4) видно, что скорость V и ускорение а является такими хе периодическими функциями времеви с периодом TQ , как м омѳцѳние х . На рис.2 представлены графики изменения всех этих величин.

Если материальная точка массой т совершает колебания вдоль прямой Ох согласно уравнению ( I ) , то легко получить выражение для силы, вызывающей такое периодичѳсхое движе­ ние. По второму закону Ньютона, принимая во вншаниѳ урав­ нение (5 ), инеем:

Итак, сила, внаываюиая гашеаические колебания, пропор­ циональна, онемению и направлена к положению равновесия.Та­ кие сиды получили название квазиэтгоугих.

Если обозначить

(7)

то из уравнения (6) получим дифференциальное уравнение гар­ монических колебаний:

7

РЫС.8

k i получики дифференциальное уравыеии rajaiom necnx колебаний, такое ае, как уравнена (8 ). Сравнивая іи Ц н пиентн при х . ваходп:

откудапериодгармоническихжалованийгирькя

Дифференциальное уравнение (9) можно получить, исходя из закона сохранения анергии. Если никаних потерь анергии в колебательной системе не происходит, то сумма потенциаль­ ной и кинетической анергий системы остается постоянной и в наиен случае равной:

(II)

где первое слагаемое в левой части равенства - потенциаль­ ная анергия пружиня, а второе - кинетическая анергия гирь­ ки. Дифференцирование атого равенства по времени дает:

X (кх+/пх)-0,

откуда и получается уравнение (9).

2. Колебания Физического маятника. Физическим маятником называется любое тело, которое может совермать колебания около точки подвеса, не совпадающей о его центром инерции (центром тяжести). На рис.4 изображен физический маятник, отклоненный от положения равновесия на угол ос. . При атом, как видно ив рисунка, возникает момент сил, возвращающий маятник к положению равновесии, равный

Согласно основному уравнению динамики вращения зтот мо­ мент равен произведению момента инерции маятника относи­ тельно точки подвеса на угловое ускорение £ = ос :

Обе= -wfyL Sinoc .

IO

Рве. +

Прж малых колебаниях Sinос"»ос , ■ дифференциальное уравненне гармонических хеиебавик физического маятника имеет вид:

Сравнивая уравнение (12) с уравнением (8 ), находим.™

II

3JmL называется приведенной длиной физического маятника. Так как но теореме Ітейнера момент инерции тела J =J0 W S 2

инерции от точки подвеса. Точка, лежащая на одной прямой с центром инерции и точкой подвеса на расстоянии t от по­ следней, называется центром качаний маятника.

Задача 3. Докажите, что если подвесить фияический маят­ ник в центре качаний, то период его колебаний останется прежним.

§ 3 . Энергия гармонические колебаний

Если рассмотреть колебания гирьки на пружисе, то легко увидеть, что в крайнем ее отклонении от положения равнове­ сия при вся анергия колебательной системы будет рав­ на потенциальной анергии пружины:

Задача 4. Получите формулу (14) для любого отклонения х от положения равновесия, для этого воспользуйтесь уравнени­ ями ( И ) , ( І ) Г (3) и (75. ■

12

Задача 5 . Найдите формулу анѳргжж гармонических коле­ баній физического маятника.

§ 4 . Сложение двух гармонических колебаний.направленных до одной и той же прямой

I . Частоте слагавшиколебаний одинаковы. Пусть урав­ нения слагаемых колебаний будут:

фв1+й)

■х=Агш(со0і+&) .

Для того чтобы сложить эти колебания, воспользуемся гра­ фическим способом. Построим векторы-амплитуды обоих колеба­

где А - вектор-амплитуда суммарного колебания, равная геометрической сумме векторов-амплитуд слагаемых колебаний:

а ее модулъ определяется как диагональ параллелограмма, сторонами которого служат векторы-амплитуда слагаемых ко­

13

X

слагавш и колебаний равна нечетному числу 7Г . то суммарняя амплитуда равна абсолютной величине разности амплитуд слагаемых колебаний.

Задача 6 . Рассмотрите случай, когда разярсть фаз слагае­ мых колебал! р ем а £ ^/£ ? • Этот случай встречается в элек­ тротехнике.

14

Начальная фааа суммарного колебания определяется на треугольника AOD :

2 . Частоты слагавмнг колебаний различны» вовьмем урав­ нения слагаемых колебаний в виде:

x f =/?f cos(cj^ +(/>) ;

хг=4,со5((огі+<р)

суммарного колебания будет равна\At ~Аг\.

Итак, при сложении двух гармонических колебаний различ­ ных частот подучается колебание о переменной амплитудой, ивменявиейся в пределах:

15