Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование

Понятие интеграла (наряду с понятиями производной и дифференциала) является фундаментальным понятием математического анализа. Возникновение этого понятия связано с необходимостью решать задачи на вычисление площадей фигур, длин кривых, объемов тел, работы переменной силы и т. д., а также находить функции по их производным.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство .

Примеры.

1. F(x) = sin x является первообразной для f(x) = cos x на множестве , так какдля любого.

2. Если , то, так как.

Если F(x) есть одна из первообразных для функции f(x), то любая функция семейства F(x)+C, где С – постоянное число, является первообразной для f(x).

Очевидно, что верно и обратное: каждая функция, первообразная для f(x), может быть представлена в этой форме.

Определение 2. Если F(x) – первообразная для f(x), то выражение F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается:

f(x)dx = F(x) + C (1)

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, произведение f(x)dx — подынтегральным выражением, x — переменной интегрирования.

Заметим, что символ f(x)dx ввел в 1675 году знаменитый немецкий математик Г. В. Лейбниц (1646 – 1716).

Примеры.

1. 2.3..

Рекомендация. Проверка правильности результата интегрирования осуществляется дифференцированием последнего. После дифференцирования должна получаться подынтегральная функция.

Таблица основных интегралов

I.

II.

III.

IV. .

V.

VI. <.

VII.

VIII.

IX. .

X.

XI.

XII.

XIII.

Обоснование формул может быть произведено одним и тем же путем: достаточно убедиться, что производная правой части равна подынтегральной функции левой части.

Важно таблицу основных интегралов, как и таблицу производных основных элементарных функций, знать наизусть.

Простейшие правила интегрирования

А. гдеа=const, т.е. постоянный множитель, можно выносить за знак интеграла.

В. т.е. интеграл от алгебраической суммы функций, равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

С.

Вычисление интегралов путем использования таблиц основных интегралов и указанных правил называется непосредственным интегрированием.

Найти интегралы.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Примеры.

1.

Представляем каждое слагаемое в виде степени и интегрируем сумму степеней:

.

2.

Представим дробь в виде суммы и интегрируем:

3.

Возведем разность в квадрат и затем интегрируем:

Найти интегралы.

9.

10.

11. , (a,b,c – постоянные).

12.

Метод непосредственного интегрирования требует определенных навыков в преобразованиях подынтегральных функций.

Примеры.

1.

Числитель дроби представим в виде разности кубов, дробь сократим.

.

2.

Прибавим и вычтем в числителе и представим в виде суммы двух слагаемых:

3.

Так как , то

Заметим, что возможно и другое решение. Так как , то

,

поэтому

(Применили табличный интеграл VII и правило С.)

Как видим, при решении одного и того же примера могут получаться разные формы ответов. Но оба они являются правильными, что легко проверить дифференцированием.

Найти интегралы.

13.

14.

15.

16.

17.

Сравните ответы и подынтегральные функции примеров 13 и 17.

В таблице интегралов предполагалось, что х есть независимая переменная. Однако эта таблица полностью сохраняется, если х заменить любой функцией от независимой переменной. Интеграл запишется так:

,

где — дифференцируемая функция.

Выбирая различным образом функцию , мы можем расширить область применения таблицы интегралов.

Пример.

Из формулы XI следует:

Заменяя здесь х на , получим, т.е.

.

Аналогично , т.е..

На этом основано решение интегралов подведением под знак дифференциала.

Примеры:

1. .

Заметим, что , помножимна 3, а интеграл – на 1/3. Получим

2. .

Чтобы воспользоваться формулой XIII, выполним преобразования:

.

3. .

Найдем , помножим в подынтегральном выражениина 3, а интеграл на 1/3:

.

Заметим, что тот же результат следует из правила С.

Найти интегралы.

18.

19.

20.

21.

22.

Вопросы и задания для самоконтроля^

1. Приведите 5 примеров к определениям 1 и 2.

2. Найдите первообразную для функции при х<0.

3. Докажите формулы II и III.

4. Объясните, почему функция arcsin x и –arccos x имеют одинаковые производные?

5. *Для всякой ли функции существует первообразная или неопределенный интеграл?

6. *Каков геометрический смысл неопределенного интеграла?

7. Запишите таблицу основных интегралов I – XIII для случая сложной функции.