Задача № 2

Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой l₁, проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.

Вариант № 8

2x+y-3z-2=0 Общее уравнение прямой

2x-y+z+6=0

x-2y+5z-6=0 Общее уравнение плоскости Р

Координаты точки М(-1;0;3)

Решение.

Каноническое уравнение прямой l:

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y, z:

2 1 3 2 1 1

2 6

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_1,1. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на -1:

2 1 -3 0 -2 4

2 -8

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a_2,2. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:

2 0 -1 0 -2 4

-2 -8

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент

1 0 -1/2 0 1 -2

-1 4

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

1x₁+0x₂-1/2x₃=-1

0x₁+1x₂-2x₃=4

Базисные переменные x₁ x₂ , свободные переменные x₃. Выразив базисные переменные x₁ x₂ через свободные, получим решение:

x₁=-1+1/2x₃

x₂=4+2x₃

где x₃-произвольное действительное число.

Запишем в следующем виде:

x=-1+1/2t

y=4+2t

z=0+1t

В каноническом виде:

x+1/1/2=y-4/2=z-0/1

Составляем уравнение прямой l₁, проходящей через точку М параллельно прямой l:

x+1/1/2=y/2=z-3/1

Расстояние между ними:

Прямая l₁ проходит через точку М₁(x₁,y₁,z₁)=M₁(-1,0,3) и имеет направляющий вектор

q₁=(m₁,p₁,l₁)=(1/2,2,1)

Прямая l проходит через точку М(x,y,z)=M(-1,4,0) и имеет направляющий вектор

q=(m,p,l)=(1/2,2,1)

Векторы q₁ и q коллинеарны. Следовательно l₁ и l параллельны. Поэтому, для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор s=M₁M₂={x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁}={0, 4, −3}.

Вычислим векторное произведение векторов s и q₁.

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов s и q₁:

i j k 0 4 -3 1/2 2 1

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов s и q₁:

i j k 0 4 -3 1/2 2 1

4 -3 2 1

0 -3 1/2 1

0 4 1/2 2

sq₁ =

=I -j +k =

=i10-j3/2+k(-4/2)

Таким образом, результатом векторного произведения векторов s и q₁ будет вектор:

10 -3/2 -4/2

c=

Поскольку векторное произведение векторов s и q₁ дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L₁ и L равно :

d=|c|/|q₁|

|c|=√(10)²+(-3/2)²+(-4/2)²=10.308

|q₁|=√(1/2)²+(2)²+(1)²=2.291

d=|c|/|q₁|=4.499

Найти проекцию точки М на прямую l.

Чтобы найти проекцию точки M на прямую L нужно:

• найти плоскость α, проходящей через точку M препендинулярной прямой L

• найти точку M₁, которая является пересечением плоскости α с прямой L.

Точка M₁ будет проекцией точки M на прямую L.

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M (x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:

A[x-x₀]+B[y-y₀]+C[z-z₀]=0

Направляющий вектор прямой L имеет следующие координаты:

q={m,p,l}={1/2,2,1}

Для того, чтобы плоскость была перпендикулярна прямой , нормальный вектор n={A, B, C} плоскости должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой . Поэтому в качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор {m₀, p₀, l₀}={1/2, 2, 1}. Подставим координаты вектора q и координаты точки M в :

½(x-(-1))+2(y-0)+1(z-3)=0

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой L:

1/2x+2y+z-5/2=0

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости проще всего пользоваться параметрическим уравнением прямой .

Составим параметрическое уравнение прямой:

t=x+1/1/2, t=y-4/2, t=z-0/1

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

x=-1+1/2t

y=4+2t

z=0+1t

Подставим значения x, y, z из выражения и решим относительно t

½(1/2t-1)+2(2t+4)+1(t)-5/2=0

1/4t+4t+t-1/2+8-5/2=0

t=-20/21

Подставляя значение t в выражения , получим координаты проекции точки M на прямую l:

M(-1(10/21),2(2/21),-20/21)

Найти точку пересечения прямой l и плоскости Р.

Представим уравнение прямой в виде двух уравнений:

x+1/1/2=y-4/2

x+1/1/2=z-0/1

Выполним их перекрёстное умножение

2(x-(-1))=1/2(y-4)

1(x-(-1))=1/2(z-0)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

2x-1/2y=-4

x-1/2z=-1

Для нахождения точки пересечения прямой L и плоскости α нужно решить совместно полученные уравнения . Для этого переведем в уравнении свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений выполненных выше.

2 -1/2 0 1 0 -1/2 1 -2 5

x y z

-4 -1 6

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y, z:

Запишем решение:

x y z

4 24 10

=

Точка пересечения прямой L и плоскости P имеет следующие координаты:

K(x,y,z)=(4,24,10)

Раздел № 3 Аналитическая геометрия

Задача № 1

Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения сторон треугольника. Составить уравнения медианы, высоты и биссектрисы угла А, найти их длины. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.

Вариант № 1

А(1;2)

В(3;4)

С(-1;2)

Уравнение прямой АВ:

Уравнение прямой АС:

Уравнение прямой ВС:

Составляем уравнение медианы:

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

М(1:3)

Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(1;2) и М(1;3), поэтому: Каноническое уравнение прямой:

Найдем длину медианы. Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

Уравнение высоты через вершину А:

Длинна высоты:

Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(1;2) и прямой BC (2y -x - 5 = 0)

Уравнение биссектрисы угла А:

Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим K. Уравнение AB: y = x + 1, уравнение AC: y - 2 = 0 Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k₁x + b₁ и y₂ = k₂x + b₂, вычисляется по формуле:

Угловые коэффициенты данных прямых равны 1 и 0. Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю:

tg(φ) = 1 φ = arctg(1) = 45⁰ Поскольку угол тупой, то φ = 180 - 45 = 135 Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол ACAK ≈ 67.5⁰ Тангенс угла наклона AC равен 0 (т.к. y - 2 = 0). Угол наклона равен 0⁰ ∠ AACK ≈ 180⁰ - (0⁰ + 67.5⁰) ≈ 112.5⁰ tg(112.5⁰) = -2.41 Биссектриса проходит через точку A(1,2), используя формулу, имеем: y - y₀ = k(x - x₀) y - 2 = -2.41(x - 1) или y = -2.41x + 4.41

Длинна биссектрисы:

Через три стороны:

L=√2,83*4,47(2,83+4,47+2)(2,83+4,47-2)/2,83+4,47=3,4

Уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку С(-1,2) Уравнение прямой AB: y = x + 1 Уравнение СN параллельно AB находится по формуле: y - y₀ = k(x - x₀) Подставляя x₀ = -1, k = 1, y₀ = 2 получим: y-2 = 1(x-(-1)) или y = x + 3 или y -x - 3 = 0

Уравнение параллельной прямой AC, проходящей через точку В(3,4) Уравнение прямой AC: y - 2 = 0 Уравнение ВN параллельно AC находится по формуле: y - y₀ = k(x - x₀) Подставляя x₀ = 3, k = 0, y₀ = 4 получим: y-4 = 0(x-3) или y = 4 или y + 0x - 4 = 0

Уравнение параллельной прямой BC, проходящей через точку А(1,2) Уравнение прямой BC: y = ¹/₂x + ⁵/₂ Уравнение АN параллельно BC находится по формуле: y - y₀ = k(x - x₀) Подставляя x₀ = 1, k = ¹/₂, y₀ = 2 получим: y-2 = ¹/₂(x-1) или y = ¹/₂x + ³/₂ или 2y -x - 3 = 0