- •Методическое пособие
- •Введение
- •Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование
- •Метод введения новой переменной
- •Метод интегрирования по частям.
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и экономический смысл
- •Свойства определенного интеграла
- •Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление определенных интегралов
- •Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление длины дуги
- •Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Вычисление объемов тел вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
- •Использование понятия определенного интеграла в экономике
- •Приближённое вычисление определённых интегралов
- •Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников
- •Квадратурная формула центральных прямоугольников
- •Квадратурная формула трапеций
- •Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников
- •Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)
- •Квадратурные формулы более высокого порядка точности
- •Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Найти
- •Набор заданий для выполнения расчетно-графической работы
- •Теоретические упражнения
- •Расчетные задания
- •Формулы. Справочный материал. Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Несобственные интегралы
- •Литература
Свойства определенного интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
= , (3)
где — некоторое число.
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
= (4)
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c:
= +. (5)
4. Если на отрезке [a, b], где a<b, f(x) g(x), то и , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
5. = -(6)
6. Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], (где a<b), то найдется такое значение [a, b], что
. (7)
Свойство 6 (теорема о среднем) при f(x) 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором (a, b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число
(8)
называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b].
Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница
Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b],то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке [a, х], вложенном в [a, b].
Положим по определению
Ф(х) = =, (9)
где [a, b], а функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.
Свойства функции Ф(х) (интеграла с переменным верхним пределом):
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то функция Ф(х) так же непрерывна на [a, b].
Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда в каждой точке х отрезка [a, b] производная функции Ф(х) по переменному пределу равна подынтегральной функции f(x), т.е.
Ф’(х) = ()’ = f(x).
Следствие. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой функции существует первообразная на отрезке [a, b].
Формула Ньютона-Лейбница
Опираясь на свойства интеграла с переменным верхним пределом, получили основную формулу интегрального исчисления.
Теорема. Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a, b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a, b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.
. (10)
Доказательство: Пусть F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). Но по теореме 2 функция Ф(х),заданная формулой Ф(х) = =, также является первообразной для функцииf(x), и найдется такое число C, что F(x) = Ф(x) + C. Тогда для приращения первообразной имеем
F(b) – F(a) = (Ф(b)+C) – (Ф(a)+C) =Ф(b) – Ф(а) = - .
Но . И тогдаF(b) –F(a) = .
Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим
.
Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x), например, имеющую наиболее простой вид при С=0.