Задача 9. Частица A распадается на три частицы: A → B + C + D. В системе отчета центра масс выразить максимальную и минимальную энергии, которые может иметь частица B в такой реакции. Найти максимальную и минимальную энергии электрона, образующегося при распаде мюона µ− → e− + νµ + ν¯e.

Задача 10. Частица, летящая со скоростью v, сталкивается с идентичной покоящейся частицей. Каковы скорость и кинетическая энергия частиц в системе отсчета центра масс?

Задача 11. Для описания двухчастичных реакций удобно ввести так называемые

переменные Мандельштама

s = (pA + pB)2 /c2, t = (pA − pC )2 /c2, u = (pA − pD)2 /c2.

Преимуществом этих переменных является то, что они инвариантны при преобразованиях Лоренца, то есть имеют одно и то же значение во всех системах отсчета, в отличие от экспериментально наблюдаемых энергий и углов рассеяния. Покажите, что

s + t + u = m2A + m2B + m2C + m2D.

Выразите энергию частицы A в системе центра масс и в лабораторной системе (мишень B покоится) через инварианты Мандельштама и массы. Ответ:

Задача 12. Для упругого рассеяния тождественных частиц, A+A → A+A, покажите, что переменные Мандельштама принимают вид

s = 4 p2 + m2c2 2 /c2,

t= −2p2 (1 − cos θ)2 /c2,

t= −2p2 (1 + cos θ)2 /c2,

где p – импульс падающих частиц в системе центра масс и θ – угол рассеяния.

Задача 13. Фотон с длиной волны λ упруго рассеивается на заряженной частице массы m. Найти длину волны фотона после рассеяния λ′, если угол рассеяния равен θ.

Ответ: λ′ = λ + (h/mc) (1 − cos θ).

Задача 14. Насколько больше весит горячая картофелина по сравнению с холодной?

Уравнения Эйлера – Лагранжа и теорема Нётер

Уравнения движения полей φi(xµ), описываемых лагранжианом L(φ(xµ), ∂φ(xµ)), име-

7

Тензор энергии-импульса выражается через лагранжиан соотношением

Пусть лагранжиан инвариантен относительно группы преобразований, действующих

Задача 15. Запишите уравнения Эйлера – Лагранжа для следующих лагранжианов:

• действительное скалярное поле φ, уравнение Клейна – Гордона

• комплексное скалярное поле φ, уравнение Клейна – Гордона

L = (∂µφ) (∂µφ) − mc 2 φ φ;

¯h

• фермионное поле ψ спина 1/2, уравнение Дирака

¯

L = ψ i¯hcγµ∂µ − mc2 ψ;

• электромагнитное поле Aµ, уравнения Максвелла

L= −161π (∂µAν − ∂ν Aµ) (∂µAν − ∂ν Aµ) − 1c JµAµ;

•массивное векторное поле Aµ, уравнения Прока

• неабелево векторное поле Waµ, уравнения Янга – Миллса

L = −161π Fµνa Faµν ,

где Faµν = ∂µWaν − ∂ν Waµ + gfabcWbµWcν .

8

Задача 16. Даны шредингеровский ток Jab = 1/2im (ua ub − ub ua) и плотность вероятности перехода ρab = uaub, где ua и ub – заданные волновые функции. Напишите выражение для 4-вектора тока Jµ. Убедитесь, что ∂µJµ = 0. Состояния ua и ub могут быть различными.

непрерывности ∂µJµ = 0.

Задача 18. Исходя из теоремы Нётер, получите формулу для момента векторного поля.

Задача 19. Покажите, что симметрия тензора энергии-импульса приводит к сохранению спина.

Внутренние степени свободы

Одной из внутренних степеней свободы частицы может быть спин. Операторы спина удовлетворяют коммутационным соотношениям

[Sx, Sy] = i¯hSz, [Sy, Sz] = i¯hSx, [Sz, Sx] = i¯hSy. (12)

Кроме того, любая из компонент спина S коммутирует с оператором S2. Благодаря этому можно выбрать базисные состояния так, чтобы они были одновременно собственными векторами операторов S2 и Sz. Удобно также ввести операторы S+ = Sx + iSy и S− = Sx − iSy. Обозначим базисные векторы как |s, msi, где s – полный спин частицы, а ms – его проекция на ось z. Действия спиновых операторов на эти базисные состояния задаются следующими выражениями

В важнейшем случае спина s = 1/2, операторы спина записываются через матрицы Паули

S = (¯h/2) σ,

Другой внутренней характеристикой частицы может быть изоспин I (сильный или слабый). Так, например, нейтрон и протон можно интерпретировать как состояния одной и той же частицы, отличающиеся только проекциями сильного изоспина (изоспиновый дублет), а пион – как изоспиновый триплет. Классификация адронов, состоящих из u, d, s кварков, и их объединение в изоспиновые мультиплеты приведены на рис. 1, рис. 2. Изоспин таких адронов связан с его зарядом формулой Гелл-Манна – Нисидзимы

