Задача 69. Найдите сечение рассеяния электронов на мюонах в низшем порядке теории возмущений, пренебрегая отдачей мюонов (рассеяние Мотта). В нерелятивистском пределе получите формулу Резерфорда.
Задача 70. Найдите амплитуду аннигиляции электрон-позитронных пар по каналу e+ + e− → γ + γ, предполагая, что электроны и позитроны покоятся и находятся в синглетном спиновом состоянии. Ответ: M = −4ge2.
Задача 71. Найдите амплитуду электрон-мюонного рассеяния в системе центра масс, предполагая, что e и µ налетают друг на друга вдоль оси z, отталкиваются и разлетаются обратно вдоль той же оси. Спиральность всех частиц как в начальном, так и в конечном состоянии +1. Ответ: M = −2ge2.
Задача 72. Найдите амплитуду и сечение электрон-мюонного рассеяния в системе
центра масс в ультрарелятивистском пределе. Ответ: |
|
||||||||
|
dσ |
= |
¯hc |
! |
2 ge4 |
1 + cos4 θ/2 |
! . |
||
|
dΩ |
8π |
|
2E2 |
|
sin4 θ/2 |
|||
Задача 73. Найдите амплитуду комптоновского рассеяния.
Задача 74. Покажите, что амплитуды диаграмм низшего порядка для комптоновского рассеяния по отдельности не являются калибровочно инвариантными в отличие от их суммы.
Задача 75. Найдите усредненную по спинам амплитуду электрон-электронного рассеяния в ультрарелятивистском пределе. Ответ:
D|M|2E = |
2g4 |
(p1 · p3) (ep2 · p4) h(p1 · p2)4 + (p1 · p3)4 + (p1 · p4)4i . |
Задача 76. Найдите амплитуду и сечение электрон-электронного рассеяния в системе центра масс в ультрарелятивистском пределе. Сравните с решением задачи 72. Ответ:
dσ |
|
¯hc |
! |
2 ge4 |
4 |
|
2 |
||
|
= |
|
|
|
1 − |
|
|
. |
|
dΩ |
8π |
2E2 |
sin2 θ |
||||||
Задача 77. Найдите дифференциальное сечение упругого рассеяния электронов на протонах, учитывая, что протон не является элементарной частицей (формула Розенблюта). Ответ:
|
α¯h |
! |
2 E′ |
||
|
|
|
|
h2K1 sin2 θ + K2 cos2 θi . |
|
|
4mpE sin2 θ/2 |
E |
|||
Квантовая хромодинамика |
|
|
|
|
|
Состояние кварка в квантовой хромодинамике задается спинором u(s)(p), определяющим импульс и спин кварка, и вектором c, описывающим его цвет:
c = |
0 |
– красный, |
c = |
0 |
– синий, |
c = |
0 |
– зеленый. (40) |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цвет кварка меняется в кварк-глюонной вершине диаграммы Фейнмана, а разница уносится глюоном. Например:
21
b |
|
■ |
|
|
|
r |
|
|
¯ |
rb |
|
При вычислении амплитуды такой вершине соответствует множитель −igsγµλa, где λa/2
– матрицы Гелл-Манна.
