также как и 4Li. Что можно сказать об изоспине α-частицы? Объясните, почему не наблюдается реакция d + d → α + π0.

Задача 33. Основными каналами распада η-мезона являются процессы η → 2γ (39%), η → 3π (56%) и η → ππγ (5%). Несмотря на то, что масса η-мезона достаточно велика, он классифицируется как стабильная частица, то есть ни одна из этих реакций не идет за счет сильного взаимодействия. Почему распад на два пиона запрещен как для сильного, так и для электромагнитного взаимодействия? Почему распад на три пиона разрешен как электромагнитный распад, но запрещен как сильный?

Задача 34. Рассмотрите поле π-мезонов, преобразующееся по присоединенному триплетному представлению изотопической группы SU(2). В вещественном представлении π = {π1, π2, π3}, π = π изотопические преобразования записываются следующим образом

πa → πa′ = Λab(α)πb, Λ(α) = e−iωIαI ,

где αi (i = 1, 2, 3) – числовые параметры (углы) изотопических вращений, а ωi – генераторы поворотов, которые в действительном триплетном представлении можно выбрать в

т.е. (ωi)jk = −iǫijk. Найдите матрицу O унитарного преобразования Ti = OωiO−1, приводящего к представлению, в котором

Задача 35. Покажите, что T r(λaλb) = 2δab.

Задача 36. Найдите явный вид матрицы зарядового сопряжения спинорного поля, потребовав чтобы лагранжиан свободного поля не менял своего вида при преобразовании, а 4-вектор тока менял бы знак.

Калибровочная инвариантность

Пусть мы хотим построить теорию некоторого набора полей Ψ, инвариантную относительно калибровочного преобразования Ψ′ = UΨ, где U – некоторый унитарный оператор. Преобразование называется глобальным, если оператор U не зависит от координат, в противном случае преобразование называется локальным. Лагранжиан наряду с самими полями Ψ содержит еще производные ∂µΨ, которые преобразуются не так, как сами поля. Для того чтобы добиться локальной калибровочной инвариантности теории, от частных производных ∂µΨ необходимо перейти к ковариантным производным

где Aµ – некоторое новое поле. При калибровочных преобразованиях величины Aµ изменяются таким образом, что ковариантные производные преобразуются также как сами поля Dµ′ Ψ′ = U (DµΨ). Электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия описываются полями, соответствующими группам калибровочных преобразований U(1), SU(2) и SU(3).

13

Задача 37. Найдите правила преобразования калибровочного поля Aµ, если поле Ψ, описывающее состояния элементарных частиц изменяется при калибровочном преобразовании как Ψ′ = UΨ, где U – некоторый оператор.

Задача 38. Используя результат предыдущей задачи, найдите как при калибровочных преобразованиях группы SU(2) меняется соответствующее калибровочное поле.

Задача 39. Применив теорему Нётер к полю Дирака и комплексному скалярному полю, сконструируйте сохраняющиеся токи, соответствующие глобальной калибровочной инвариантности.

Задача 40. Лагранжиан комплексного скалярного поля инвариантен относительно глобального калибровочного преобразования φ → eiχφ. Постройте лагранжиан, инвариантный относительно соответствующего локального калибровочного лагранжиана, определите вектор тока, убедитесь, что он удовлетворяет уравнению непрерывности.

инвариантен относительно рассматриваемых в задаче 34 преобразований. С помощью теоремы Нётер постройте соответствующие изотопические токи и сохраняющиеся изотопические заряды.

Задача 42. Аналогично предыдущей задаче рассмотрите изотопический дублет нук-

и также называется уравнением Дирака.

Решение уравнения Дирака записывается в виде ψ = u(k)e−ik·x, где u(k) – постоянный спинор, удовлетворяющий уравнению Дирака в импульсном представлениии

14

√

При выполнении условия k0 = ± m2c2 + k2 это уравнение допускает четыре независимых решения. Для частиц с положительным k0, компоненты вектора k интерпретируются как энергия и импульс:

Обозначая в этом случае u(−k) = v(k), получим уравнение Дирака для античастиц

В дополнение к четырем матрицам Дирака γµ удобно ввести матрицу γ5 = iγ0γ1γ2γ3, обладающую многими полезными свойствами. В частности она позволяет ввести проекционные операторы PR,L = (1 ± γ5) /2, разделяющие все фермионы на правую и левую составляющие, по разному участвующие в слабых взаимодействиях.

Задача 43. Убедитесь, что матрицы (представление Дирака или стандартное представление)

удовлетворяют основному соотношению для матриц Дирака {γµ, γν } = 2ηµν .

Задача 44. Убедитесь, что матрицы (представление Вейля или киральное представле-

также удовлетворяют соотношению {γµ, γν } = 2ηµν .

Задача 45. Найти решения уравнения Дирака для свободных электрона и позитрона с энергией E и импульсом p в стандартном и киральном представлениях. Рассмотреть нерелятивистский предел. Выразить решения уравнения Дирака через собственные спиноры оператора спиральности.

Задача 46. Запишите гамильтониан для уравнения Дирака. Вычислите коммутатор гамильтониана с операторами орбитального L = r × p и спинового S = (¯h/2)Σ момента,

сравните их друг с другом. Покажите, что любой биспинор является собственным состоянием оператора S2 с собственным числом ¯h2s (s + 1). Определите s – спин частиц, описываемых уравнением Дирака.

Задача 47. Используя гамильтониан Дирака, получите уравнения движения для операторов координаты r и количества движения π в гейзенберговском представлении.

Задача 48. Вычислить уровни атома водорода в теории Дирака.

Задача 49. Покажите, что если u, v – решения уравнения Дирака для частиц и античастиц, то сопряженные спиноры u¯, v¯ удовлетворяют уравнениям

u¯ (γµpµ − mc) = 0, v¯ (γµpµ + mc) = 0.

15

Задача 50. Найти uu¯ и vv¯ .

Задача 51. Докажите соотношение полноты

где T3f – третья компонента слабого изоспина фермиона, а Qf – его электрический заряд. Как выражаются константы a и b через sin2 θW ? Сравните ответ с соответствующим результатом для заряженного тока.

Задача 60. Формулы суммирования Казимира. Покажите, что

произведению тех же матриц в обратном порядке.

Задача 63. Покажите, что если спинор u удовлетворяет уравнению Дирака, то спино-

ры uL и uR – нет (если m =6 0).

Задача 64. Существуют ли спиноры являющиеся собственными одновременно для проекционного оператора PL и оператора Дирака γµpµ − mc

16