Задача №2

По координатам вершин пирамиды АВСD средствами векторной алгебры найти:

1. длины ребер АВи АС; 2)

2. угол между ребрами АВ и АС;

3. площадь грани АВС;

4. проекцию вектора АВ на АС;

5. объем пирамиды.

Вариант № 13

А(1; 3; 5) В(0; 2; 0) С(5; 7; 9) D(0; 4; 8)

Решение:

Координаты векторов. Координаты векторов находим по формуле: X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j; Например, для вектора AВ X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁ X = 0-1; Y = 2-3; Z = 0-5 AВ(-1;-1;-5) AС(4;4;4) AD(-1;1;3) BC(5;5;9) BD(0;2;8) CD(-5;-3;-1)

Длина ребер АВ и АС: Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

|AB|=√1²+1²+5²=5,1

|AC|=√4²+4²+4²=6,9

Угол между ребрами АВ и АС:

Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ Найдем угол между ребрами AB(-1;-1;-5) и AC(4;4;4):

γ = arccos(0.778) = 141.062⁰

Площадь грани ABC Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани AВС Найдем угол между ребрами AВ(-1;-1;-5) и AС(4;4;4):

Площадь грани AВС:

S_ABC=1/2|AB|*|AC|sinγ=1/2*√27*√48*0,6=11,3

Проекция вектора АВ на АС:

Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:

Найдем проекцию вектора AВ на вектор AС:

Pr_ACAB=(-1)*4+(-1)*4+(-5)*4/√48=4,04

Объём пирамиды:

Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

X1	Y1	Z1
X2	Y2	Z2
X3	Y3	Z3

V=1/6

-1	-1	-5
4	4	4 =5,3
-1	1	3

V=1/6

1 Оставить нужное