28 Силы, действующие в сплошных средах. Тензор напряжения

Выделим в сплошной среде объем V, ограниченный поверхностью . Все силы, действующие на выделенную часть сплошной среды, можно разделить на два класса.

Массовые силы – силы, действующие на каждый элемент объема dV независимо от того, существуют ли рядом с ним другие части среды (например, силы тяготения). Если – массовая сила в расчете на единицу массы, то на объем dV с массой действует массовая сила; главный вектор этих сил.

Поверхностные силы – силы взаимодействия между отдельными частями сплошной среды. Внутри выделенного объема V эти силы и их моменты уравновешиваются в соответствии с III законом Ньютона, т. е. эти силы остаются приложенными лишь к поверхностным частям объема V (к поверхности ). Поверхностную силу, действующую на единицу площади, ориентация которой в пространстве задана внешней нормалью, обозначаюти называют напряжением сил на рассматриваемом элементе поверхности. На элемент поверхностидействует поверхностная сила; главный вектор поверхностных сил, действующих на объемV, равен . Проекцияна– нормальное напряжение (или нормальное давление), проекция на площадку, к которойприложено– сдвигающее (касательное) напряжение.

Выделим мысленно в среде элементарную треугольную пирамиду, три грани которой параллельны координатным плоскостям, т. е. внешние нормали к этим граням направлены противоположно осям 0x, 0y, 0z декартовой СК. Внешняя нормаль к четвертой грани составляет с этими осями углы, косинусы которых обозначим. Если площадь этой грани равна, то площади остальных граней равны. Пусть объем пирамидыdV. Тогда на нее действуют массовые силы , а массовые силы инерции равны, где– ускорение пирамиды. Поверхностные силы, действующие на грани пирамиды, равны: ,,,. Условие равновесия пирамиды:

. (8.6.1)

Объем , гдеh – высота пирамиды. Тогда

, (8.6.2) и при имеем:

, (8.6.3)

Величина вида определяет воздействие на соответствующую грань частиц среды, находящихся вне пирамиды. На эти частицы со стороны пирамиды действует сила. Тогда напряжениепри произвольной ориентации внешней нормали может быть определено, если известны напряжения в той же точке для площадок, внешние нормали которых сонаправлены с осями координат 0x, 0y, 0z:

. (8.6.4)

Проецируя (8.6.4) на координатные оси, получим:

(8.6.5)Здесь– компоненты напряжения. Пусть – проекция на произвольное направление, характеризуемое направляющими косинусами. Тогда

. (8.6.5)

Проделав то же самое, что и при получении тензора деформации, получим тензор напряжения:

. (8.6.6)

Тензор симметричный, т. е. ,,. Итак, напряжение в данной точке– функция 6 величин: ,,,,,.

Существуют три взаимно перпендикулярные оси, для которых

. (8.6.7)

Здесь – главные напряжения.

, (8.6.8)

т. е. сумма нормальных напряжений на три взаимно перпендикулярные площадки не зависит от ориентации последних.

Заметим, что компоненты напряжения выражаются в переменных Эйлера, т. е. являются функциями переменных x, y, z, t.