М
ИНИСТЕРСТВО
НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Тольяттинский государственный университет»
(наименование института полностью)
Кафедра /департамент /центр1 ______институт химии и энергетики____________________________________________
(наименование кафедры/департамента/центра полностью)
13.03.02 Электроэнергетика и электротехника
(код и наименование направления подготовки, специальности)
(направленность (профиль) / специализация)
Практическое задание №_1_
по учебному курсу «высшая математика_________________________________»
(наименование учебного курса)
Вариант ____ (при наличии)
Студент |
Яшин Иван Александрович (И.О. Фамилия) |
|
Группа |
(И.О. Фамилия) |
|
Преподаватель |
(И.О. Фамилия) |
|
Тольятти 2020
Задание 1
РАЗДЕЛ No1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Задача 1
Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка. Вариант № 13
9 2 -2 0 5 0 1 2 3 |
9-λ 2 -2 0 5-λ 0 1 2 3-λ |
=-λ3+17λ2-89λ+145=-(λ-5)(λ2-12λ+29)=-(λ-5)(λ+(√7-6))
-λ+9 2 -2 0 -λ+5 0 1 2 -λ+3 |
Вычитаем из строки 3 строку 2, умноженную на (-2λ+16/λ2-14λ+45)
-λ+9 2 -2 0 -λ+5 0 0 (2*λ-16)/(λ-9) (-λ^2+12*λ-29)/(λ-9) |
-λ+9 2 -2 0 -λ+5 0 0 0 (-λ^2+12*λ-29)/(λ-9) |
-λ+9 2 -2 0 -λ+5 0 1 2 -λ+3 |
-λ+9 2 -2 0 -λ+5 0 0 0 (-λ^2+12*λ-29)/(λ-9) |
= =
=(-λ+9)(-λ+5)(-λ2+12λ-29/λ-9)=-λ3+17λ2-89λ+145
λ1=5
λ2=-√7+6
λ3=√7+6
Для каждого λ найдём его собственные вектора.
4 2 -2 0 0 0 1 2 -2 |
А- λ1Е= (A-λE)v=0
4 2 -2 0 0 0 1 2 -2 |
0 0 0 |
1 1/2 -1/2 0 0 0 1 2 -2 |
0 0 0 |
1 1/2 -1/2 0 0 0 0 3/2 -3/2 |
0 0 0 |
|
|
Меняем строку 3 и 2 местами
1 1/2 -1/2 0 3/2 -3/2 0 0 0 |
0 0 0 |
1 1/2 -1/2 0 1 -1 0 0 0 |
0 0 0 |
1 0 0 0 1 -1 0 0 0 |
0 0 0 |
x1=0
x2-x3=0
0 1 1 |
x3=1 v1=
√7+3 2 -2 0 √7-1 0 1 2 √7-3 |
A-λ2E= Av=λv (A-λE)v=0
√7+3 2 -2 0 √7-1 0 1 2 √7-3 |
0 0 0 |
Строку 1 делим на √7+3
1 -√7+3 √7-3 0 √7-1 0 1 2 √7-3 |
0 0 0 |
Вычитаем из строки 3 строку 1, умноженную на -1
1 -√7+3 √7-3 0 √7-1 0 0 √7-1 0 |
0 0 0 |
Строку 2 делим на √7-1
1 -√7+3 √7-3 0 1 0 0 √7-1 0 |
0 0 0 |
Вычитаем из строки 3 строку 2, умноженную на √7-1
1 -√7+3 √7-3 0 1 0 0 0 0 |
0 0 0 |
1 0 √7-3 0 1 0 0 0 0 |
0 0 0 |
x2=0
x1=(√7-3)x3
-√7+3 0 1 |
x3=1 v2=
-√7+3 2 -2 0 -√7-1 0 1 2 -√7-3 |
A- λ3E=
Av=λv (A-λE)v=0
-√7+3 2 -2 0 -√7-1 0 1 2 -√7-3 |
0 0 0 |
1 √7+3 -√7-3 0 -√7-1 0 1 2 -√7-3 |
0 0 0 |
1 √7+3 -√7-3 0 -√7-1 0 0 -√7-1 0 |
0 0 0 |
Строку 2 делим на -√7-1
1 √7+3 -√7-3 0 1 0 0т -√7-1 0 |
0 0 0 |
1 √7+3 -√7-3 0 1 0 0 0 0 |
0 0 0 |
1 0 -√7-3 0 1 0 0 0 0 |
0 0 0 |
x1-(√7-3)x3=0
x2=0
√7+3 0 1 |
x3=1 v3=
Ответ: собственные значения λ1=5; λ2=-√7+6; λ3=√7+6
0 1 1 |
-√7+3 0 1 |
√7+3 0 1 |