Приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур

Пусть функция y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой y=f(x) на [ a, b] численно равна определенному интегралу , т.е.

S=.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

S = (кв. ед.)

Пусть функция y=f(x) неположительна и непрерывна на отрезке [a, b]. Площадь S над кривой y=f(x) на [ a, b] отличается знаком от определенного интеграла , т.е.

S= -. (17)

Приведем формулу, применение которой упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.

Теорема. Пусть на отрезке [a, b] заданы непрерывные функции y=f₁(x) и y=f₂(x) такие, что . Тогда площадьS фигуры, заключенной между кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x) на отрезке [ a, b] вычисляется по формуле

S=. (18)

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой, решив систему этих уравнений: (-1; -1) и (2; 2). На отрезке [-1; 2] . Воспользуемся формулой (18), полагая f₂(x)=x, f₁(x)=x² – 2. Абсциссы точек пересечения линий зададут пределы интегрирования:

Площадькриволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением r=f() и двумя лучамиивычисляется по формуле:

Пример. Найдём площадь области, ограниченной частью спиралиr=a (a>0) при ;и отрезком;оси(см. рис.).

Применяя формулу, получаем:

Если область имеет границу, состоящую из двух отрезков лучейи(эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:r=f₁() иr=f₂(), причёмf₁(f₂(), при всех(см.рис.)

то площадьобластиможно представить как разность двух площадей:S₂— площади области, лежащей между лучами и, и линиейr=f₂(), иS₁— площади области, лежащей между лучами и, линиейr=f₁().

Каждую из площадей S₁ и S₂ можно подсчитать по формуле, так что получаем в итоге

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x=(t) и y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a,b] оси Ox выражается формулой

.

Вычисление длины дуги

1. Явное задание кривой. В этом случае кривая задается в виде ,, и длина ее дуги равна L=.

2. Кривая в полярных координатах. Уравнение кривой имеет в этом случае вид и длина ее дуги равнаL=_.

3. Параметрическое задании кривой. Пусть функции x(t) и y(t) имеют на отрезке непрерывные производные и. Тогда длина дуги кривой

_L=.

Пример. Найдём длину дуги кривой (циклоиды), заданной на плоскости параметрическими уравнениями

лежащей между точкамиO(0;0) (соответствует ) иA(2a;0) (соответствует ).

Для функций f₁(t)=a(t-sint) и f₂(t)=a(1-cost) вычислим производные:

Тогда искомая длина дуги равна

Пример. Пусть линия на плоскости с полярными координатами (r;) задана уравнениемr=a (a>0). Поскольку функция f()=aпериодична с периодом , достаточно рассматривать только значения аргумента, при которых выражениенеотрицательно. Кривая имеет вид, изображённый на следующем рисунке.

Найдём длину этой линии.

Имеем

Поэтому искомая длина равна