Задача № 2

Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.

Вариант № 8.

2x₁+x₃+x₄=5

2x₂+x₃-x₄=3

4x₁-2x₂+x₃+3x₄=7

Решение:

Доказываем совместимость системы.

2 0 1 1 5 0 2 1 -1 3 4 -2 1 3 7

Вычитаем из строки 3 строку 1, умноженную на 2

2 0 1 1 5 0 2 1 -1 3 0 -2 -1 1 -3

Вычитаем из строки 3 строку 2, умноженную на -1

2 0 1 1 5 0 2 1 -1 3 0 0 0 0 0

=2

Решение методом Гаусса.

2x₁+x₃+x₄=5

2x₂+x₃-x₄=3

2x₁=5-x₃-x₄

x₁=5/2-1/2x₃-1/2x₄

5/2-1/2x3-1/2x4 3/2-1/2x3+1/2x4 x3 x4

Ответ:

X=

Решение методом Камера и матричного исчисление не возможно, поскольку число неизвестных не равно числу уравнений.

Задача №3.

Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.

Вариант № 1.

3x₁+3x₂+5x₃-2x₄=0

2x₁+2x₂+8x₃-3x₄=0

2x₁+2x₂+4x₃-x₄=0

Решение.

3 3 5 -2 2 2 8 -3 2 2 4 -1

0 0 0

Вычитаем из строки 2 строку 1,умноженную на 2\3

3 3 5 -2 0 0 14/3 -5/3 2 2 4 -1

0 0 0

Вычитаем из строки 3 строку 1, умноженную на 2\3

3 3 5 -2 0 0 14/3 -5/3 0 0 2/3 1/3

0 0 0

Вычитаем из строки 3 строку 2, умноженную на 1\7

3 3 5 -2 0 0 14/3 -5/3 0 0 0 4/7

0 0 0

3x₁+3x₂+5x₃-2x₄=0

14/3x₃-5/3x₄=0

4/7x₄=0

4/7x₄=0

x₄=0

14/3x₃=5/3x₄=5/3*0=0

X₃=0

3x₁=-3x₂-5x₃+2x₄=-3x₂-5*0+2*0=-3x₂

x₁=-x₂

Ответ:

-x2 x2 0 0

X=

Раздел № 2. Векторная алгебра.

Задача №1.

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору BC. Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскостии уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости P₁, проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Ри P₁. Найти расстояние от точки D до плоскости Р.

Вариант № 13. А(2;3;2) В(1;3;6) С(0;4;2) D(2;5;4)

Решение.

ВС=(0-1;4-3;2-6)=(-1;1;-4) находим координаты вектора.

Находим общее уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярной вектору ВС:

-1(x-2)+1(y-3)-4(z-2)=-x+y-4z+7=0

Приводим уравнение плоскости к нормальному виду:

µ=1/√1+1+16=1/√18=1/3√2

-1/3√2x+1/3√2y-4/3√2z+7/3√2=0

Приводим уравнение плоскости в отрезках:

-x+y-4z+7=0

-x+y-4z=-7

x/7-y/7+z/7/4=1

Cоставляем уравнение плоскости Р₁, проходящей через точки А,В,С.

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

=0

x-2 y-3 z-2 1-2 3-3 6-2 0-2 4-3 2-2

=0

x-2 y-3 z-2 -1 0 4 -2 1 0

=0

(x-2)(0*0-4*1)-(y-3)((-1)*0-4*(-2))+(z-2)((-1)*1-0*(-2))=0

(-4)(x-2)+(-8)(y-3)+(-1)(z-2)=0

-4x-8y-z+34=0

Ищем угол между плоскостями Р и Р₁

cosα=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√A₁²+B₁²+C₁²√A₂²+B₂²+C₂²

cosα=|-4*(-1)+(-8)*1+(-1)*(-4)|/√(-4)²+(-8)²+(-1)²*√(-1)²+1²+(-4)²=

=|4+(-8)+4/√16+64+1*√1+1+16=0/√1458=0

α=90^o

Ищем расстояние от плоскости Р до точки D.

d=|AM_x+BM_y+CM_z+D|/√A²+B²+C²

d=|(-1)*2+1*5+(-4)*4+7|/√(-1)²+1²+(-4)²=|-2+5-16+7|/√1+1+16=6/√18=√2