Так как глюоны сами обладают цветом (в отличие от фотонов, которые электрически нейтральны), они могут взаимодействовать друг с другом напрямую. А именно, возможны диаграммы с вершинами
b, ν
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
c, λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
k3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
a, µ |
|
|
|
|
|
|
||
h
= −gsfabc ηµν (k1 − k2)λ + ηνλ (k2 − k3)µ + ηλµ (k3 − k1)ν
b, ν |
|
|
|
|
|
|
|
d, ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, µ |
|
|
|
|
|
|
c, λ |
|
i
,
= −igs2hfabefcde (ηµληνρ − ηµρηνλ) + |
fadefbce (ηµν ηλρ − ηµληνρ) + |
+ |
facefdbe (ηµρηνλ − ηµν ηλρ)i. |
Внешним линиям в квантовой хромодинамике сопоставляются множители
22
Кварки: |
( исходящие: |
: u¯(s()(p)c† |
|
входящие |
u(s) p)c |
Антикварки: |
( исходящие: |
:¯v(s()(p)c |
|
входящие |
v(s) p)c† |
Глюоны: |
( исходящие: |
: ε µ(p)a a |
|
входящие |
εµ(p)aa |
где a – восьмикомпонентный вектор, обозначающий цветовое состояние глюона. Внутренним линиям глюонов c импульсом q соответствуют множители
−iηµν δab . q2
Остальные правила Фейнмана совпадают с правилами квантовой электродинамики. Пример. Рассмотрим взаимодействие кварка с антикварком другого аромата, например
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
u + d → u + d. |
|
|
|
|
|
В низшем порядке оно описывается диаграммой |
|
|
|
|
|
||||
|
p3, c3 |
p4, c4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, c2 |
|
|
|
|
p1, c1 |
p2 |
|
|
|
||||
|
g2 |
1 |
[¯u(3)γµu(1)] [¯v(2)γµv(4)] c3† λac1 |
c2† λac4 |
. |
|
|||
M = − |
s |
|
|
(41) |
|||||
4 |
q2 |
||||||||
Это выражение совпадает с амплитудой кулоновского взаимодействия электрона и позитрона за исключением замены ge на gs и цветового множителя
f = |
1 |
c3† λac1 |
c2† λac4 |
. |
(42) |
4 |
Значение цветового множителя зависит от цветовой конфигурации взаимодействующих кварков. Пара кварк-антикварк может находится либо в октетном состоянии, либо в син-
глетном. Вычислим сначала цветовой множитель для октета, используя состояние ¯. То rb
есть, входящий кварк – красный, а входящий антикварк – антисиний. Так как цвет сохраняется, исходящие кварки имеют те же цвета:
c1 = c3 = |
0 |
, |
c2 = c4 = |
1 |
. |
(43) |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно
f = 1 |
(1 0 0) λa |
|
0 |
(0 1 0) λa |
|
1 |
= 1 |
λ11a λ22a = |
1. |
(44) |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
− |
|
|
|
4 |
4 |
|
6 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
Теперь вычислим цветовой множитель для синглетного состояния |
¯ |
√ |
|
. |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
В этом случае цветовой множитель равен сумме |
|
|
rr¯ + bb + gg¯ |
/ 3 |
|
|||||||||||
1 |
1 |
1 |
λija λija |
1 |
T r(λaλa) = |
4 |
|
|
(45) |
|||||||
f = |
|
|
√ |
|
√ |
|
= |
|
|
. |
|
|||||
4 |
12 |
3 |
|
|||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|||||||||||||
Глядя на знак цветового множителя, делаем вывод, что для октета взаимодействие будет отталкивающим (так как притягивающий кулоновский потенциал взаимодействия электрона и позитрона умножается на отрицательный множитель), тогда как для синглетного состояния – притягивающим.
Задача 78. Найдите цветовой множитель октета qq¯, используя состояние
|
(а) bg,¯ |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
rr¯ − ¯ |
/ |
2, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
б |
bb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в) |
rr¯ + bb − 2gg¯ /√ |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
6 |
|
|
|
|
|||||||
Задача 79. |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдите цветовой множитель синглета rr¯ + bb + gg¯ / |
3 |
|
||||||||||
Задача 80. |
Найдите цветовой множитель секстета qq |
, используя состояние |
||||||||||
(а) |
rr, |
||
(б) |
(rb + br) /√ |
|
. |
2 |
|||
Задача 81. Найдите цветовой множитель триплетного состояния двух взаимодействующих кварков.
Задача 82. Найдите амплитуду и сечение аннигиляции пары кварк-антикварк с испусканием двух глюонов, предполагая, что кварки находятся в синглетном цветовом состоянии и покоятся. Ответ:
M = −4q |
|
|
|
|
|
|
m ! |
2 |
|
2/3 |
gs2, σ = 3 cv |
|
. |
||||||
|
|
|
2 4π |
|
¯hαs |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 83. Глюон-глюонное рассеяние.
•Нарисуйте диаграммы Фейнмана низшего порядка (всего четыре), представляющие взаимодействие двух глюонов.
•Выпишите соответствующие амплитуды.
•Вычислите амплитуды, предполагая что входящие и исходящие глюоны находятся в синглетных цветовых состояниях.
•В системе центра масс вычислите суммарную амплитуду, выразив ее через энергию глюонов E и угол рассеяния θ.
•Найдите дифференциальное сечение рассеяния.
•Определите, является ли взаимодействие притягивающим или отталкивающим.
24