- •2 Преобразования кинематических характеристик частицы при
- •3 Динамические характеристики частицы. Законы Ньютона
- •4 Принцип относительности Галилея. Механическая концепция
- •5 Уравнение движения частицы относительно исо. Принцип
- •6 Уравнение движения частицы относительно нисо. Силы
- •7 Принципы д¢Аламбера, виртуальных перемещений и
- •8 Обобщенные координаты и обобщенные силы
- •9 Уравнения Лагранжа (второго рода)
- •10 Принцип экстремального действия. Преимущество
- •11 Обобщенная энергия, обобщенный импульс и законы их
- •12 Центр инерции и законы сохранения импульса и момента
- •13 Связь законов сохранения со свойствами симметрии
- •14 Задача двух тел. Движение в центральном поле
- •15 . Задача Кеплера
- •16 Рассеяние частиц. Формула Резерфорда
- •17 Свободные и вынужденные одномерные колебания
- •18 Затухающие колебания
- •19 Вынужденные колебания при наличии трения
- •20 Кинематическое описание твердого тела. Углы Эйлера
- •21 Кинетическая энергия и момент импульса твердого тела
- •22 Уравнения движения твердого тела. Динамические уравнения Эйлера
- •23 Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона
- •24 Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби
- •25 Тензоры деформации и скоростей деформации
- •26 Закон сохранения массы и уравнение непрерывности
- •27 Поле скоростей и его характеристики
- •28 Силы, действующие в сплошных средах. Тензор напряжения
- •29 Необходимые уравнения движения сплошных сред
- •30 Уравнения движения идеальной жидкости
- •31 Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •32 Звуковые волны
17 Свободные и вынужденные одномерные колебания
Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы и исследуем ее малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия. Система имеет только одну обобщенную координату . Пусть в положении равновесия. Тогда соответствующая координатеобобщенная силаприобращается в нуль. Если сила потенциальная, то
(5.1.1) где – потенциальная энергия, имеющая экстремум в положении равновесия. При устойчивом равновесиии.
При малом отклонении от положения равновесия, и потенциальная энергия
(5.1.2)
Выбор нулевого состояния для произволен, поэтому можно положить
. Равновесие при ,, т. е.(5.1.3)
Это означает, что на систему действует квазиупругая сила
(5.1.4)
Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы
(5.1.5)
где – коэффициент инерции (постоянная или медленно меняющаяся функция). Для малых смещений можно считать. Подчеркнем, чтосовпадает с массой только в том случае, когда– декартова координата частицы, характеризующей (заменяющей) движущуюся систему.
Функция Лагранжа для системы, совершающей малые гармонические колебания (для одномерного гармонического осциллятора), имеет вид:
(5.1.6)
Подставляя в уравнение Лагранжа , находим уравнение движения:(5.1.7) или
(5.1.8)
Общее решение уравнения (5.1.8) может быть представлено в виде
(5.1.9) или
(5.1.10)
Произвольные постоянные исвязаны с постояннымиисоотношениями:(5.1.11)
Итак, вблизи положения равновесия система совершает гармонические колебания с амплитудой , фазой ;–начальное значение фазы, зависящее от выбора начала отсчета времени, –циклическая частота колебаний (в теоретической физике ее называют обычно просто частотой).
Частота – основная характеристика колебаний, не зависящая от начальных условий движения и всецело определяемая свойствами механической системы как таковой (см. (5.1.8)). Отметим, что это свойство частоты связано с малостью колебаний и исчезает при переходе к более высоким приближениям. С математической точки зрения это свойство связано с квадратичной зависимостью от.
Энергия системы при малых колебаниях
(5.1.12)
т. е. энергия пропорциональна квадрату амплитуды.
Иногда удобно записывать зависимость в виде вещественной части комплексного выражения:(5.1.13) где–комплексная амплитуда. Записав ее в виде(5.1.14)
вернемся к выражению (5.1.10). Модуль совпадает с обычной амплитудой, аргумент – с начальной фазой.
Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, подверженной действию внешнего переменного поля; такие колебания называют вынужденными в отличие от рассмотренных выше свободных колебаний. Т. к. рассматриваются малые колебания, то и внешнее поле полагаем достаточно слабым (иначе оно могло бы вызывать большие ).
Итак, наряду с собственной потенциальной энергией необходимо рассматривать еще некоторое слагаемое, связанное с действием внешнего поля. При малыхимеем(5.1.15)
Первое слагаемое в (5.1.15) можно не включать в выражение для лагранжиана (его можно рассматривать как полную производную по от некоторой другой функции времени). Во втором слагаемоместь внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее. Тогда лагранжиан системы(5.1.16)
Подставляя в уравнение Лагранжа, находим уравнение движения:
(5.1.17)или(5.1.18)
Здесь – по-прежнему частота свободных колебаний.
Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (5.1.18) с постоянными коэффициентами имеет вид:(5.1.19)где– общее решение соответствующего однородного уравнения (см. (5.1.10)),– частное решение уравнения (5.1.18).
Особый интерес представляет случай, когда вынуждающая сила – простая периодическая функция времени с частотой :
(5.1.20)Тогда частотный интеграл (5.1.18) ищем в виде:(5.1.21)Подстановка в (5.1.18) дает:(5.1.22) и (5.1.9) можно переписать в виде:(5.1.23)
Произвольные постоянные иопределяются из начальных условий.
Итак, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее совокупность двух колебаний – с собственной частотой системы и с частотой вынуждающей силы.
Решение (5.1.23) неприемлемо при (так называемыйрезонанс – ). Это вполне естественно, т. к. при больших значенияхколебания перестают быть малыми, и вся изложенная выше теория перестает быть применимой.
Рассмотрим малые колебания вблизи резонанса, т.е. при , где. Тогда
. (5.1.24)
В простейшем случае полагаем в (5.1.23) . Тогда
(5.1.25)
Если , тои
(5.1.26)
Поскольку , то функцию(5.1.27)
можно считать медленно изменяющейся по синусоидальному закону амплитудой колебаний системы с собственной частотой . Это так называемыебиения, полученные при сложении колебаний с близкими частотами. Нечто подобное, хотя математически и более сложное, получается при и.
При резонансе вид функции изменяется:
(5.1.28) и (5.1.29)
Амплитуда таких колебаний линейно расчет со временем, и при отклонения могут быть сколь угодно большими – система разрушается.