- •2 Преобразования кинематических характеристик частицы при
- •3 Динамические характеристики частицы. Законы Ньютона
- •4 Принцип относительности Галилея. Механическая концепция
- •5 Уравнение движения частицы относительно исо. Принцип
- •6 Уравнение движения частицы относительно нисо. Силы
- •7 Принципы д¢Аламбера, виртуальных перемещений и
- •8 Обобщенные координаты и обобщенные силы
- •9 Уравнения Лагранжа (второго рода)
- •10 Принцип экстремального действия. Преимущество
- •11 Обобщенная энергия, обобщенный импульс и законы их
- •12 Центр инерции и законы сохранения импульса и момента
- •13 Связь законов сохранения со свойствами симметрии
- •14 Задача двух тел. Движение в центральном поле
- •15 . Задача Кеплера
- •16 Рассеяние частиц. Формула Резерфорда
- •17 Свободные и вынужденные одномерные колебания
- •18 Затухающие колебания
- •19 Вынужденные колебания при наличии трения
- •20 Кинематическое описание твердого тела. Углы Эйлера
- •21 Кинетическая энергия и момент импульса твердого тела
- •22 Уравнения движения твердого тела. Динамические уравнения Эйлера
- •23 Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона
- •24 Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби
- •25 Тензоры деформации и скоростей деформации
- •26 Закон сохранения массы и уравнение непрерывности
- •27 Поле скоростей и его характеристики
- •28 Силы, действующие в сплошных средах. Тензор напряжения
- •29 Необходимые уравнения движения сплошных сред
- •30 Уравнения движения идеальной жидкости
- •31 Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •32 Звуковые волны
7 Принципы д¢Аламбера, виртуальных перемещений и
д¢Аламбера-Лагранжа. Общее уравнение механики
Д¢Аламбер показал, что дифференциальные уравнения движения системы частиц могут быть представлены в форме уравнений равновесия системы сил. Уравнения движение для системы из n частиц имеют вид:
, i = 1, 2, …, n (2.2.1)
Назовем векторы
(2.2.2)
д¢Аламберовыми силами инерции. Тогда
(2.2.3)
т. е. дифференциальные уравнения движения приняли вид условий равновесия сил, приложенных к частицам системы.
Принцип д¢Аламбера: если к заданным силам и реакциям связей добавить силы, равные силам инерции, то полученная система будет находиться в равновесии.
Математическое выражение принципа д¢Аламбера в декартовых координатах:
(2.2.4)
Принцип д¢Аламбера открывает возможность применения к решению динамических задач специфических методов аналитической статики, что в ряде случаев упрощает решение.
Введем понятия возможных, действительных и виртуальных перемещений. Возможным перемещением называют обычно бесконечно малое перемещение частицы, совместимое с наложенными связями, т. е. удовлетворяющее уравнению связи
(2.2.5)
Действительное перемещение – то из возможных, которое удовлетворяет уравнениям движения. Если возможное перемещение(и– элементарно малые величины), то из известного дифференциального уравнения связидля возможного перемещения получаем:
(2.2.6)
Виртуальным перемещением называют бесконечно малое «перемещение» частицы, допускаемое связью в данный фиксированный момент времени. По сути это разность двух бесконечно близких возможных перемещений:
(2.2.7)
Подставляя в (2.2.6), находим:
(2.2.8)
что совпадает с (2.2.6) при стационарной связи ( т. е. при ) Таким образом, при стационарных связях понятия виртуального и возможного перемещений совпадают. Виртуальное перемещение не обусловлено действием сил и не обладает длительностью – это чисто геометрическое понятие, характеризующее структуру наложенных связей.
В математике величины вида называютвариациями; – вариация радиус-вектора частицы, причем
(2.2.9)
Вариация координаты – её бесконечно малое приращение, обусловленное переходом в данный момент времени от заданного движения к мысленному, допускаемому связями. Вариация отличается от бесконечно малого приращения координаты, обусловленного приращением аргумента (времени):И вариация, и дифференциал – бесконечно малые изменения координаты, различные по своей природе.
В аналитической механике широко применяется метод варьирования как координат, так и функций координат частиц механической системы. Пусть имеется функция координат и времени
(2.2.10)
Если координаты подверглись варьированию, то новое значение функции
(2.2.11)
Разложим (2.2.11) в ряд Тейлора по степеням бесконечно малых величин :
(2.2.12)
Вариация функции (т. е. её приращение, обусловленное варьированием независимых аргументов)
(2.2.13)
отличается от полного дифференциала отсутствием члена с .
Т. к. координаты частицы до и после перемещения должны удовлетворять уравнениям связей, то их вариации не могут быть совершенно произвольными независимыми величинами. В самом деле, если уравнение связи
(2.2.14)
то должно выполняться равенство
(2.2.15)
Тогда
(2.2.16)
т. е. одна из вариаций координат оказывается зависимой.
Все сказанное выше применимо, естественно, и для системы частиц, для которой среди вариаций координат тольконезависимых вариаций (столько, сколько степеней свободы).
Вернемся к рассмотрению системы из частиц. Для её равновесия необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил, приложенных к каждой частице, на каждую координату были равны нулю:
(2.2.17)
Здесь – равнодействующая активных сил, приложенных к-й частице,– равнодействующая соответствующих реакций связей,Домножим уравнение (2.2.17) на вариации соответствующих координат и просуммируем:
(2.2.18)
Выражения вида иимеют смысл работы на виртуальных перемещениях и называютсявиртуальной работой. Итак, сумма виртуальных работ заданных (активных) сил и сил реакции для всех частиц системы, находящейся в равновесии, равна нулю.
Заметим, что введя в уравнение реакции связей, мы от системы частиц со связями перешли к системе с силами и(принцип освобождаемости от связей). При таком подходе все вариациинезависимы, и уравнения (2.2.17) и (2.2.18) эквивалентны.
Заметим также, что , где– силы нормальных реакций, не совершающие работы. Тогда
(2.2.19)
Если связи идеальные, то (в общем случае идеальными можно называть связи, для которых виртуальная работа сил реакции обращается в нуль). В этом случае
(2.2.20)
(2.2.20) – условие Лагранжа, выражающее принцип виртуальных перемещений: виртуальная работа заданных сил, приложенных к системе с идеальными связями и находящейся в равновесии, равна нулю.
Объединим принцип виртуальных перемещений с принципом д¢Аламбера. Для идеальных связей запишем:
(2.2.21)
Это общее уравнение механики. В любой момент времени движения механической системы с идеальными связями алгебраическая сумма виртуальных работ заданных сил и д¢Аламберовых сил инерции равна нулю – объединенный принцип д¢Аламбера–Лагранжа, который можно использовать как основную аксиому механики.
В декартовых координатах общее уравнение механики:
(2.2.22)
Общее уравнение механики легко обобщается на случай неидеальных связей:
(2.2.23)