где A – барионное число и S – странность. Формула является следствием кварковой модели и того факта, что u и dкварки образуют изоспиновый дублет

9

тогда как изоспин остальных кварков равен нулю. Теория сильных взаимодействий инвариантна относительно вращений в сильном изоспиновом пространстве. Следовательно согласно теореме Нётер сильный изоспин сохраняется в процессах обусловленных сильными взаимодействиями.

q = −1

Рис. 1: Октет и декуплет барионов

Рис. 2: Октет мезонов

Спин и изоспин описываются представлениями группы SU(2). В природе также существует внутреннее SU(3)-пространство, которое называется цветным. Генераторами группы SU(3) являются матрицы Гелл-Манна λi. Перестановочные соотношения для них имеют вид

где ненулевые компоненты полностью антисимметричной величины f равны

и по повторяющемуся индексу c подразумевается суммирование. Явный вид матриц Гелл-

10

Манна:

Наряду с преобразованиями Лоренца и поворотами во внутренних пространствах важную роль в теории фундаментальных взаимодействий играют дискретные преобразования инверсии, зарядового сопряжения и обращения времени. Соответствующие квантовые числа называются чётностями. Чётность сохраняется в электромагнитных и сильных взаимодействиях, однако нарушается в слабых.

Задача 20. Две частицы спина 1/2 взаимодействуют друг с другом. Их спиновые моменты характеризуются трехмерными векторными операторами S1 и S2. Гамильтониан взаимодействия может быть записан в виде

H= 2JS1S2.

•Найдите собственные векторы операторов S2 и Sz, где S = S1 + S2 – суммарный спиновый момент, в базисе |1i = |↑↑i, |2i = |↑↓i, |3i = |↓↑i, |4i = |↓↓i. Покажите, что они совпадают с собственными векторами гамильтониана.

•Найдите собственные значения гамильтониана.

•Покажите, что все собственные состояния с полным спином S = 1 могут быть

получены из состояния с S = 1, mS = 1 последовательным применением оператора

S−.

Задача 21. Три кварка, находящиеся в связанном состоянии с нулевым орбитальным моментом, формируют барион. Каковы возможные значения спина бариона, и каким образом они могут быть получены?

Задача 22. Свойства матриц Паули. Покажите, что

•σx2 = σy2 = σz2 = 1;

•σiσj = δij + iǫijkσk, где ǫijk – абсолютно антисимметричный единичный тензор ЛевиЧивиты;

•коммутатор [σi, σj ] = 2iǫijkσk;

•антикоммутатор {σi, σj } = 2δij ;

•(σ · a) (σ · b) = a · b + iσ [a × b], где a и b – два произвольных вектора.

11

Задача 23. Матрица преобразования спинора при повороте осей координат на угол θ задается выражением U(θ) = e−iθ·σ/2, где вектор θ направлен вдоль оси поворота. Покажите, что

ˆ

U(θ) = cos θ/2 − i θ · σ sin θ/2,

где ˆ .

θ = θ/θ

Задача 24. Постройте матрицы операторов S−, S+, Sx, Sy, Sz для спинов S = 1 и

S = 3/2.

Задача 25. Определить изоспин I и проекцию изоспина I3 для частиц Ω−, Σ+, Ξ0, ρ+,

,¯ 0.

ηK

Задача 26. Убедитесь, что формула Гелл-Манна – Нисидзимы работает для u, d и s

кварков. Каковы изоспин и его проекция для антикварков , ¯ и ?

I I3 u¯ d s¯

Задача 27. Исходя из требования изотопической инвариантности, покажите, что для сечений реакций σ должно выполняться соотношение

σ(p + p → d + π+)

σ(n + p → d + π0) = 2.

Задача 28. Рассмотрим пион-нуклонное рассеяние π + N → π + N. Возможны шесть упругих процессов

и четыре реакции с обменом заряда

Найти отношение сечений всех десяти реакций при энергии столкновения близкой к массе

Задача 30. Каковы возможные значения полного изоспина в реакциях

(а) K+ + p → Σ+ + π+, (б) K− + p → Σ+ + π−?

Вычислить отношение сечений этих реакций при условии, что один из изоспиновых каналов доминирует.

Задача 31. Резонанс Σ 0 может распадаться на Σ+ + π−, Σ0 + π0 и Σ− + π+. Предположим, что зафиксировано 100 таких распадов, каково ожидаемое количество реакций каждого типа?

Задача 32. α-частица является связанным состоянием двух протонов и двух нейтронов, т.е. ядром 4He. Не существует изотопов водорода с атомарной массой четыре (4H),

12